2.1. 기준과 단위

기준으로서 0

0은 “없음”을 나타냅니다. 0은 정수, 유리수, 실수, 복소수 등의 수체계에서 기준으로 사용됩니다. 어떤 수를 0으로 더하거나 빼도 그 수는 변하지 않습니다. 또한, 어떤 수를 0으로 곱하면 결과는 항상 0입니다. 분수에서 0은 분모가 될 수 없습니다. 즉, 0으로 나누는 것은 정의되지 않은 연산입니다. 0은 양수와 음수의 경계이며 더하기와 빼기의 항등원이 됩니다.

단위로서 1

1은 0과 대비되어 “있음”을 의미합니다. 1은 정수, 유리수, 실수 등의 수체계에서 단위로 사용됩니다. 어떤 수에 1을 곱하거나 나누어도 그 수는 변하지 않습니다. 그래서  “1”은 곱하기의 기준이 되고 더하기의 단위가 됩니다. 1은 진분수 (proper fraction; 분자가 분모보다 작은 분수로, 그 값이 1보다 작음)와 가분수(improper fraction; 분자가 분모보다 큰 분수로, 그 값이 1보다 큼)의 경계이며 1은 곱하기와 나누기의 항등원이 됩니다. 

점(point)은 크기가 없는 개체(object)입니다. 점의 위치는 공간에서 점 자체입니다. 점(point)의 크기는 0입니다.

선(line)은 셀수 없는 많은 점이 모여서 됩니다. 공간에서 선의 위치는 두 점으로 결정됩니다. 선의 단위는 크기가 1인 선분(line segment)입니다.

면(plane)은 셀수 없는 많은 선(line)이 모여서 됩니다. 공간에서 면의 위치는 세 점으로 결정됩니다. 면의 단위는 크기가 1×1인 면적(area)입니다.

공간(space)은 셀수 없는 많은 면(plane)이 모여서 됩니다. 공간의 단위는 크기가 1×1×1인 부피(volume)입니다.

물리적 기준과 단위

0에 물리적인 기준이 붙으면 우리가 인지할 수 있는 기준이 됩니다. 예를 들어, 절대온도 0°K에서는 분자의 운동이 없는 상태로 온도의 기준이 됩니다. 그리고 1에 물리적인 단위가 붙으면 우리가 인지할 수 있는 단위가 됩니다. 예를 들어, 길이의 단위로는 1meter, 질량의 단위로는 1gram이 있습니다. 

2.2. 척도에서의 기준

간격척도에서의 기준 : 상대적인 0

상대적인 0은 간격척도에서 사용되는 0을 의미합니다. 이는 절대적인 ‘없음’을 나타내지 않고, 단지 특정한 기준점 또는 시작점을 나타냅니다. 예를 들어, 섭씨온도척도에서의 0도는 물이 얼기 시작하는 지점을 나타내지만, 이는 온도가 ‘없다’는 것을 의미하지 않습니다. 또 다른 예로는 년도에서의 기원이 있습니다. 기원은 기원전(BCE, before common era)과 기원후(CE, common era)를 나누는 서기 0년입니다. 따라서, 상대적인 0은 특정한 상황이나 상태의 정의라고 할 수 있으며, 절대적인 없음의 의미는 없습니다. 따라서 간격척도의 기준으로서의 0은 관측 대상이나 상황에 따라 다르게 설정될 수 있습니다.

비례척도에서의 기준 : 절대적인 0

비례척도에서의 0은 ‘완전한 부재’ 또는 ‘없음’을 의미합니다. 예를 들어, 무게나 길이에서 0은 실제로 아무것도 없음을 나타냅니다. 예를 들어, 절대적인 0은 온도에서의 절대영도(absolute zero)를 의미합니다. 이는 온도가 이론적으로 도달할 수 있는 최저점으로, 모든 분자 운동이 정지하는 지점입니다. 절대영도는 켈빈(K) 온도 척도에서 0K, 섭씨(C) 척도에서는 약 -273.15°C, 화씨(F) 척도에서는 약 -459.67°F에 해당합니다.

2.3. 척도에서의 단위

간격척도에서의 단위

간격척도는 등간격을 가지며 그 간격은 간격척도의 단위를 의미합니다. 간격척도는 측정값 간의 차이를 측정하는 데 사용되며, 이 차이는 단위로 표현됩니다.  간격척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정됩니다. 예를 들면, 섭씨(°C) 또는 화씨(°F)척도에서, 1°는 일정한 온도간격을 나타냅니다. 시간척도에서, 시간의 단위는 초(s), 분(min), 시(hour) 등이 있으며, 각 단위는 일정한 시간간격을 나타냅니다. 

비례척도에서의 단위

비례척도(비율척도)에서의 “단위”는 간격척도에서와 같이 측정값 간의 간격을 나타내지만 간격척도에는 없는 절대적인 0을 기준으로 합니다. 따라서 비례척도에서의 단위는 측정값 간의 차이뿐만아니라 비(비례, 비율)의 의미도 가집니다. 비례척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정되며, 측정값 간의 일정한 간격과 비율을 표현하는 데 사용됩니다. 이러한 단위를 통해 측정대상 간의 차이와 비율을 정확하게 비교하고 해석할 수 있습니다. 예를 들면, 길이에서 1미터(m)는 특정시간동안 빛이 이동한 거리를 말합니다. 무게에서 1킬로그램(kg)은 물 1리터의 무게를 말합니다.

3.2. 함수

=TRANSPOSE(C3:C5) : 지정한 범위에 있는 데이터의 행과 열을 바뀜. C3와 C5에 있는 데이터는 열로 구성이 되는데, 이를 행으로 바꿈. 전치행렬을 만들 때 사용할 수 있음.

=MMULT(C3:C5,E3:G3) : 범위로 지정한 두 행렬의 곱. C3에서 C5에 있는 행렬과 E3에서 G3에 있는 행렬의 곱을 계산해서 구함.

4.1 용어

Dimension – Wikipedia

문항속성(True, False)에 대한 반응(Positive & Negative) 

2.1. 문항반응에서 사용하는 척도유형

문항반응에서는 응답자가 문항에 반응한 결과가 결과변수가 되는 경우와 응답자의 능력과 문항의 난이도가 반응하여 결과가 나오는 경우가 있습니다. 전자의 원인변수는 응답자의 속성이며 후자의 원인변수는 응답자의 능력과 문항의 난이도의 차이입니다. 이 때 응답자의 능력과 문항의 난이도는 같은 속성입니다. 원인변수가 되는 응답자의 속성과 응답자의 능력과 문항난이도는 명목척도를 순서척도, 간격척도, 비례척도로 변환할수록 더 많은 분석을 할 수 있습니다. 즉, 원인변수값을 질적데이터에서 양적데이터로 얻으려는 노력을 하게 됩니다.

명목척도

명목척도(nominal scale)는 불연속적인 개념이나 속성을 측정하기 위한 척도입니다. 이러한 척도에서는 각 명명된 항목이 서로 독립적이며, 순서나 계량적인 의미를 가지지 않습니다. 예를 들어 명목척도에는 성별, 종교, 국적 등이 있습니다. 예를 들어 명목척도인 성별에는 “남”과 “여”라는 두 범주(척도점)가 있습니다.

순서척도

순서척도(ordinal scale)는 명목척도와 다르게 범주(척도점)의 비교가 가능합니다. 비교를 통해 순서(순위)를 정할 수 있는 데 순서는 내림차순이거나 오름차순처럼 방향이 있습니다. 하지만 범주들 사이에는 순서만 있을 뿐 계량화된 간격이 없습니다. 예를 들어 등급, 선호도, 학점 등이 있습니다.

간격척도

간격척도(interval scale)는 순서척도의 범주의 최대값이 정의되는 척도입니다.  각 범주의 최대값 사이에는 간격이 있고 그 간격은 계량할 수 있음을 의미합니다. 따라서 간격척도는 범주의 상대 위치를 나타냅니다. 예를 들어 섭씨온도, 지능지수, 연도 등이 있습니다.

비례척도

비례척도(ratio scale)는 간격척도에 존재의 없음을 의미하는 0이 부가되어 위치의 기준으로 사용됩니다. 0으로부터의 거리는 양이며 간격척도가 음수와 양수로 순서가 표현되는 것에 비해 비례척도에서는 양이 없음(존재하지 않음)을 의미하는 0이 있습니다. 양의 기준인 1로 관측대상의 양(quantity)을 표현합니다. 관측대상의 양이 0과 1사이에 있을 때 기준인1을 나눔으로 표현합니다. 그리고 기준보다 큰 경우에는 기준의 배수와 0과 1사이의 값의 합으로 표현합니다. 비례척도는 양의 기준인 1에 비례하는 값을 척도로 가진다고 할 수 있습니다. 비례척도는 양(quantity)을 나타내므로 양의 실수(positive real number)의 수체계로 나타냅니다. 예를 들어, 절대온도, 나이, 몸무게, 소득 등이 있습니다.

2.2. 순서척도의 분류

5점척도와 7점척도

순서정보가 있는 명목(이름)으로 표현하는 척도점의 수를 많게 하면 척도가 응답자들을 판별할 수 있는 능력은 커지지만, 응답자는 응답이 어려워지는 단점이 있습니다. 척도점의 수를 작게 하면 척도점간의 상관은 작아지는 장점이 있습니다. 척도점의 수가 소수(prime number)인 5점척도와 7점척도가 주로 사용됩니다.

짝수점척도와 홀수점척도

짝수점척도는 척도점의 수가 짝수인 척도로 중간점이 없으며 대칭을 만들기가 어렵습니다. 홀수점척도는 중간점이 있어서 대칭이지만 응답자의 응답이 심리적인 이유로 중간점으로 쏠릴 가능성이 높습니다. 일반적으로 짝수점척도보다 홀수점척도가 더 많이 쓰입니다.

균형척도와 불균형척도 

균형척도는 긍정적 의미를 갖는 척도점의 수와 부정적 의미의 척도점의 수가 같은 척도입니다. 응답자가 편견이 없을 때 유용합니다. 불균형척도는 응답자가 편견이 있어 응답이 중간점을 기준으로 어느 한쪽으로 치우칠 경우, 편견을 보정해 주기 위하여 사용합니다.

단일항목척도와 다항목척도

단일항목척도는 한 항목(item)으로 구성되어 있습니다. 다항목척도는 한 질문과 다수의 항목으로 구성되어 있습니다. 

단일항목척도의 예

질문(question) : A음식점의 맛은 ?

항목(item) : 좋다.

선택지(option) : 동의한다. – 동의하지 않는다.

단일항목척도의 예

항목(item) : A음식점의 맛은 좋다

선택지(option) : 동의한다. – 동의하지 않는다.

다항목척도의 예

질문(question) : 생일축하연 장소로 A음식점은 ?

항목(item) 1 : 음식이 맛있다.

선택지(option) : 매우 그렇다. – 그렇다. – 보통이다. – 그렇지 않다. – 매우 그렇지 않다.

항목(item) 2 : 경제적이다.

선택지(option) : 매우 그렇지 않다. – 그렇지 않다. – 보통이다. – 그렇다. – 매우 그렇다.

항목(item) 3 : 교통이 좋다.

선택지(option) : 매우 그렇지 않다. – 그렇지 않다. – 보통이다. – 그렇다. – 매우 그렇다.

다항목척도에서의 단방향척도와 혼합형척도

다항목척도에서 항목의 긍정과 부정의 방향이 일치하면 단방향척도이고 혼재되어있으면 혼합형 척도입니다. 

척도점의 강도표현

척도점이 “좋다”, “나쁘다”, “보통이다”인 경우 강도표현은 매우, 약간 등등이 있을 수 있습니다. 이 때 강도는 중간점을 기준으로 양쪽으로 대칭적으로 부여하는 것이 좋으나 척도점의 표현이 길어져서 정확하고 효율적인 실험을 어렵게 합니다. 부가되는 의미가 강할수록 응답자는 극단 값을 피하기 위해 가운데로 몰리는 경향이 있습니다.

2.3. 문항반응을 관측하는 척도의 종류

질문(question)과 항목(item)을 합해서 문항(question & item)이라고 합니다. 선택지는 문항에 대한 응답의 범주를 반응의 정도에 따라 순서대로 나열한 것입니다. 그리고 문항반응은 선택지에서 문항에 대한 응답 범주를 선택하는 것을 의미합니다. 따라서 문항과 선택지를 합한 것을 순서척도라고 할 수 있습니다. 

리커트척도 (Likert scale)

어떤 항목(진술)에 대해 응답자가 동의하거나 동의하지 않는 정도를 표시하도록 하는 척도입니다. 척도점은 응답을 나타내는 범주인 응답범주의 이름입니다. 따라서 척도점의 수는 응답범주의 수와 같습니다. 순서척도를 간격척도로 바꾸면 순서척도의 척도점은 범주의 최대값을 의미하며 양적데이터입니다. 정리하면 리커트척도를 순서척도에서 간격척도화 했을 때, 간격척도의 구간은 순서척도에서의 척도점의 최대값으로 구분됩니다. 

리커드척도 예

질문 : A서비스센터 직원들의 업무태도는 ?

항목 : A서비스센터 직원들은 친절하다.

척도점 : 전혀 동의하지 않는다.   $\cdots$   전적으로 동의한다.

의미차별화척도 (semantic differential scale)

서로 반대되는 의미의 말을 양쪽 끝의 척도점(응답범주)에 표현한 척도입니다. 예를 들면 불공정과 공정, 불친절과 친절, 비상식과 상식 등이 있습니다.

의미차별화척도 예

질문 : A서비스센터 직원들은 ?

척도점 : 불친절하다.   $\cdots$   친절하다.

등급척도 (rating scale)

등급을 척도점(응답범주)으로 가지는 척도로써 “중요성 등급척도”, “평가 등급척도”, “Stapel 등급척도” , “서열 등급척도”, “비교 등급척도” 등 여러가지 방식이 있습니다.

Stapel 등급척도 예

질문 : A서비스센터 직원들은 ?

척도점 : -3   -2  -1  친절하다   +1  +2   +3

2.4. 척도평가

관측값모델

관측값은 다음과 같이 모델링됩니다.

$$X_O=X_T + X_S + X_R$$

여기서,  $X_O$는 관측값(measured value or observed value)

$X_T$는 실제값(true value)

$X_S$는 체계적 오류(systematic error)이며 척도의 오류

$X_R$은 비체계적 오류(nonsystematic error or random error)이며 관측자와 관환경에 따른 오류

타당성

척도의 타당성(validity)은 측정하고자 하는 대상인 개체의 속성이나 구성개념 등을 척도가 실제로 측정하는 정도입니다. 예를 들어, 지능을 측정하는 척도가 실제로 지능의 다양한 측면을 적절하게 나타낸다면, 그 척도는 그 지능에 대해 높은 타당성을 가진다고 할 수 있습니다. 척도의 타당성이 높을수록 체계적 오류가 작아집니다.

정확성

척도의 정확성(accuracy)은 측정값이 실제 값에 얼마나 가까운지를 나타냅니다. 예를 들어, 체온계가 실제 체온을 정확하게 측정한다면, 그 체온계는 높은 정확성을 가진다고 할 수 있습니다.

정밀성

척도의 정밀성(precision)은 측정값들의 차이를 얼마나 작은 값까지 나타낼 수 있는지의 정도입니다. 예를 들어, 관측값은 비체계적 오류(무작위 오류)의 영향을 받는 데 척도의 정밀도가 높으면 더 작은 비체계적 오류도 알 수 있게 됩니다.

신뢰성

척도의 신뢰성(reliability)은 한 대상을 반복 측정했을 때 동일한 결과를 얻는 정도를 말합니다. 비체계적 오류는 관측하는 사람이나 상황으로부터 발생하는 오류입니다. 비체계적 오류가 작을수록 그 척도의 신뢰성은 높습니다. 척도의 신뢰성에는 다음과 같은 것들이 있습니다.

–  반복측정 신뢰성(test-retest reliability)

반복측정 신뢰성은 같은 척도로 관측을 2회 실시하여 2회의 관측값들을 구하고 관측값들 간의 상관관계로 구한 척도의 신뢰성입니다. 상관계수가 크면 척도의 반복측정 신뢰성이 높다고 할 수 있습니다.

–  대안항목 신뢰성(alternative-form reliability)

한 척도로 측정하여 측정값들을 구하고 유사하지만 대안이 될수 있는 항목을 가진 척도로 다시 측정하여 관측값들 구합니다. 두 관측값집합의 상관계수로 척도의 대안항목 신뢰성을 평가합니다. 반복측정 신뢰성은 주시험효과가 작용할 수 있습니다. 주시험효과를 방지하기 위하여 두 번째 측정할 때 첫 번째 사용한 척도와 유사하지만 다른 척도를 사용합니다.

다항목척도의 내적 일관성

지능, 동기부여, 학습 태도 등을 구성개념(construct)라고 하는 데 심리학이나 교육학에서 관측하고자 하는 이론적인 개념입니다. 여기서, 한 구성개념을 측정하는 다항목척도는 항목들이 일관성을 가져야 합니다. 이 일관성을 “다항목척도의 내적 일관성(internal consistency)”이라고 합니다.

크론바흐계수 $\alpha$ (Cronbach’s coefficient $\alpha$)”는 다항목척도의 내적 일관성”을 표현하는 방법 중에서 가장 널리 쓰이는 방법입니다. 크론바흐계수는 다음식으로 구합니다.

$$\alpha=\dfrac{k}{(k-1)} \left(  1-\dfrac{\sum_\limits {i=1}^{k}\sigma_i^2}{\sigma_T^2}\right)$$

여기서,  $k$는 항목 수

$\sigma_i^2$은 $i$번째 항목의 분산

$\sigma_T^2$은 전체 항목의 분산

다르게 표현하면

$$\alpha=\dfrac{k \bar r}{1+{\bar r}(k-1)}$$

여기서,  $\bar r$은 항목간 상관계수의 평균

크론바흐계수 $\alpha$는 0 에서 1 사이의 값을 가지며, 높을수록 바람직합니다. 흔히 0.8에서 0.9 이상이면 만족할 수 있고 0.6에서 0.7이면 수용할 수 있습니다. $\alpha$계수가 매우 작으면 그 데이터는 내적 일관성을 결여한 것으로, 본 분석에서 사용할 수 없습니다. $\alpha$계수의 크기를 저해하는 항목들을 제거함으로써 계수값을 크게 할 수 있습니다. 

항목의 수와 $\alpha$계수의 크기는 양의 상관입니다. 척도점의 수와 $\alpha$계수의 크기도 양의 상관입니다. 그러나 표본의 크기와 $\alpha$계수의 크기는 음의 상관입니다. 

2.5. 척도개발

1) 개념정의 및 목표설정

척도를 개발하기 전에 먼저 관측하고자 하는 개념을 정의하고, 척도개발의 목표를 설정합니다. 이를 위해 선행연구조사와 인터뷰 등을 수행합니다.

2) 관측대상 분석

정의한 개념을 가진 관측대상을 분석합니다. 

관측대상인 개체의 속성(특징, 특성)이나 범주의 속성(특징, 특성) 등을 분석하여 항목을 생성합니다.

3) 척도유형 결정

척도유형에 따라 개발 방법이 다르므로, 척도유형을 먼저 결정합니다.

4) 문항 생성

여러 개의 항목을 생성합니다.

항목생성 시 관측대상인 개체나 범주의 속성(특성)이나 관측목적, 관측방식 등을 고려해야 합니다.

도메인 내의 구성요소나 구성요소와 연결된 특성을 고려하고, 데이터수집을 위한 관측도구의 목적과 측정방식 등을 고려합니다.

5) 문항 검토 및 문항 수정

생성된 문항들에 대해 검토를 수행합니다. 이 과정에서 문항들의 유형, 내용, 언어 등을 확인하고, 중복된 문항, 혼란스러운 문항, 문맥에 부적합한 문항 등을 제거하거나 수정합니다.

6) 척도개발 및 척도검증

선정된 문항들을 기반으로 척도를 개발합니다. 척도 유형에 따라 척도 개발 방법이 다르며, 각 문항들의 가중치, 점수 범위, 객관적 테스트 등을 고려합니다. 이후, 개발된 척도를 검증하기 위해 신뢰성, 타당성, 일관성 등에 대한 검증을 수행합니다. 이를 위해 적절한 통계분석 방법을 사용합니다.

7) 보고서 작성

마지막으로, 개발된 척도와 검증결과에 대한 보고서를 작성합니다. 보고서는 척도의 개념, 목표, 유형, 개발과정 및 검증과정, 검증결과 등을 설명하며, 척도의 사용자들이 척도를 올바르게 사용할 수 있도록 지침서 등을 포함하여 작성합니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

데이터

데이터는 질적 또는 양적 변수값의 집합입니다. 데이터와 정보 또는 지식은 종종 같은 의미로 사용하지만 데이터를 분석하면 정보가 된다고 볼 수 있습니다. 데이터는 일반적으로 연구의 결과물로 얻어집니다. 한편, 데이터는 경제(매출, 수익, 주가 등), 정부(예 : 범죄율, 실업률, 문맹율)와  비정부기구(예 : 노숙자 인구 조사)등 다양한 분야에서도 나타납니다. 그리고 데이터를 수집 및 분석하고 시각화할 수 있습니다.

일반적인 개념의 데이터는 응용이나 처리에 적합한 형태로 표현되거나 코딩됩니다. 원시 데이터 (“정리되지 않은 데이터”)는  “정리”되기 전의 숫자 또는 문자의 모음입니다. 따라서 데이터의 오류를 제거하려면 원시 데이터에서 데이터를 수정해야 합니다. 데이터 정리는 일반적으로 단계별로 이루어지며 한 단계의 “정리 된 데이터”는 다음 단계의 “원시 데이터”가 됩니다. 현장 데이터는 자연적인  “현장”에서 수집되는 원시 데이터입니다. 실험 데이터는 관찰 및 기록을 통한 과학적 조사에서 생성되는 데이터입니다. 데이터는 디지털 경제의 새로운 자원입니다.

Reference

Data – Wikipedia

수체계

2.1. 수체계

수체계(system of numbers)란 수학에서 사용되는 숫자들의 집합과 그들 간의 연산들의 규칙이 결정되어 있는 체계를 말합니다. 대표적으로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등이 있습니다. 여기서, 복소수는 실수를 실수는 유리수를 유리수는 정수를 정수는 자연수를 포함합니다. 다르게 말하면, 자연수는 정수의 부분집합이고 정수는 유리수의 부분집합이고 유리수는 실수의 부분집합이고 실수는 복소수의 부분집합입니다. 수체계는 속성을 표현하는 변수를 모델링하기 때문에 속성이 반응하여 현상을 분석하여 문제를 해결하는 방법의 기반을 제공합니다. 

자연수

자연수(自然數, natural numbers)는 1, 2, 3, 4, 5, … 와 같이 기준의 양인 1과 그 기준의 합의 양으로 이루어진 집합입니다. 자연수 체계에서는 덧셈과 곱셈이 정의되어 있습니다. 즉, 두 자연수를 더하거나 곱할 때에는 반드시 자연수가 나옵니다. 하지만 자연수에서 자연수를 빼는 뺄샘과 자연수를 자연수로 나누는 나눗셈의 결과는 자연수가 아닐 수도 있습니다.

정수

정수(正數, integers)는 자연수에 0과 음의 자연수를 추가한 것입니다. 어떤 자연수의 음의 자연수는 그 자연수에 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되는 수입니다.  이러한 정수에서는 덧셈과 곱셈 외에 뺄셈도 정의되어 있습니다. 즉, 두 정수를 더하거나 빼거나 곱하면 반드시 정수가 나옵니다. 단, 정수를 정수로 나누는 나눗셈의 결과는 정수가 아닐 수도 있습니다.

유리수

유리수(有理數, rational numbers)는 정수에 분수의 형태로 나타낼 수 있는 수를 추가한 것입니다. 분수는 정수를 0을 제외한 정수로 나눈 것입니다. 유리수에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 모두 정의되어 있습니다. 즉, 두 유리수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눈 결과도 모두 유리수가 됩니다. 유리수는 정수와 소수(小數, decimal)의 합으로 표현합니다. 여기서 소수(小數)는 0과 1사이의 값을 의미하며 십진법으로 표현합니다. 그리고 소수점(小數點, decimal point)은 십진법에서 정수(正數)와 소수(小數)를 구분하는 점입니다. 따라서 유리수를 십진법으로 표현하면 정수(正數)와 소수(小數)의 합이라고 할 수 있습니다. 유리수는 소수점이하 자리수가 유한한 유한소수(有限小數, finite decimal)와 무한한 무한소수(無限小數, infinite decimal, infinite series)로 표현할 수 있습니다. 한편, 제곱해서 2가 되는 수(2의 제곱근)와 원의 반지름과 면적의 비율을 나타내는 수(원주율)는 분수의 형태로 표현할 수 없는 데 이를 무리수(無理數, irrational numbers)라고 합니다.

실수

실수는 유리수에 무리수를 추가한 것입니다. 실수는 무한소수나 극한값을 이용하여 나타낼 수 있으며, 실수에서는 덧셈과 곱셈, 나눗셈, 제곱근, 거듭제곱근 등이 정의되어 있습니다.

복소수

복소수는 실수에 허수를 추가한 것입니다. 허수는 제곱하면 음수가 되는 수입니다. 허수의 양의 기준은 i로 표현합니다. 복소수는 실수와 허수를 더한 형태로  a와 b가 실수일 때, a+bi와 같은 형태로 나타냅니다. 복소수에서는 사칙연산이 정의되어 있습니다. 실수는 시각적으로 직선상의 점으로 표현할 수 있지만 복소수는 2차원 평면인 복소평면에서 원점을 시작으로 하는 벡터로 표현합니다.

2.2. 척도에 따른 수체계

비례척도에 따른 데이터의 수체계

척도에 따라 데이터(관측값)의 수체계가 결정됩니다. 비례척도가 적용된 관측도구로 구한 관측값(데이터는) 0과 양의 실수입니다. 실수를 정의역으로하는 정규분포와 같은 확률변수의 분포모델을 사용하여 범주간의 속성을 비교분석하거나 표본으로 모집단을 추론하거나 생성될 표본을 예측할 수 있습니다. 간격척도로 구한 데이터의 기준을 관측대상의 속성이 없어지는 절대영점으로 0으로 하고 기준으로부터의 간격척도의 각 간격의 값을 알면 실수에서 정립된 통계모델을 사용할 수 있습니다. 정리하면 명목척도로 관측된 데이터에 순서를 부여하고 간격을 부여하고 데이터가 표현하는 속성이 없어지는 0점을 찾으면 실수체계에서 정립된 통계모델을 사용하여 데이터분석을 수행할 수 있습니다. 반대로 비례척도와 간격척도를 인간과 친화적인 명목척도, 순서척도로 변화하기도 합니다.

통계적 분석을 위해서 명목척도와 순서척도를 간격척도나 비례척도로 변환

개체의 속성에 대한 분석을 하기 위해서는 우선 속성을 나타내는 변수를 관측하여야 합니다. 변수를 관측함에 있어 비례척도를 적용할 수 있도록 변수를 정의하는 것이 매우 중요합니다. 그 이유는 개체의 속성을 나타내는 변수가 확률변수이면 통계적인 분석을 시도할 수 있기 때문입니다. 그리고 대다수를 차지하는 속성인 정규분포를 분석하기 위해서는 평균과 분산이 필요합니다. 정규분포를 가지는 개체의 속성은 매개변수인 평균과 분산으로 표현됩니다. 여기서, 평균과 분산은 비례척도로 얻은 데이터로부터 추정할 수 있다는 점에서 비례척도의 효용성이 크다고 할 수 있습니다. 비례척도로 구한 데이터로는 높은 수준의 통계적 분석을 행 할 수 있습니다. 또한 시공간에서 모델링한 범주의 확률적 속성을 통한 예측을 행할 수도 있습니다. 한편, 간격척도를 비례척도화하는 방법의 예로는 다음 두 과정이 있습니다. 첫번째로 간격척도의 간격을 등간격으로 하고 등간격과 비례척도의 1과의 관계를 수식으로 표현합니다. 두번째로 간격척도의 위치의 원점과 비례척도의 0의 위치와의 관계를 수식으로 표현합니다. 분포의 위치를 표현하는 측도는 평균이 있고 분포의 크기를 표현하는 측도는 분산이 있습니다. 따라서 평균과 분산을 모두 구하기 위한 데이터(관측값)를 얻기 위해서는 비례척도를 가진 관측도구(측정도구)가 필요합니다.

2.3. 유한수체

유한수체(유한체, finite field, Galois field)는 원소의 개수가 유한한 체(field)를 말합니다. 유한수체의 특징은 그 크기가 항상 소수의 거듭제곱 형태로 나타납니다.

$$p^n$$

여기서, $p$는 소수(prime number)

$n$은 자연수

유한수의 체(field)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것 제외)에 대해 닫혀 있는 대수적 구조를 의미하며, 이러한 연산에 대해 다음과 같은 공리를 만족합니다.

닫힘: 체의 모든 원소에 대해 덧셈과 곱셈 연산을 수행해도 결과는 항상 체 내의 원소입니다.

결합 법칙: 덧셈과 곱셈 모두에 대해 결합 법칙이 성립합니다.

가환 법칙: 덧셈과 곱셈 모두에 대해 가환 법칙이 성립합니다.

항등원의 존재: 덧셈에 대한 항등원(0)과 곱셈에 대한 항등원(1)이 존재합니다.

역원의 존재: 체의 모든 원소, a에 대해 덧셈 역원(-a)과 곱셈 역원(1/a, a ≠ 0)이 존재합니다.

분배 법칙: 곱셈과 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족합니다.

유한수체의 예

유한수체의 간단한 예는 2진수와 5진수가 있습니다. 7진수가 있습니다. 모두 크기가 소수(素數)입니다. 2진수는 0과 1의 두 개의 수의 집합입니다. 2진수는 이분척도(binomial scale)인 “있음과 없음” 또는 “성공과 실패” 라는 개념으로 바꿀 수 있습니다. 5진수는 등간격인 숫자로 이루어진 {0,1,2,3,4}이고 집합의 크기인 5는 소수(素數)입니다. 10진수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9라는 10개의 숫자기호로 나타냅니다. 10진수의 개수는 10으로 소수(素數)가 아닙니다. 

2.4. 척도에 유한수체를 적용

척도가 유한수체를 나타내면 관측결과를 수치화하여 산술연산하더라도 서로 다른 정도를 나타냄을 보장합니다. 그리고 범주의 속성을 결정하는 척도의 각 항목은 명시적으로 구분할 수 있어야 합니다. 즉, 범주형 속성의 값은 서로 이질적이고 상호 배타적이어야 합니다.

명목척도에 유한수체를 적용

유한수체를 명목척도에 적용하기 위해 명목척도의 명목의 수를 소수(素數)로 합니다. 그리고 개체의 범주형 속성에 명목과 순서를 부여하여 각 범주를 순서대로 나열합니다. 순서대로 나열된 범주 사이에 수치를 가지는 간격을 부여하여 질적데이터를 양적데이터로 모델링합니다. 간격이 부여된 범주형 데이터는 데이터를 분석하여 위치를 나타내는 속성을 분석할 수 있습니다. 여기서 범주의 개수가 소수이면 범주의 위치 속성을 연속으로 모델링할 수 있습니다. 또한,  범주의 속성이 무(無)가 되는 0을 모델링하여 절대기준으로하고  양의 크기의 기준인 1과 그 단위를 모델링하면 범주의 명목을 범주형 확률변수에서 연속형 확률변수로 변환할 수 있습니다. 즉, 범주의 위치의 속성과 범주내의 개체의 퍼짐의 속성을 동시에 분석할 수 있습니다. 연속형 확률분포를 가지는 통계모델의 확률분포 모수(parameter)를 구하면 궁극적으로 개체의 속성을 생성하는 확률모델을 추정할 수 있습니다.  

2.5. 리커트척도

5점척도, 7점척도

 리커트척도(Likert scale)의 첫 단계를 속성이 존재하지 않는 상태로 하고 마지막 단계를 속성이 모두 있는 상태로 하는 순서척도(ordinal scale)입니다. 각 단계의 개수를 5단계, 7단계인 소수로 하고 각 단계에 간격을 부여하여 간격척도로 변환합니다. 리커트척도의 예를 보면,  “매우 그렇다”, “다소 그렇다”, “보통이다”, “다소 그렇지 않다”, “매우 그렇지 않다”와 같이 5단계를 텍스트로 표현합니다.  텍스트로 표현된 단계를 각각 0, 1, 2, 3, 4와 같은 5진수로 하여 리커트척도를 유한수체로 만듭니다. 이 리커트척도로 구한 데이터(관측값)를 연산한 결과는 유한수체의 공리를 만족합니다.

리커트척도를 적용한 관측도구

척도는 관측대상을 관측하는 관측도구에 적용됩니다. 그리고 척도는 관측대상인 개체의 속성을 표현합니다. 척도는 명목척도, 순서척도, 간격척도, 비례척도로 분류할 수 있습니다. 일반적인 리커트척도는 순서척도입니다. 관측도구는 적절한 척도를 포함하고 있어야 하고 정확하고 효율적이어야 합니다. 리커트척도가 적용된 관측도구는 범주형 속성을 가지는 개체의 속성의 범주와 그 범주의 순서를 관측합니다. 순서척도인 리커트척도에 간격을 부여하여 간격척도로 변환할 수 있습니다. 더 나아가 속성을 양(quantity, 量)으로 모델링하고 양의 기준(“0” 과 “1”)을 정의하여 리커트척도를 비례척도로 변환할 수 있습니다. 사회과학에서 리커트척도를 가지는 대표적인 관측도구는 설문이 있습니다.  

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

리커트 척도

리커트 척도는 그 발명자인 미국의 사회심리학자 Rensis Likert의 이름을 딴 심리측정 척도입니다. 이 척도는 연구 설문지에서 흔히 사용됩니다. 설문 연구에서 응답을 척도화하는 방식으로 가장 널리 사용되며, 때문에 ‘리커트 유형 척도(Likert-type scale)’라는 용어는 평가 척도(rating scale)와 종종 동의어로 사용되기도 하지만, 평가 척도에는 다른 유형들도 있습니다.

리커트는 척도 자체와 응답이 점수화되는 형식 사이를 구분하였습니다. 엄밀히 말하면, 리커트 척도는 전자만을 가리킵니다. 이 두 개념 사이의 차이는 리커트가 조사하려는 기본 현상과 그 현상을 나타내는 변동을 포착하는 방법 사이의 구분에서 나옵니다.

리커트 항목에 응답할 때, 응답자들은 일련의 진술에 대한 동의 또는 불일치의 수준을 대칭적인 동의-불일치 척도에서 지정합니다. 따라서, 척도는 주어진 항목에 대한 그들의 감정의 강도를 포착합니다.

척도는 개별 항목(질문) 세트에 대한 설문지 응답의 단순한 합계나 평균으로 생성될 수 있습니다. 이렇게 하면, 리커트 척도는 각 선택 사이의 거리가 동일하다고 가정합니다. 많은 연구자들은 높은 내적 일관성을 보이는 항목 세트를 사용하며, 동시에 연구 대상 전체 영역을 포착할 것이라고 가정합니다. 다른 연구자들은 “모든 항목이 서로의 복제본이라고 가정하거나 다시 말해 항목들이 병렬 도구로 간주된다”는 기준을 고수합니다. 반면, 현대의 시험 이론은 각 항목의 난이도를 항목 척도화에 포함시킬 정보로 간주합니다.

리커트 척도의 등간성에 대한 논의는 연구자들 사이에서 여전히 진행 중인 토론의 주제입니다. 일부 연구자들은 리커트 척도를 등간척도로 간주하여 적절한 통계 분석을 수행하며, 다른 연구자들은 그렇지 않다고 주장합니다.

특히 리커트 척도의 등간성을 수학적으로 증명한 구체적인 참고문헌을 제공하기는 어렵습니다. 이는 대부분의 연구가 통계적 또는 실증적인 근거를 기반으로 하는데, 수학적 증명 방식과는 다르기 때문입니다. 리커트 척도의 성질과 사용에 대한 더 깊은 연구나 이해를 원한다면, 측정 이론 (measurement theory) 또는 척도 이론 (scale theory) 관련 문헌을 참조하는 것이 좋습니다.

Reference

Likert scale – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Wikipedia “Measure”

Wikipedia “Scale”

Wikipedia “Scale analysis(statistics)”

나무위키 “척도”

Britannica “measurement scale” 

2.1. “0”의 의미

측도와 척도의 의미를 이해하는데 있어, 측도와 척도에서 사용한 “0”에 대한 이해가 선행되어야 합니다. 

실체의 부재

실체를 정의하고, 그 실체가 없음을 나타낼 때, 0을 사용합니다. 예를 들어, 사과가 0개 있다는 의미는 사과가 무엇인지 정의하고, 그 정의에 맞는 사과가 없음을 의미합니다.

균형의 의미

양의 값과 음의 값, 혹은 양의 크기와 음의 크기가 있을 때, “0”은 그 양쪽의 값, 크기가 같아서 균형이 이룸을 의미합니다. 예를 들어, 이익이 0이라고 한다면, 손실과 이익이 없거나, 손실과 이익의 크기가 같아서 균형을 이룸을 의미합니다.

기준의 의미

시간의 시작 시점은 정의를 내리기 어렵기 때문에 양을 측정하기도 어렵게 됩니다. 그래서, 특정 시점을 기준으로 둘 수 있습니다.  엑셀, 구글시트와 같은 스프레드시트에서는 1899년 12월 30일 오전 12시를 기준으로 하는데, 이를 숫자로 변환하면 “0”입니다. 1를 더하면, 1899년 12월 31일 오전 12시가 되고, 0.1를 더하면, 1899년 12월 30일 오전 2시 24분이 됩니다.

자리 표시자

“0”은 숫자 체계에서 자리 표시자로 사용되기도 합니다. 10진법에서 100이라는 숫자는 10의 2승이 1개, 10의 1승이 0개, 10의 0승이 0개라는 의미인데, 100에서 1은 백의 자리 수이고, 두번째 0은 십의 자리 수, 세번째 0은 일의 자리 수입니다. 

덧셈의 항등원

덧셈의 항등원으로서의 0는 어떤 수와 0을 더해도 그 수가 변하지 않는 수입니다. 예를 들어, 5 + 0 = 5, 10 + 0 = 10, -2 + 0 = -2와 같은 식으로 0은 어떤 수를 더해도 그 수에 영향을 미치지 않습니다.

2.2. “1”의 의미

척도와 측도의 의미를 이해하는 데 있어서 ‘0″과 마찬가지로 “1”에 대한 이해가 우선되어야 합니다.

실체의 존재와 양을 측정

실체를 정의하고, 그 실체가 있음의 완전함을 표현할 때, 1을 사용합니다. 예를 들어, 사과가 1개 있다는 의미는 사과가 무엇인지 정의하고, 그 정의에 맞는 사과가 있음을 의미합니다. 

곱셈의 항등원

숫자 1은 소수도 합성수도 아닌 유일한 수입니다. 어떤 수든 1을 곱하면 원래의 수가 되며, 1은 곱셈의 항등원입니다. 

확률에서 1

확률에서 1은 “확실이 출현할 사건이나 합사건”을 표현합니다. 사건의 확률은 일반적으로 0부터 1 사이의 값을 가지며, 0은 “불가능한 사건”을, 1은 “확실한 사건”을 나타냅니다.

예를 들어, 동전 던지기에서 앞면과 뒷면이 완벽히 같은 동전이라면 앞면이 나올 사건의 확률은 0.5로, 앞면이 나오지 않을 사건의 확률은 0.5으로 표현합니다. 이 경우, 앞면과 뒷면이 같지 않은 동전이라도 앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 합은 1이 됩니다. 즉, 동전을 던지면 앞면과 뒤면 중에 반드시 한면은 나오므로 앞면이 나오는 사건과 뒤면이 나오는 사건의 합사건의 확률은 1이 됩니다. 

따라서, 확률이 1인 사건은 반드시 발생하며, 그 반대인 확률 0인 사건은 발생하지 않습니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면과 뒷면이 아닌 다른 면이 나올 확률은 0입니다(혹은 0이라고 가정합니다).

2.3. 척도

척도(scale)는 어떤 변수를 측정할 때 사용되는 기준이나 체계를 의미합니다. 통계학에서 변수는 어떤 대상의 속성을 표현하는 값으로, 예를 들어 나이, 키, 체중 등이 있습니다. 이러한 변수를 측정할 때는 척도를 정의하고 그 척도를 사용하여 변수값을 관측합니다. 관측된 변수값을 데이터라고 부릅니다. 일반적으로 척도는 4가지 유형으로 구분됩니다.

명목척도(nominal scale)

명목척도는 변수의 구분을 위한 척도로, 서로 구별되는 범주(카테고리)를 사용합니다. 예를 들어, 성별, 혈액형, 학과 등이 명목척도에 해당합니다. 명목척도의 관측값은 서로 비교할 수 없으며, 오직 분류(카테고리화)의 목적으로 사용됩니다.

순서척도(ordinal scale)

순서척도는 명목척도로 관측대상을 분류한 범주의 순서 혹은 등위의 정보를 더하여 위한 척도입니다. 로, 명목척도와 마찬가지로 범주형 변수를 측정합니다. 예를 들어, 학생들의 성적 등급(상, 중, 하), 인기순위(1위, 2위, 3위…) 등이 순서척도에 해당합니다. 순서척도는 관측값 사이의 상대적인 크기 비교가 가능하지만, 각 관측값의 차이에 대해서는 정확한 의미를 가지지 않습니다.

간격척도(interval scale)

간격척도는 간격을 관측하는 척도입니다. 관측대상의 속성의 위치와 기준과의 간격을 관측하거나 두 관측대상의 속성의 위치의 간격을 관측하여 관측값을 나타냅니다. 간격의 관측값은 양적 데이터(수치형 데이터)입니다. 예를 들어, 섭씨 온도, 시간, 나이 등이 간격척도에 해당합니다. 간격척도는 순서척도의 특징을 포함하며, 각 관측값의 차이에 대해서 정확한 의미를 가지려면 두 관측대상의 속성이 공유하는 0점을 갖지 않는 경우가 많기 때문에 두 관측값의 비교나 여러 관측값간의 비례 계산에는 제한이 있을 수 있습니다.

비례척도(ratio scale)

비례척도(비율척도)는 간격척도의 특성에 더하여 절대적인 0점을 갖는 척도로, 관측값의 비율 계산이 가능합니다. 따라서 관측대상의 속성이 절대적인 기준이 있는 양으로 표현될 수 있는 경우에 사용합니다. 비례척도 기준으로는 “절대적 영점 (Absolute Zero)”을 사용합니다. 절대적 영점은 해당 측정값이 0일 때 해당 속성이 완전히 부재함을 나타내는 지점을 의미합니다. 비례척도로 관측하는 관측대상의 속성에는 무게, 길이, 속도, 가계수입 등이 있습니다. 예를 들어, 온도를 비례척도로 측정할 때, 켈빈(Kelvin) 온도 척도(scale)에서는 0 K (절대 영점)이 온도가 없음을 나타냅니다. 이러한 비례척도에서는 절대적 영점을 기준으로 양의 방향으로 측정값을 해석할 수 있습니다.

비례척도는 4가지의 척도 중에서 가장 높은 데이터(관측값)에 대한 분석이 가능한 수준입니다. 명목척도와 순서척도와 간격척도의 모든 특성을 갖고 있으며 더하여 절대적인 의미를 가지는 “0”점을 가지는 척도입니다. 비례척도는 관측대상의 속성이 크기를 가지며, 크기가 없는 0이 정의되고 크기의 기준인 1이 정의 되는 척도입니다. 따라서 관측대사으이 속성의 크기가 있고 그 크기가 기준과 비례하는 경우에 사용되는 척도입니다. 따라서 비례척도로 관측한 여러 관측대상의 관측값의 비율도 의미를 가지게 됩니다.

예를 들어, 어떤 제품의 무게를 측정하는 경우, 무게가 0인 상태(아무것도 없는 상태)를 절대적인 0점으로 정하고, 그 상태에서 관측된 무게 값들 사이의 비율을 계산할 수 있습니다. 즉, 이 경우에는 2kg의 무게가 1kg의 무게보다 2배 더 크다는 의미를 가집니다.

또한, 비례척도는 대부분의 수학적 연산이 가능합니다. 비례척도로 표현한 관측값은 덧셈, 뺄셈 뿐만 아니라 곱셈, 나눗셈의 연산이 모두 가능합니다. 따라서 비례척도로 구한 데이터(관측값)는 사칙연산을 사용하여 구하는 평균, 분산 등의 측도를 계산할 때 사용할 수 있습니다. 정리하면 비례척도로 구한 데이터는 측도를 계산하는 데 사용할 수 있으며 측도를 이용한 통계적 분석이 가능합니다.

그러나 비례척도는 적용 가능한 변수가 제한적이라는 단점이 있습니다. 즉, 관측대상의 속성이 크기를 가져야 하면 그 크기의 기준인 “0”과 “1”이 존재해야 합니다. 또한 간격척도의 특성인 위치의 기준도 가지고 있어야 합니다.  이 때 간격척도의 위치 기준을 “0”으로 하고 비례척도의 크기 기준에서 “0”과 “1”을 사용하면 두 척도의 기준에 적용한 두 “0”사이의 관계를 명확히 나타낼 수 있어야 합니다. 예를 들어, 인간의 키는 비례척도로 관측할 수 있지만, 인간의 지능이나 인간의 성격 등의 변수는 크기의 “0”과 “1”을 정의하기가 어렵습니다. 따라서 인간의 지능이나 성격을 비례척도로 관측하려면 많은 조건이나 가정이 필요합니다. 정리하면, 어떤 개체의 속성을 분석하기 위해서는 비례척도를 적용하여 사칙연산이 가능한 데이터를 얻어야 합니다. 따라서 관측대상의 속성에 조건이나 가정을 제시하는 과정과 방법에 대한 많은 연구가 있게 됩니다.

2.4. 측도

측도(measure)란, 수학적으로 정의된 집합 위에 값을 부여하는 함수를 말합니다. 예를 들어, 실수 집합에서 정의된 함수 f(x)가 있을 때, 이 함수가 어떤 부분 집합 A의 원소 x에 대해 f(x) 값을 부여하면, 이 함수 f(x)는 집합 A 위에 측도를 정의한다고 말할 수 있습니다.

측도는 기하학, 확률론 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 기하학에서는 크기를 가지지 않는 점의 위치를 표현하는 척도에 더하여 길이,  면적, 부피 등의 크기를 가지는 개념을 표현하는 데에 측도를 도입합니다. 확률론에서도 공간의 개념을 적용하여 확률공간에서 사건의 확률을 정의할 때 측도를 사용합니다. 확률은 크기(양)을 나타내며 공간상에서 확률의 분포를 표현할 때 측도로서의 확률이 적용됩니다. 또한 확률공간에 사건의 결과를 표현하는 집합은 공간에 출현하는 개체가 속한 집합이라고 할 수 있습니다. 여기서, 집합은 관측이나 분석의 대상에 따라 범주(category), 집단(group), 수준(level), 표본(sample), 모집단(population) 등의 용어로 대치될 수 있습니다.

측도는 다음과 같은 세 가지 조건을 만족해야 합니다.

1) 비음수성 (Non-negativity): 측도가 정의된 모든 집합에 대해 측도의 값은 0 이상이어야 한다.
2) 가법성 (Additivity): 서로소인 두 집합의 측도의 합은 합집합의 측도와 같아야 한다.
3) 치환 불변성 (Translation invariance): 집합에 대해 어떤 이동이 발생해도 측도의 값은 변하지 않아야 한다.

2.5. 측도인 확률

확률

확률(probability)은 사건(event)과 매칭됩니다. 사건은 시행(try)이 있을 때마다 일어납니다. 예를 들어, “동전을 던져서 관측하기”라는 시행이 있으면 “윗면이 나오는 사건”과 “뒷면이 나오는 사건”이 일어납니다. 동전던지기 시행을 무한히 반복하면 각 사건의 통계적 확률을 구할 수 있습니다. 이 때 확률을 사건에 매칭하기 위해 표본공간(sample space)을 정의해야 합니다. 표본공간은 “일어나지 않는 사건”과 “모든 사건의 합사건”을 포함하여 일어날 수 있는 모든 사건이 원소인 집합입니다. 또한 동전을 개체(object)라고 한다면 사건은 개체를 관측하여(observe) 구한 개체의 속성이라고 할 수 있습니다. 동전을 관찰하면 동전이 앞면과 뒷면의 속성을 갖고 있음을 알 수 있습니다. 속성은 시행(try, test)의 결과를 관측하여(observe) 표현할 수도 있습니다. 따라서 사건은 개체가 나타내는 “범주형 속성”이라고 할 수 있습니다. 범주와 마찬가지로 사건도 집합으로 표현할 수 있습니다.

확률(probability)의 고전적 정의는 시행에서 가능한 모든 사건인 표본공간의 원소수에 대한 사건(event)의 원소수입니다. 여기서, 표본공간을 사건으로 대응하면 표본공간의 확률은 1이됩니다. 쉽게 말하면 시행에서 가능한 모든 경우의 수에 대한 사건이 가지는 경우의 수입니다. 확률은 시행에서의 모든 빈도에 대한 사건의 빈도인 “상대빈도”로도 설명할 수 있습니다.

확률공간

공간에는 범주가 있고 범주의 속성을 나타내는 측도에는 그 범주의 확률이 있습니다. 공간의 범주에 그 범주의 속성인 확률을 표현할 수 있으면 그 공간을 확률이 나타나는 공간인 확률공간(probability space)이라 합니다. 확률공간은 확률론에서 확률을 정의하는 데에 사용되는 수학적 개념입니다. 확률공간은 표본공간, 사건의 집합, 확률측도의 3요소로 이루어져 있어서 “triple”이라고도 불립니다. 표본공간, 사건의 집합, 확률측도가 모두 정의되면, 이를 이용하여 확률을 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률은 “P({앞면})”로 표현할 수 있습니다.

확률공간의 3요소

1. 표본공간(Sample space) : S

시행(try)의 가능한 모든 결과의 집합입니다. 예를 들어, 동전 던지기라는 시행에서 샘플 공간은 {앞, 뒤}입니다.

2. 사건의 집합(Sigma algebra) : A

표본공간의 부분집합으로서, 가능한 사건들의 집합입니다. 예를 들어, “동전을 던지고 나타난 면을 보기” 라는 시행(try)에서 가능한 사건(event)들은 {앞면}, {뒷면}, {앞면,뒷면}, {   }  등이 있습니다. 사건을 서술형으로 설명하면 {앞면}은 “주사위를 던져서 앞면이 나오는 사건”입니다. {뒷면}은 “주사위를 던져서 뒷면이 나오는 사건”입니다. 표본공간이기도 한 {앞면, 뒷면}은 주사위를 던져서 앞면 또는 뒷면이 나오는 사건”입니다. 공집합인 {   }은 “주사위를 던져서 앞면과 뒷면이 나오지 않는 사건”입니다. 사건의 집합은 다음과 같은 세 가지 조건을 만족해야 합니다.

1) 공집합과 표본공간이 사건의 집합에 속한다.

2) 어떤 사건의 여집합(complement)도 사건의 집합에 속한다.
3) 임의의 사건들의 합집합(union)도 사건의 집합에 속한다.

3. 확률측도(Probability measure) : P

확률은 집합을 표현하는 측도 중의 하나입니다. P는 사건의 집합, A에 속하는 각각의 사건에 대한 확률 값을 정의한 이산형 함수(discrete function)입니다. 이 함수는 다음과 같은 세 가지 조건을 만족해야 합니다.

1) 모든 사건, A에 대해 P(A)는 0 이상의 실수이다.
2) 표본공간, S에 대해 P(S) = 1 이다.
3) 어떤 사건들의 합집합이 서로소일 때, 그들의 확률의 합은 전체 집합의 확률과 같습니다. 즉, $\rm{A_1, A_2, \ldots}$가 서로소인 사건들이고 이들의 합집합이 A일 때, $\rm{P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots}$이다.

사건의 서로소

두 집합이 서로소(disjoint, mutually exclusive)라고 하는 것은 두 집합이 공통된 원소가 없음을 의미합니다. 즉, 교집합이 원소가 없는 공집합임을 말합니다. 더 나아가 두 사건이 서로소라는 말은, 두 사건의 결과를 표현한 집합이 서로소임을 의미합니다. 두 집합의 교집합이 공집합임을 의미합니다. 이 때의 두 사건을 서로 배타적인 사건 또는 서로 교차하지 않는 사건이라고 합니다.

서로소는 확률론에서 매우 중요한 개념입니다. 두 사건이 서로소일 때, 이들의 확률의 합은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 즉, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 입니다. 이를 이용하여, 서로소인 사건들의 확률을 계산할 때, 사건들의 확률을 더하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 “앞면이 나오는 사건”과 “뒷면이 나오는 사건”은 서로소입니다. 이는 “앞면이 나오는 사건”과 “뒷면이 나오는 사건”이 교집합을 가지지 않기 때문입니다. 또한, 두 집합이나 사건이 서로소일 때, 이들의 합집합은 각 집합의 크기의 합과 같습니다. 

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

리커트 척도

리커트 척도는 그 발명자인 미국의 사회심리학자 Rensis Likert의 이름을 딴 심리측정 척도입니다. 이 척도는 연구 설문지에서 흔히 사용됩니다. 설문 연구에서 응답을 척도화하는 방식으로 가장 널리 사용되며, 때문에 ‘리커트 유형 척도(Likert-type scale)’라는 용어는 평가 척도(rating scale)와 종종 동의어로 사용되기도 하지만, 평가 척도에는 다른 유형들도 있습니다.

리커트는 척도 자체와 응답이 점수화되는 형식 사이를 구분하였습니다. 엄밀히 말하면, 리커트 척도는 전자만을 가리킵니다. 이 두 개념 사이의 차이는 리커트가 조사하려는 기본 현상과 그 현상을 나타내는 변동을 포착하는 방법 사이의 구분에서 나옵니다.

리커트 항목에 응답할 때, 응답자들은 일련의 진술에 대한 동의 또는 불일치의 수준을 대칭적인 동의-불일치 척도에서 지정합니다. 따라서, 척도는 주어진 항목에 대한 그들의 감정의 강도를 포착합니다.

척도는 개별 항목(질문) 세트에 대한 설문지 응답의 단순한 합계나 평균으로 생성될 수 있습니다. 이렇게 하면, 리커트 척도는 각 선택 사이의 거리가 동일하다고 가정합니다. 많은 연구자들은 높은 내적 일관성을 보이는 항목 세트를 사용하며, 동시에 연구 대상 전체 영역을 포착할 것이라고 가정합니다. 다른 연구자들은 “모든 항목이 서로의 복제본이라고 가정하거나 다시 말해 항목들이 병렬 도구로 간주된다”는 기준을 고수합니다. 반면, 현대의 시험 이론은 각 항목의 난이도를 항목 척도화에 포함시킬 정보로 간주합니다.

리커트 척도의 등간성에 대한 논의는 연구자들 사이에서 여전히 진행 중인 토론의 주제입니다. 일부 연구자들은 리커트 척도를 등간척도로 간주하여 적절한 통계 분석을 수행하며, 다른 연구자들은 그렇지 않다고 주장합니다.

특히 리커트 척도의 등간성을 수학적으로 증명한 구체적인 참고문헌을 제공하기는 어렵습니다. 이는 대부분의 연구가 통계적 또는 실증적인 근거를 기반으로 하는데, 수학적 증명 방식과는 다르기 때문입니다. 리커트 척도의 성질과 사용에 대한 더 깊은 연구나 이해를 원한다면, 측정 이론 (measurement theory) 또는 척도 이론 (scale theory) 관련 문헌을 참조하는 것이 좋습니다.

Reference

Likert scale – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Wikipedia “Measure”

Wikipedia “Scale”

Wikipedia “Scale analysis(statistics)”

나무위키 “척도”

Britannica “measurement scale” 

2.1. 개체와 도수

개체(object)

개체는 속성을 가집니다. 개체(예를 들면 인간)의 속성은 한번 실현되면 변하지 않는 속성(예를 들면 성별)이 있고 상황에 따라 변하는 속성(예를 들면 몸무게)이 있습니다. 개체를 분석하기 위하여 개체의 속성을 변수로 모델링하는 데 특별히 변수값에 따른 확률값을 가지는 확률변수로 모델링할 수 있습니다. 확률변수는 확률분포를 나타내는 데, 예를 들어 한우의 품질등급은 대한민국(전체시공간, 전체범주)에서 전수조사를 하면 품질등급에 따른 개체수로 한우품질의 분포를 볼 수 있습니다. 그리고 생산지(부분시공간, 부분범주)별 한우품질의 분포도 볼 수 있습니다.  이때 한우의 개체수가 많다면 개체수로 구한 한우가 태어날 때 예측하는 한우품질의 확률분포와 비슷하다고 볼 수 있습니다. 한편, 확률변수는 범주형(질적)과 수치형(양적)으로 나누어 집니다. 개체의 속성을 관측한 관측값의 집합을 개체의 데이터 레코드(record)라 합니다. 개체의 ID와 그 개체의 관측값은 개체가 이루는 범주의 요소(element)가 됩니다.

도수(빈도수, 頻度数, frequency)

도수는 빈도수의 약어입니다. 도수(frequency)는 정해진 기간(period)에 정해진 공간(space)에서 개체(object)가 출현한 회수입니다. 여기서 공간은 개체의 속성을 표현하는 변수가 만듭니다. 개체가 서로 독립적인 다수의 속성을 가진다면 속성이 관측된 개체는 다차원 공간에 출현한 점(point)으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 개체가 서로 독립적인 3개의 속성을 가진다면 개체가 나타나는 공간은 3차원 공간이라고 볼 수 있습니다. 3차원에서 공간의 예는 체적이 있습니다. 체적은 점 또는 선 또는 면의 적(積, 쌓음)으로 표현될 수 있습니다. 한편, 공간은 부분공간의 합으로 생각할 수 있고 부분공간의 위치를 부분공간을 대표하는 점(point)으로 모델링하기도 합니다. 정리하면, 전체공간을 이루는 각 부분공간에 개체가 정해진 시간동안 출현하는 회수가 그 부분공간의 도수가 됩니다.

개체분포와 도수분포

개체의 분포를 도수의 분포로 만드는 방법은 개체가 속하는 범주로 개체를 구분하는 것으로부터 시작됩니다. 각 범주는 도수를 가질 수 있으며 이 도수는 범주를 표현하는 “양(量)”이라고 할 수 있습니다. 따라서 도수분포는 “양(量)”으로 나타낼 수 있는 범주의 분포라고 할 수 있습니다. 개체의 속성이 명목형이라고 하더라도 그 개체가 속한 범주로 개체가 출현한 회수(도수)는 “양(量)”이므로 개체의 속성을 분석하고 예측하는 중요한 기반이 됩니다.

2.2. 상대도수와 확률

상대도수(relative frequency)

상대도수는 정해진 기간과 전체공간에서의 전체 도수와 각 부분공간에서의 도수의 비율입니다. 관측된 개체가 많아지면 전체공간에 많은 개체의 점(point)이 출현하여 분포를 나타냅니다. 이 때 전체공간을 분할한 부분공간에 상대도수를 표현한다면 이는 출현한 개체의 분포를 정량적으로 표현한 것입니다.  분할된 각 부분공간에서의 상대도수의 합은 1이 되며 관측된 개체의 수가 많아 질수록 개체의 속성을 표현하는 확률변수의 확률분포와 점점 같게 됩니다. 이를 통계적 확률분포라고 합니다.

확률(probability)

개체가 관측되기 전에는 개체의 속성이 만드는 공간의 어디에 개체가 나타날지 모릅니다. 만일, 개체의 속성이 확률을 가지는 변수로 표현된다면 개체가 공간의 어디에 나타날지를 확률로 표현할 수 있게 됩니다. 또한 정해진 기간이 길어서 많은 개체가 출현하였고 모든 개체가 같은 속성을 가진다면 개체의 분포는 개체가 가지고 있는 속성을 표현하는 확률변수의 확률분포를 나타냅니다.

2.3. 개체분포(population distribution)의 시각화

개체는 개체가 가지는 속성이 만드는 공간에서 분포합니다. 따라서 개체분포를 시각화하기 위해서는 개체가 가지는 속성을 변수로 모델링한 좌표계를 우선 정합니다.

산점도(산포도, scatter plot)

산점도는 두 개 이상의 속성이 만드는 2차원 좌표계 또는 그 이상의 좌표계에서 개체의 분포를 시각화한 것입니다. 산점도는 개체의 속성이 만드는 공간에서 개체가 흩어진 모양을 관찰할 수 있으며 개체의 속성 간의 관계를 보여줍니다.

점그래프(dot plot)

점그래프는 개체의 속성이 하나인 경우 관측값을 1차원 좌표계에서 좌표축의 수직방향으로 겹치지 않게 점으로 쌓는 평면상의 그래프입니다. 점그래프는 관측값이 같은 경우라도 겹치지 않게 한 방향으로 쌓아 올리기 때문에 중심경향, 퍼짐정도, 특이값 등을 살펴볼 수 있습니다.

2.4. 도수분포(frequency distribution)의 시각화

도수는 범주에서의 개체의 출현회수입니다. 그리고 도수분포는 각 범주의 위치에서의 도수입니다. 따라서 도수분포를 시각화하기 위해서는 개체가 속하는 범주와 그 범주의 위치를 우선 정합니다. 도수분포의 시각화에서는 개체의 속성을 수치형 변수로 모델링하고 관측한 경우에는 개체가 속하는 범주의 구간을 정하는 것이 중요하고 범주형 변수인 경우에는 개체가 속하는 범주를 구분할 수 있도록 가능한 변수를 정하는 것이 무엇보다 중요합니다.

막대그래프(bar chart) : 확률변수가 범주형이거나 이산형

막대그래프는 확률변수가 범주형이거나 이산형인 경우, 도수분포를 시각화하는 방법입니다. 막대그래프에서 독립변수는 범주형이거나 이산형인 확률변수이고 종속변수인 막대의 길이는 도수입니다. 

만일 각 독립변수에서의 막대의 길이를 도수에서 상대도수로 변환하면 막대의 길이는 확률질량이 됩니다. 이 때 막대의 길이를 모두 합하면 확률질량의 합과 마찬가지로 1이 됩니다.

히스토그램(Histogram) : 확률변수가 연속형

히스토그램은 확률변수가 연속형인 경우 도수분포를 시각화하는 방법입니다. 연속형인 확률변수는 같은 크기를 가지는 구간(bins, intervals)으로 구분됩니다. 구분된 구간이 밑면이고 각 구간에서의 도수가 높이인 직사각형의 이음을 히스토그램이라고 합니다. 히스토그램을 이루는 직사각형들은 밑면의 크기가 일정하며 빈틈없이 이어져 있습니다. 따라서 히스토그램을 이루는 직사각형의 높이를 전체도수와 구간의 길이로 나누면 직사각형의 면적의 합을 1로 만들 수 있습니다. 히스토그램은 연속형 확률변수의 확률분포를 나타내는 이산확률밀도함수의 모양과 같습니다. 따라서종속변수의 도수를 전체도수와 구간의 길이로 나누면 이산확률밀도함수로 변환할 수 있다는 큰 장점이 있습니다. 연속형 확률변수의 관측값으로 히스토그램을 그리면 확률분포의 모양을 직관적으로 살펴볼 수 있기 때문에 매우 유용한 데이터시각화 방법입니다. 

연속형 데이터의 분석을 위한 히스토그램을 그리기 위해서는 우선 도수분포표를 만듭니다. 도수분포표(frequency table)는 연속형 확률변수를 구간으로 나누고 관측한 확률변수값(데이터)의 구간에서의 도수를 표로 만든 것입니다. 도수분포표에서 중요한 것은 적합한 구간크기(구간간격)를 정하는 것입니다. 데이터(관측값)에는 범위가 있으므로 구간크기가 정해지면 구간의 개수는 자동으로 계산됩니다. 데이터분석의 목적에 맞는 구간크기를 정하는 방법은 경험법칙부터 다양한 방법이 있습니다. 

2.5. 개체분포의 모델 

출현할 개체의 분포를 함수식으로 표현할 수 있으면 그 함수식을 개체분포의 모델이라고 합니다. 함수식으로 표현된 수학모델로 출현할 개체의 분포를 시각화할 수 있습니다. 개체분포의 모델은 개체의 확률분포와 같습니다.

이산형 확률분포 : 확률변수가 이산형

함수로 표현하는 대표적인 이산형 확률분포로는 베르누이분포, 이항분포, 포와송분포, 기하분포가 있습니다. 이 분포들의 정의역은 자연수(양의 정수)입니다. 그리고 함수값은 확률질량, 즉, 확률입니다. 그래서 이산형 확률분포를 나타내는 함수를 확률질량함수(probability mass function, PMF)라고 합니다.

연속형 확률분포 : 확률변수가 연속형

함수로 표현하는 대표적인 연속형 확률분포로는 정의역이 실수인 지수분포, 정규분포가 있고 정의역이 0에서 1인 베타분포가 있습니다. 감마분포는 정의역이 양의 실수입니다. 그리고 함수값은 확률밀도입니다. 그래서 연속형 확률분포를 나타내는 함수를 확률밀도함수(probability density function, PDF)라고 합니다. 함수값인 확률밀도를 적분하면 확률질량, 즉, 확률이 됩니다.

2.6. 도수분포의 모델

범주를 표현하는 “양”으로 개체의 도수(개체가 범주에 출현하는 회수)가 있습니다. 도수분포의 모델은 범주에 나타나는 개체의 출현회수의 기대값에 기반합니다. 개체가 속하는 표본도 범주라고 볼 수 있습니다. 도수분포의 모델은 표본의 확률분포라고 할 수 있습니다.

표본통계량의 확률분포

개체가 속하는 시공간의 범주 중에는 표본이 있습니다. 표본의 분포(표집분포)는 범주의 분포로 볼 수 있고 표본통계량의 분포는 확률분포로 모델링할 수 있습니다. 표본통계량의 확률분포 모델은 대표적으로 연속형 확률분포로 F분포와 t분포가 있습니다. F분포와 t분포를 표현하는 함수의 무수(매개변수)는 표본크기입니다.

알고 있는 확률분포 모델과 관측한 표본데이터로 추정하는 모수(분포함수의 매개변수)

개체가 속하는 시공간의 범주 중에는 표본이 있습니다. MLE(Maximum Likelihood Estimation, 최대우도를 목표로 하는 모수 추정법)로 확률분포의 모수를 추론합니다. 이때 경험으로 알고 있는 확률분포 모델과 표본데이터를 이용하여 확률분포의 가능도를 최대로 하는 확률분포함수의 모수를 구합니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

막대그래프

막대그래프는 데이터값에 비례하는 길이를 가지는 직사각형 막대로 데이터값을 표현합니다. 막대그래프는 세로 또는 가로로 그릴 수 있습니다. 세로 막대그래프는 때로는 선 그래프와 같이 표현됩니다. 막대그래프는 각 범주간 데이터값을 잘 비교합니다. 그래프의 한 축은 비교할 특정 범주를 표시하고 다른 축은 측정된 데이터값을 길이로 나타냅니다. 막대 그래프를 응용하면 두 개 이상의 그룹으로 묶어서 막대를 나타낼 수 있으며 둘 이상의 측정 변수의 값을 비교하여 보여 줄 수 있습니다.

Reference

Bar chart – Wikipedia

히스토그램

데이터값의 분포를 표현하는 방식중의 하나입니다.  연속확률변수의 확률값을 막대그래프 모양으로 표현한 것입니다. Karl Pearson에 의해 처음 소개되었습니다.

히스토그램을 작성하려면 먼저 변수 범위를 구간(“bin”또는 “bucket”)으로 나눕니다. 그리고  각 구간에 몇 개의 데이터 값이 속하는 지를 정리합니다. 구간은 연속적이고 겹치지 않고 인접해야 하며 같은 간격이면 분석에 용이합니다.(구간 간격이 꼭 같아야 하는 것은 아닙니다.)

직사각형(막대)의 높이에 비례하는 빈도수는 상대빈도수로 정규화될 수 있습니다.  구간들이 동일한 간격이고 간격이 1인 경우, 빈도수를 정규화하게 되면 각 직사각형의 높이는 상대빈도수를 표현하는 확률이 되어 각 직사각형의 높이의 합은 1이 됩니다. 그러나 구간은 동일한 폭(구간크기)일 필요는 없습니다. 이 경우 직사각형(막대)은 구간의 빈도수에 비례하는 면적을 갖도록 정의됩니다 . 수직축은 빈도수가 아니라 빈도수밀도(수평축상의 변수의 단위당 경우의 수)입니다. 모양은 막대 그래프의 막대가 서로 인접한 모양으로 변수가 연속적으로 표현되었다는 것이 중요합니다.

히스토그램은 데이터의 기본 확률분포밀도를 대략적으로 나타내며, 확률밀도 추정시 자주 사용됩니다 . 즉, 기본 확률변수의 확률밀도함수를 나타냅니다 . 확률 밀도에 사용되는 히스토그램의 총 면적은 항상 1로 정규화됩니다. $X$ 축의 간격이 모두 1이면 히스토그램은 상대빈도 막대그래프와 동일합니다 . 히스토그램은 통계적 속성을 모델링해야 할 때 통계 패키지 프로그램에서 자주 쓰입니다. 예를 들면, 커널 밀도 추정치의 상관 관계 변이는 수학적으로 설명하기가 매우 어렵지만 각 구간이 독립적으로 변하는 히스토그램에서는 이해하기가 쉽습니다. 커널 밀도 추정의 대안은 평균 이동된 히스토그램입니다  계산 속도는 빠르며 커널을 사용하지 않고 밀도를 부드럽게 계산할 수 있습니다.

히스토그램은 때때로 막대그래프와 혼동됩니다.히스토그램은 연속 데이터에 사용되기 때문에 막대는 붙어 있게 됩니다.  그래서 구별을 분명히 하기 위해 막대그래프는 막대 사이에 간격을 줍니다.

Reference

Histogram – Wikipedia

4.2. 참고문헌

모집단과 표본의 통계량

모집단(population)이 정규분포일 때 표본크기($n$)의 변화에 따른 표본평균 표집의 확률밀도함수

2.1. 모집단(Population)분포 : 모집단내 개체의 분포

모집단(Population)은 관측대상이 되는 개체들의 전체 집합이며 연구대상입니다.

모집단분포를 모수(parameter)로 표현

모집단분포를 표현하는 모수는 상수이며 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

– 분포의 위치(Location)를 표현 : 모평균($\mu$)

– 분포의 크기(Scale)를 표현 : 모분산($\sigma^2$), 모표준편차($\sigma$)

– 분포의 비대칭성(Skewness)을 표현 : 피어슨비대칭도($\gamma$)

모집단분포 모델

모집단분포는 일반적으로 정규분포(Normal distribution)를 따른다고 가정합니다. 그 이유는 모집단을 이루는 개체의 속성이 연속형 확률변수이고 정규분포를 나타내면 모집단분포도 정규분포를 나타내기 때문입니다. 즉, 자연계에서는 개체의 속성이 정규분포를 이루는 경우가 대부분이기 때문입니다. 예를들어 개체의 속성 중에서 키는 최소생성단위(성공 또는 실패)가 큰 회수로 시도되어 누적된 결과라고 볼 수 있습니다. 이 결과는 시도의 횟수가 유한한 경우 이산형 확률변수로 표현되어 이항분포가 되고 시도의 횟수가 무한하면 연속형 확률변수로 표현되어 정규분포가 됩니다. 특히 연속형 확률변수의 경우 분포를 함수와 함수의 매개변수(모수)로 모델링할 수 있습니다.

모집단분포의 모수

정규분포를 표현하는 모수(parameter, 매개변수)는 평균($\mu$)과 분산($\sigma^2$)입니다. 모집단분포를 알기위해서는 모집단을 관측해야 하지만, 모집단은 일반적으로 큰 수의 개체로 구성되어 있습니다. 따라서 모든 개체를 조사하는 것이 불가능하거나 조사하더라도  시간과 비용이 너무 많이 소요되는 경우가 많습니다. 따라서 표본을 추출하여 관측하는데 표본분포의 모수 중에서 표본평균과 표본분산 그리고 표본크기를 가지고 모평균과 모분산을 추론하게 됩니다. 다음은 모집단분포가 정규분포일 때 모수(매개변수)의 계산식입니다.

모평균($\mu$)

$$\mu=\dfrac{1}{N}(x_1+x_2+\cdots+x_N)=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i$$

여기서, $N$은 모집단크기

모분산($\sigma^2$)

$$\sigma^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}{N}$$

여기서, $N$은 모집단크기

정규분포로 모델링한 모집단분포

모집단분포가 정규분포이면 즉, 모집단$(x_1,x_2,\cdots,x_N)$이 정규분포를 따르고 있다고 가정하면 다음과 같이 표기합니다.

$$X \sim N(\mu,\sigma^2)$$

여기서, $X$는 모집단을 이루는 개체가 가지는 확률변수

$\mu$는 모평균

$\sigma^2$은 모분산

2.2. 표본분포 : 표본내 개체의 분포

모집단의 일부 개체를 선택하여 추출함에 있어 그 일부분이 모집단을 대표할 수 있도록 무작위로 선택합니다. 이를 무작위추출(random sampling)이라 하며 추출에서 선택된 모집단의 일부를 표본(Sample)이라고 합니다. 따라서 표본분포는 모집단분포를 반영합니다.

개체와 집단간의 가정 : $\rm iid$(independent and identically distributed random variable)가정

모집단을 이루는 개체가 독립이고 개체의 속성을 나타내는 확률변수가 같은 확률분포를 가진다고 가정하면 모집단은 독립항등분포를 나타내는 확률변수($\rm iid$, independent and identically distributed random variable) iid가정을 따른다고 합니다. 이 가정에 따르면 표본분포는 모집단분포와 같다고 할 수 있습니다.

표본과 모집단간의 가정

가정 1 : 표본은 모집단의 일부분이다. : 표본은 모집단의 부분집합

표본

$$x_1,x_2,\cdots,x_n$$

분포식

$$x_1,x_2,\cdots,x_n \sim {\rm iid} \, N(\mu,\sigma^2)$$

여기서,  ${\rm iid}$는 independent and identically distribution의 약자로서 독립항등분포

${\rm iid} \, N(\mu,\sigma^2)$는 독립항등분포의 분포가 정규확률분포

iid의 처음 i는 개체가 독립(independent)이고, 두번째 i는 개체가 가지는 확률변수의 확률분포가 개체간 동일함(identically distributed)을 의미합니다. 따라서 표본 $\{x_1, x_2~ x_n\}$의 개체(원소)는 서로 독립적이고 모든 개체가 가지는 확률변수는 같은 확률분포를 가집니다. 그리고 모집단의 확률분포는 개체가 가지는 확률변수의 확률분포와 같게 됩니다. 만일 모집단분포가 정규분포라면 개체가 가지는 확률변수도 평균이 $\mu$이고, 분산이 $\sigma^2$ 정규분포를 따릅니다. “iid”가정은 모집단과 표본을 이루는 개체에 대한 중요한 가정입니다

가정 2 : 표본은 모집단 전체에 분포한다. : 무작위추출

모집단

$$X_1,X_2,\cdots,X_N$$

여기서, $N$은 모집단의 크기

분포식

$$X_1,X_2,\cdots,X_N \sim {\rm iid} \, N(\mu,\sigma^2)$$

여기서, $N$은 모집단의 크기

여기서,  $\rm{iid}$는 모집단을 이루는 독립적인 개체가 가지는 확률변수들이 동일한 확률분포를 가진다는 기호

표본

$$X_1,X_2,\cdots,X_n$$

분포식

$$X_1,X_2,\cdots,X_n \sim {\rm iid} \, N(\mu,\sigma^2)$$

여기서, $n$은 표본의 크기

$\rm{iid}$는 표본을 이루는 독립적인 개체가 가지는 확률변수는 동일한 확률분포를 가진다는 기호

위의 두 가정을 통하여 표본은 모집단의 분포와 동일한 분포를 나타냄을 분포식으로 모델링합니다. 따라서, 표본으로 모집단 분포를 표현하는 모수의 통계적 추론(Statistical Inference)이 가능합니다. 통계적 추론은 표본 데이터를 이용하여 모수에 대한 정보를 얻는 방법론입니다. 모집단으로부터 추출한 표본의 표본분포는 표본의 크기가 모집단 크기와 같아질수록 같아집니다. 이를 큰 수의 법칙이라고 합니다. iid 가정에 의해 표본으로부터 통계량을 구하여 모집단의 모수를 점추정할 수 있고 그 신뢰구간도 제시할 수 있습니다. 제시한 신뢰도(0에서 1사이 또는 0%에서 100%사이)에 따른 신뢰구간을 구하는 것을 구간추정이라고 합니다.

2.3. 통계량(Statistic)

통계량은 집단을 이루는 개체가 가지는 변수값(데이터)을 관측하고 가공하여 집단을 표현하는 값입니다. 대표적인 통계량에는 평균, 분산이 있고 집단을 이루는 개체의 수도 그  집단의 통계량입니다. 대표적인 집단에는 모집단과 표본이 있습니다. 그리고 개체가 모여서 구성하는 범주(Category)도 집단의 부분집단으로서 집단이라고 할 수 있습니다. 만일 범주가 순서를 가지면 수준(Level)이라고 합니다.  Statistic(통계량)의 복수형인 Statistics이 통계학인 것을 볼 때 통계학(Statistics)은 통계량(Statistic)을 다루면서 시작되었다는 것을 짐작할 수 있습니다.

통계량 중에서 기초통계량

통계량 중에서 기초통계량은 통계량 중에서 최대값, 최소값, 순서통계량, 중앙값을 지칭합니다. 기초 통계량은 집단의 원소값(데이터)의 식으로 모델링되지 않고 논리적 판단으로 구하게 됩니다.다만 부호나 위치를 사용하여 순서로 표현되는 분포를 수식으로 모델링하기도 합니다.

통계량 중에서 모수(parameter, 매개변수)

통계량 중에서 모수는 집단의 분포를 표현하는 분포함수의 매개변수를 말합니다. 예를 들어 모집단이 정규분포를 나타낸다면 모수는 모평균과 모분산이 됩니니다. 예를 들어 표본의 분포를 t분포로 표현한다면 표본평균과 표본분산 그리고 표본크기가 모수가 됩니다. 

표본통계량 중에서 표본평균, 표본분산, 표본크기는 표본분포의 모수

모집단분포를 나타내는 모집단의 모수는 모집단분포를 나타내는 함수의 매개변수라고 할  수 있습니다. 모집단과 표본의 관계에서 중요한 사실은 표본통계량은 모집단의 모수(예를들면, 모평균, 모분산 등)가 상수인 것과 달리 모집단의 모수를 평균으로 하는 확률변수라는 점입니다. 특히 표본평균의 분포(표본평균의 표집분포)는 표본의 크기가 커지면 정규분포에 근사하는 데 이를 중심극한정리라고 합니다. 중심극한정리에 근거하여 표본통계량으로 모집단모수를 추측하게 합니다. 중심극한정리는 추측통계학이 시작되는 중요한 정리입니다. 표본통계량은  영어 대문자를 사용하여 표기합니다. 그리고 표본의 데이터를 이용하여 계산한 결과인 표본통계량의 값은 소문자를 사용하여 표기합니다. 가장 대표적인 표본통계량은 표본평균과 표본분산이 있습니다.  그리고 다른 모든 표본통계량과 관련되는 표본크기가 있습니다.

표본평균

$$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_N)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

여기서, $n$은 표본크기

표본분산

$$S^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}$$

여기서, $n$은 표본크기

2.4. 표집분포(Sampling distribution) : 표본통계량의 분포

표집은 표본의 집합을 의미합니다. 표집분포(Sampling distribution)는 표본에서 구한 표본통계량의 분포입니다. 복원추출로 표본추출(Sampling)을 무한반복하면 관측된 표본통계량의 분포는 수렴합니다. 표본통계량에는 대표적으로 표본평균, 표본분산, 표본크기, 표본변동이 있습니다. 또한, 모집단에 범주(Category)가 있어 표본에도 범주가 나타난다면 표본통계량에는 범주에 속한  개체수와 표본크기(표본의 총개체수)의 비율을 나타내는 범주확률이 있습니다. 만일 표본이 이분분포로 되어있다면 표본통계량에는 표본비율이 있습니다.

표본평균의 분포

표본평균은 확률분포를 가지는 확률변수입니다. 표본평균은 독립변수가 확률변수, $x_i$이고 독립변수의 계수가 $\dfrac{1}{n}$로 모두 같은 선형함수로 표현할 수 있습니다. 이 함수는 표본의 관측값의 산술평균과 표본평균의 추정량(estimator)을 표현하기도 합니다. 

$$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

표본평균은 중심극한정리에 따라 표본크기가 클수록 모평균($\mu$)을 평균으로하고 $\dfrac{\sigma^2}{n}$을 분산으로하는 정규분포에 근사합니다.

$$\bar{X} \sim N(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n})$$

여기서, $n$은 표본크기

표본크기가 크다면 표본평균($\bar{X}$)의 분포가 모평균($\mu$)을 평균으로하고 $\dfrac{\sigma^2}{n}$을 분산으로하는 정규분포에 근사하므로 표본평균은 표준정규분포의 확률변수인 $Z$로 변환할수 있습니다.

$$Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1^2)$$

여기서, $n$은 표본크기

표본분산의 분포

표본분산($S^2$)은 표본평균과 마찬가지로 표본크기($n$)가 클수록 모분산($\sigma^2$)을 평균으로 하는 정규분포를 나타냅니다. 다만 표본분산의 분포는 표본크기가 작을수록 표본평균의 분포와 달리 모집단분포의 영향을 심하게 받습니다. 예를들어 개체의 확률변수가 정규분포를 가진다고 하면 표본크기가 2부터 시작하면서 커질 때 표본평균의 분포는 대칭인 종모양의 분포로 시작하여 모평균이 평균인 정규분포로 수렴하는 데 반해 표본분산의 분포는 심한 비대칭인 분포로부터 시작하여 모분산이 평균인 정규분포로 수렴합니다. 표본크기가 30이하인 경우 이 현상은 두드러지게 나타나므로 표본크기에 따른 표본분산의 분포를 고려해야 합니다. 여기서 새로운 확률변수를 도입하게 되는 데 이것이 표본을 이루는 각 개체의 변동을 합한 표본변동(Sample variation)입니다.

$${x_1^2-\bar X}^2+{x_2^2-\bar X}^2+ \cdot + {x_n^2-\bar X}^2$$

영국의 육종학자인 피셔는 개체가 가지는 확률변수가 표준정규분포를 가진다고 모델링하고 표본을 이루는 각 개체의 변동을 모분산($\sigma^2$)으로 표준화하여 카이제곱($\chi^2$)이라는 확률변수를 도입하였습니다. 이 확률변수는 표준정규분포의 확률변수인 $Z$로 부터 유도됩니다. 만일 표본을 이루는 개체가 가지는 확률변수 $X$가 정규분포를 나타내고 표본크기가 $n$이라면 표본편동을 다음식으로 표현할 수 있습니다.

$$\dfrac{1}{\sigma^2}({x_1^2-\bar X}^2+{x_2^2-\bar X}^2+ \cdot + {x_k^2-\bar X}^2)=Z_1^2+Z_2^2+ \cdot + Z_k^2=\chi_k^2$$

여기서, $k$는 표본의 자유도이고 $n-1$

표본분산은 독립변수가 확률변수, $s_i^2$이고 독립변수의 계수가 $\dfrac{1}{n}$로 모두 같은 선형함수로 표현할 수 있습니다. 이 함수는 표본의 관측값의 분산과 표본분산의 추정량(estimator)을 표현하기도 합니다. 

$$S^2=\dfrac{1}{n}(s_1+s_2+\cdots+s_n)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}$$

표본분산($S^2$)에 $\dfrac{(n-1)}{\sigma^2}$을 곱하거나 표본분산($S^2$)을 $\dfrac{\sigma^2}{(n-1)}$으로 나누어서 표본분산($S^2$)$을 카이제곱분포를 따르는 확률변수인 $\chi^2$으로 변환합니다.

$$(n-1)\dfrac{S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$$

여기서,  $n$은 표본크기

$(n-1)$은 표본의 자유도

$\chi^2_{n-1}$은 자유도가 $(n-1)$인 카이제곱분포

표본변동의 분포

표본변동은 표본평균과 관측값(데이터)의 차의 제곱을 모두 더한 값입니다. 그리고 표본을 추출할 때마다 표본크기와 표본평균에 따라서 변하는 확률변수입니다. 표본변동의 분포는 평균이 $n\sigma^2$인 분포를 나타낼 것입니다. 표본변동을 표준화하면 카이제곱분포를 나타내는데 표본크기에 따라 분포의 모양이 다릅니다. 관측값(실현값, 데이터)를 표준화한 확률변수 Z와 $\chi^2$의 관계를 살펴보면 확률변수 Z를 제곱한 확률변수는 자유도가 1인 $\chi^2$확률변수와 같습니다. 

$$Z^2 \sim \chi_{1}^2$$

여기서,  $Z$는 표준정규분포 : $Z \sim N(0,1)$

만일 $Z_i \sim $\rm iid$ \ N(0,1),i=1,2,\cdots,n$이면 표준정규분포를 나타내는 $n$개의 개체로 이루어진 표본의 표본변동을 나타내는 식은 다음과 같습니다. 표준정규분포를 가지는 개체로 이루어진 표본변동의 분포는 카이제곱분포를 나타내며 이 분포함수의 모수(매개변수)는 자유도입니다.

$$Y=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_{n-1}^2 \sim \chi_{n-1}^2$$

여기서,  $\chi_{n-1}^2$은 자유도가 $(n-1)$인 카이제곱분포

표본크기의 분포

표본을 이루는 개체가 iid$N(0,1)$ 가정을 따르면 즉, 확률변수가 독립적이고 확률분포가 표준정규분포를 가진다면 표본변동을 다음식으로 표현할 수 있습니다.

$$Y\sim iid \, N(0, 1)$$

위식으로 가정된 표본변동의 분포는 표본크기의 분포를 나타내며 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$Y \sim \chi_{n}^2$

표본크기의 분포의 평균은

$${\rm E}[Y]=n$$

표본크기의 분포의 분산은

$${\rm Var}[Y]=2n$$

표본비율의 분포

범주의 변동은 범주의 개체수와 비례(선형관계)이므로 각 범주의 비율은 각 범주의 변동의 비율입니다. 만일 표본을 이루는 범주의 카이제곱값을 표본의 카이제곱값으로 나누면 그  범주의 비율이됩니다. 범주의 비율은 확률변수로 볼 수 있는 데 모집단에서 표본을 무한추출하면 범주의 비율은 수렴을 하기 때문에 확률이라고 볼 수 있습니다. 두 카이제곱변수의 비도 확률변수인 데 영국의 유전학자 피셔가 유도하여 그 확률변수를 F라 부릅니다.

범주확률의 분포

표본에 범주가 있는 경우에는 각 범주의 변동과 각 범주의 평균의 변동의 합이 표본변동이 됩니다. 만일 표본이 두 범주를 가지고 있고 각 범주가 각각 $Y_1$과 $Y_2$의 변동을 나타낸다 하면 표본의 변동식은 다음과 같습니다.

$$Y=Y_1+Y_2$$ 

자유도식은 다음과 같습니다.

$$n=k+n_1+n_2=2+n_1-1+n_2-1$$

여기서 $k$는 범주의 수

 $n_1$과 $n_2$는 두 범주의 개체수

두 변동의 합을 다음식으로 표현할 수 있습니다. 

$$Y=Y_1+Y_2 \sim \chi_{n_1-1}^2+\chi_{n_2-1}^2=\chi_{n_1+n_2-2}^2$$

여기서, $Y$는 두 범주의 변동의 합

$Y_1$과 $Y_2$는 표본을 이루는 두 범주의 변동

$n_1$과 $n_2$는 표본을 이루는 두 범주에 속하는 개체수

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

표집분포(표본분포, sampling distribution or finite-sample distribution)

통계에서 표본분포는 표집분포(sampling distribution) 또는 유한표본분포( finite-sample distribution)라 불리우기도 합니다. 표본분포는 정해진 무작위 표본추출을 기반으로 한 확률분포입니다. 여러가지의 관측(observations)결과가 있는 매우 많은 표본의 통계량(예를 들어 표본평균 또는 표본분산)을 계산한다면,  표본분포는 그 표본이 가지는 확률변수의 확률분포라고도 할 수 있습니다. 따라서 많은 경우, 하나의 표본을 관찰하고 표본분포는 이론적으로 구합니다.

표본분포는 통계적 추론(statistical inference)을 위한 핵심 단순화과정이기 때문에 통계에서 매우 중요합니다. 보다 구체적으로, 표본분포의 분석시 고려사항은 표본통계량의 공동확률분포(joint probability distribution)보다는 모집단(통계집단) 확률분포의  조사 기반으로의 사용입니다.

Reference

Sampling distribution – Wikipedia

통계적 매개변수(statistical parameter or population parameter)

통계적 매개변수(statistical parameter), 혹은 모집단 매개변수(population parameter)는 통계량(statistic)이나 확률변수(random variable)의 확률분포(probability distribution)에 사용되는 변수입니다. 이들은 통계적 모집단(statistical population)이나 통계적 모델(statistical model)의 수치적 특성으로 볼 수 있습니다.

색인된 분포 계열( indexed family of distributions)이 있다고 가정합니다. 색인이 계열 구성원의 매개변수이면 이 계열은 매개변수화된 계열입니다. 예를 들어,  chi-squared 분포의 계열은 자유도에 의해 색인될 수 있습니다. 자유도의 값은 분포의 매개변수이므로 chi-squared 분포의 계열은 매개변수화 된 것입니다.

Reference

Statistical parameter – Wikipedia

4.2. 참고문헌

https://www.statlect.com/glossary/parameter

변수가 만드는 움직임 (개체의 분포)

2.1. 자유도 degree of freedom

개체의 자유도

개체가 1개의 변수를 가지고 있다면 변수가 만드는 1차원 좌표계에서 개체의 움직임(개체의 출현도 움직임의 일종)을 표현할 수 있습니다. 따라서, 개체가 1개의 변수를 가지고 있다면 한 축에서 움직일 수 있기 때문에 이 개체는 자유도가 1인 개체라고 할 수 있습니다. 예를 들면 개체가 2개의 변수를 가지고 있다면 두 변수가 만드는 2차원 직교좌표계에서 개체의 확률질량은 자유도가 2라고 할 수 있습니다. 개체는 집단을 이루는 원소라고도 하고 요소(element)라고도 합니다.

집단의 자유도

집단을 이루는 개체가 서로 독립이고 개체가 1개의 변수를 가진다면 집단의 자유도는 집단을 이루는 개체의 개수가 됩니다. 즉, 독립인 개체의 변수가 집단이 표현되는 좌표계의 직교축을 만듭니다. 집단에는 모집단과 표본집단이 있습니다. 표본집단은 줄여서 표본이라고 합니다.

범주의 자유도

집단은 범주로 이루어 질 수 있습니다. 즉, 집단을 이루는 개체가 범주에 속할 수 있습니다. 개체의 특정 범주(cateogry, 수준, level)로의 출현(개체의 움직임의 일종)확률은 범주의 확률질량으로 표현됩니다. 따라서 범주의 자유도는 그 범주의 확률질량의 자유도라고 할 수 있습니다. 

2.2. 좌표계 coordinate system

개체좌표계

개체의 출현(개체의 출현도 움직임의 일종)을 표현할 수 있는 좌표계를 정해 봅니다. 이 좌표계를 개체좌표계라고 부릅니다. 한편, 개체좌표계는 개체가 가지는 변수가 정한다고 볼 수 있습니다. 간단한 예를 들면, 개체가 3개의 변수를 가지고 있다고 한다면 개체의 좌표계는 3개의 축을 가진 3차원 좌표계로 표현할 수 있습니다.

집단좌표계

집단은 개체가 모여서 만들어 집니다. 개체가 서로 독립이라면 서로 독립적으로 움직인다고 할 수 있습니다. 집단의 움직임(개체의 출현으로 나타나는 개체의 분포)을 표현할 수 있는 좌표계를 정해봅니다. 이 좌표계를 집단좌표계라 부릅니다. 따라서 집단좌표계는 집단을 이루는 개체의 변수가 정한다고 볼 수 있습니다. 간단한 예를 들면 개체가 1개의 변수를 가지고 있고 서로 독립이면 집단의 움직임을 표현할 수 있는 좌표계 축의 수는 개체의 수와 같게 됩니다.

절대좌표계

개체좌표계의 원점은 개체가 가지는 변수가 모두 0이 되는 점입니다. 따라서 개체가 모여서 만들어진 집단좌표계의 원점은 개체좌표계의 원점이 만들게 됩니다. 만일 집단을 표본집단과 모집단으로 구분한다면 모집단의 원점이 고정된다면 표본집단의 원점은 관측이 될때 정해지므로 고정되어 있지 않습니다. 그리고 모집단안에 범주가 있어서 모집단에서 표본집단을 추출하거나 표본집단이 생성될 때 범주가 집단안에 나타난다면 범주에 속해 있는 개체의 표현은 개체좌표계와 집단좌표계의 원점의 상대위치가 결정되어야 가능합니다. 여기서 절대좌표계를 도입해 볼 수 있습니다. 개체가 절대좌표계에 출현한다고 생각해 보면 절대좌표계의 원점은 개체의 변수가 모두 0이 되는 점을 의미합니다. 여기서 중요한 것은 세 좌표계의 원점의 상대 거리 즉, 위치가 존재한다면 절대좌표계에서 표현할 수 있다는 것입니다.

2.3. 개체의 자유도

개체가 가지는 변수의 값은 변합니다. 즉, 움직입니다. 따라서, 개체를 하나의 확률질량으로 보았을 때, 즉, 강체로 보았을 때 개체강체의 확률질량의 자유도는 1입니다. 개체를 이루는 변수의 자유도는 변수의 개수($k$)가 됩니다.  

개체의 자유도는 개체를 구성하는 변수의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 개체의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 개체에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

개체를 이루는 변수의 자유도 = 개체의 자유도 + 개체강체의 자유도

$$k=\text{개체의 자유도} + 1$$

여기서, $k$는 개체가 가지는 변수의 개수

2.4. 모집단의 자유도

모집단의 모평균은 표본의 입장에서는 움직이지 않는 상수입니다. 따라서, 모집단을 하나의 확률질량으로 보았을 때, 즉, 강체로 보았을 때 모집단강체(모평균)의 자유도는 0입니다. 그리고 모집단을 이루는 개체의 자유도는 모집단크기($N$)입니다.  

모집단의 자유도는 모집단을 구성하는 갳의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 모집단을 구성하는 독립적인 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 모집단의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 이 때 개체는 같은 확률질랑을 가집니다. 모집단에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

모집단을 이루는 개체의 자유도 = 모집단 자유도 + 모집단강체의 자유도

$$N=\text{모집단의 자유도} + 0$$

여기서,  $N$은 모집단크기 : 모집단을 이루는 개체의 개수

2.5. 표본의 자유도

표본은 표본을 이루는 개체의 개수만 고정되고 개체가 가지는 변수가 변하는 모델이라고 볼 수 있습니다. 따라서 표본의 표본평균은 움직입니다. 표본을 하나의 강체로 보았을 때 표본강체(표본평균)의 자유도는 1입니다. 그리고 표본을 이루는 개체의 자유도는 표본크기($n$)가 됩니다.  

표본의 자유도는 표본을 구성하는 개체의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 표본을 구성하는 독립적인 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 표본의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 이 때 개체는 같은 확률질량을 가집니다. 표본에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다

표본을 이루는 개체의 자유도 = 표본의 자유도 + 표본강체의 자유도

$$n=\text{표본의 자유도} + 1$$

여기서, $n$은 표본크기 : 표본을 이루는 개체의 개수

2.6. 범주(category)가 있는 표본의 자유도

표본강체와 각 범주강체의 자유도는 1입니다. 여기서 범주강체는 각 범주의 확률질량이라고 할 수 있습니다. 개체의 확률질량과 달리 각 범주의 확률질량은 다를 수 있습니다. 모집단에서의 표본추출이나 표본생성에서 표본이 반드시 출현한다면 표본의 확률질량을 1이라고 할 수 있습니다. 따라서 표본을 이루는 각 범주의 확률질량의 합은 1이 됩니다. 그리고 범주의 자유도는 $k-1$이 됩니다. 따라서 범주가 있는 표본의 자유도는  $n-k$입니다. 범주가 있는 표본에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

표본을 이루는 개체의 자유도 = 범주가 있는 표본의 자유도 + 범주의 자유도 + 표본강체의 자유도

$$n=(n-k)+(k-1)+1$$

여기서, $k$는 범주의 개수

$n$은 표본크기 : 표본을 이루는 개체의 개수

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

통계적 매개변수(statistical parameter or population parameter)

통계적 매개변수(statistical parameter), 혹은 모집단 매개변수(population parameter)는 통계량(statistic)이나 확률변수(random variable)의 확률분포(probability distribution)에 사용되는 변수입니다. 이들은 통계적 모집단(statistical population)이나 통계적 모델(statistical model)의 수치적 특성으로 볼 수 있습니다.

색인된 분포 계열( indexed family of distributions)이 있다고 가정합니다. 색인이 계열 구성원의 매개변수이면 이 계열은 매개변수화된 계열입니다. 예를 들어,  chi-squared 분포의 계열은 자유도에 의해 색인될 수 있습니다. 자유도의 값은 분포의 매개변수이므로 chi-squared 분포의 계열은 매개변수화 된 것입니다.

Reference

Statistical parameter – Wikipedia

4.2. 참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom

2.1. 확률변수의 독립

두 확률변수 $X$와 $Y$의 독립

사건 A와 사건 B가 독립이면 곱사건의 확률 $P(A \cap B)$은 조건부확률계산을 할 필요가 없이 두 사건의 확률을 곱하여 구할 수 있습니다.

$P(A \cap B)=P(A)P(B)$

두 확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 곱사건의 확률은 다음식과 같습니다.

$$f(x,y)=g(x)h(y)$$

여러 확률변수간 서로 독립

여러 확률변수가 상호 독립임을 안다면 곱사건의 확률은 각 사건의 확률의 곱으로 나타납니다. 확률변수 $X1,X2,\cdots,Xn$가 서로 독립이면 다음식이 성립합니다.

$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$$

모두 이산형 확률변수인 경우는 다음과 같이 확률식을 표현할 수 있습니다.

$$P(X_1,X_2,\cdots,X_n)=P(X_1)P(X_2)\cdots P(X_n)$$

2.2. 두 확률변수간 독립 판별

모두 이산형 확률변수인 경우는 결합확률질량함수를 각각의 주변확률질량함수의 곱과 비교하여 같으면 독립입니다. 

모두 연속형 확률변수인 경우는 결합확률밀도함수를 각각의 주변확률밀도함수의 곱과 비교하여 같으면 독립입니다.

두 확률변수 $X$와 $Y$의 독립의 성질을 이용하여 독립 판별

성질 1

$${\rm E}[XY]=\mu_X\mu_Y$$

증명

$$\begin{align}
{\rm E}[XY] & = \int\int xyg(x)h(y)dxdy \\
& = \int xg(x)dx \int yh(y)dy \\
& = {\rm E}[X]{\rm E}[Y] \\
& = \mu_X\mu_Y \\
\end{align}$$

성질 2

확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 공분산은 0이 됩니다.

$${\rm Cov}(X,Y)=0$$

${\rm Cov}(X,Y)=0$이라고 해도 확률변수 $X$와 $Y$가 독립이라고 할 수 없습니다. $Cov(X,Y)=0$일 때 확률변수 $X$와 $Y$의 독립 판별은 모든 $x$, $y$에 대해 $f(x,y)=g(x)h(y)$ 인지 확인해야 합니다.

성질 3

확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 두 확률변수 합의 분산은 다음과 같습니다.

$${\rm Var}[X \pm Y]={\rm Var}[X]+{\rm Var}[Y]$$

여기서,  확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 ${\rm Cov}(X, Y)=0$

2.3. 두 확률변수의 선형결합

독립인 두 확률변수, $X$와 $Y$의 선형결합은 다음식으로 표현할 수 있습니다.

$$U=aX+bY$$

기대값의 식은

$${\rm E}[𝑈]=𝑎{\rm E}[𝑋]+𝑏{\rm E}[𝑌]$$

분산의 식은

$${\rm Var}[𝑈]=𝑎^2 {\rm Var}[𝑋]+𝑏^2{\rm Var}[𝑌]+2𝑎𝑏{\rm Cov}(𝑋,𝑌)$$

여기서,  확률변수 $X$와 $Y$가 독립이면 ${\rm Cov}(X,Y)=0$

$𝑋=𝑋_1+𝑋_2+\cdots+𝑋_𝑛$이며, $𝑋_1,𝑋_2,\cdots,𝑋_𝑛$가 서로 독립이라면 기대값의 식은

$${\rm E}[X]={\rm E}[X_1]+{\rm E}[X_2]+\cdots+{\rm E}[X_n]$$

$𝑋=𝑋_1+𝑋_2+\cdots+𝑋_𝑛$이며, $𝑋_1,𝑋_2,\cdots,𝑋_𝑛$가 서로 독립이라면 분산의 식은

$${\rm Var}[X]={\rm Var}[X_1]+{\rm Var}[X_2]+\cdots+{\rm Var}[X_n]$$

$𝑋=𝑋_1+𝑋_2+\cdots+𝑋_𝑛$이며, $𝑋_1,𝑋_2,\cdots,𝑋_𝑛$가 서로 독립이라면 공분산의 식은

$${\rm Cov}(X_i, X_j)=0$$

2.4. 두 확률변수의 상관계수

상관계수(correlation coefficient)는 두 연속형 변수의 선형관계를 나타내는 것 이외에 확률변수 $X$의 증감에 따른 확률변수 $Y$의 증감 정도를 나타내는 측도로도 사용할 수 있습니다. 그리고 상관계수는 두 확률변수의 선형결합에서의 계수비이므로 두 확률변수의 단위가 소거됩니다. 따라서 상관계수는 단위에 민감한 공분산의 문제점을 해결할 수 있습니다. 피어슨 상관계수는 다음과 같습니다.

$$\rho_{X,Y}=\dfrac{{\rm Cov}(X,Y)}{\sqrt{{\rm Var} [X]}\sqrt{{\rm Var}[Y]}}$$

여기서,  $-1 \leq \rho_{X,Y} \leq 1$

$\rho_{X,Y}$는 단위가 없는 값

상관계수는 ${\rm Cov}(X,Y)$를 각각의 표준편차인$\sqrt{{\rm Var}[X]}$와 $\sqrt{{\rm Var}[X]}$로 나눈 값입니다. 따라서 -1과 1 사이의 값을 가지고 단위에 민감한 공분산과 달리 단위가 없습니다. $\rho_{(X,Y)}$가 각각 1과 -1인 경우는 $ X$와 $Y$가 완벽한 상관을 이루는 경우입니다. 나머지 영역은 상관은 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

정비례상관

$$0 \lt \rho_{(X,Y)} \lt 1$$

무상관

무상관은 서로 정보에 대해서 아무런 공유가 없다는 의미입니다.

$$\rho_{(X,Y)}=0$$

반비례상관

$$−1 \lt \rho_{(X,Y)} \lt 0$$

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

확률변수

확률이론 및 통계에서 임의의 양, 임의의 변수, 즉 확률변수는 비공식적으로 값이 임의의 현상의 결과에 의존하는 변수로 설명됩니다.  확률변수에 대한 공식적인 수학적 설명은 확률이론의 주제입니다. 그 맥락에서, 확률변수는 결과가 일반적으로 실수인 확률공간에서 정의된 측정 가능한 함수로 이해할 수 있습니다.

확률변수의 가능한 값은 아직 수행되지 않은 실험의 가능한 결과 또는 이미 존재하는 값 불확실한 과거 실험의 가능한 결과인 경우를 나타내는 이미 존재하는 값으로 나타낼 수 있습니다 (예 : 부정확한 측정 또는 양자 불확실성으로 인해). 그들은 또한 개념적으로 “객관적”무작위 과정의 결과 또는 양에 대한 불완전한 지식으로 인한 “주관적인”무작위성”을 나타낼 수 있습니다. 확률변수의 잠재 가치에 할당된 확률의 의미는 확률 이론 자체의 일부가 아니며 확률의 해석에 대한 철학적 주장과 관련이 있습니다. 수학은 사용되는 특정 해석과 상관없이 동일하게 작동합니다.

함수로서 확률변수는 측정 가능해야 하며 확률은 잠재가치 집합으로 표현할 수 있습니다. 결과는 예측할 수 없는 몇 가지 물리적 변수에 달려 있을 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전 던지기의 경우, 앞면 또는 뒷면의 최종 결과는 불확실한 동전의 물리적 조건에 달려 있습니다. 관찰되는 결과는 확실하지 않습니다. 동전의 표면에 균열이 생길 수 있지만 이러한 가능성은 고려 대상에서 제외됩니다.

확률변수의 존재 지역은 표본공간이며 임의의 현상의 가능한 결과의 집합으로 해석됩니다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우 두 가지 가능한 결과, 즉 앞면 또는 뒷면이 그러합니다. 

확률변수는 확률분포를 가지며, 확률분포는 확률변수의 확률값을 지정합니다. 무작위 변수는 이산형일 수 있습니다. 즉, 임의의 변수의 확률분포의 확률 질량함수 특성이 부여된 유한한 값 또는 계산 가능한 값에서 하나를 취합니다. 또는 임의의 변수의 확률분포의 특징 인 확률밀도함수를 통해 간격 또는 연속된간격에서 임의의 수치 값을 취하는 연속 또는 두 유형의 혼합물 일 수 있습니다.

동일한 확률분포를 갖는 두 개의 확률 변수는 다른 확률 변수와의 관련성 또는 독립성 측면에서 다를 수 있습니다. 무작위 변수의 실현, 즉 변수의 확률분포 함수에 따라 무작위로 값을 선택한 결과를 무작위 변수라고 합니다.

Reference

Random variable – Wikipedia

연속, 불연속 변수

수학에서 변수는 연속이거나 이산일 수 있습니다. 두 개의 특정 실제 값 (예 : 임의의 가까운 값) 사이의 모든 실제 값을 취할 수 있는 경우 변수는 해당 간격에서 연속입니다. 변수가 가질 수 있는 값을 포함하지 않는 극한의 간격이 양측에 존재하는 값을 취할 수 있다면, 그 변수값을 중심으로 변수는 분리되고 그 변수는 이산형 변수입니다. 일부 상황에서는 변수가 선상의 일부 범위에서 이산이고 다른 변수에서는 연속일 수 있습니다.

Reference

Continuous or discrete variable – Wikipedia

상관(dependence)

통계에서 상관(dependence or association)은 두 확률변수(random variables or bivariate data)의 인과에는 무관한 단지 통계적 관계일 뿐입니다. 가장 넓은 의미에서 상관관계(correlation)는 통계적 연관성이지만 일반적으로는 한 쌍의 두 확률변수가 선형적으로 관련되는 정도를 나타냅니다. 상관에 부가되는 인과의 예는 부모와 자녀의 육체적인 체격 사이의 상관관계와 한정적으로 공급되는 제품에 대한 수요와 그 가격 간의 상관관계가 있습니다. 상관관계는 실제로 활용될 수 있는 예측가능한 관계(causal relationship)를 나타내기 때문에 유용합니다. 예를 들어, 발전소는 전기수요와 날씨 간의 상관관계를 기반으로 온화한 날에 적은 전력을 생산할 수 있습니다. 왜냐하면 극단적인 날씨에 사람들이 난방이나 냉방에 더 많은 전기를 사용하기 때문입니다.

일반적으로, 상관관계의 존재는 인과 관계의 존재를 추론하기에 충분하지 않습니다 (즉, 상관관계는 인과 관계를 의미하지 않습니다).

공식적으로, 확률변수가 확률적 독립(probabilistic independence)의 수학적 성질을 만족시키지 않는다면 종속변수입니다.

비공식적인 의미에서 상관관계는 종속성과 동의어입니다. 그러나 기술적인 의미에서 사용될 때, 상관은 평균값들 사이의 관계 중 어떤 몇 가지  특정 유형을 의미합니다. 상관의 정도를 나타내는  $\rho$ 또는 $r$로 표시되는 몇몇 상관계수가 있습니다. 이들 중 가장 널리 사용되는 것은 피어슨 상관계수(Pearson correlation coefficient)로 두 변수 사이의 선형관계를 잘 나타내 줍니다. 물론 한 변수가 다른 변수와 비선형관계일 때도 사용할 수 있습니다. 다른 상관계수는 Pearson 상관관계보다 강하게(robust) 개발되었기 떄문에 비선형 상관관계에서 더 민감합니다. 상호정보(Mutual information)는 두 변수 사이의 상관을 측정하는 데에도 적용될 수 있습니다.

Reference

Correlation and dependence – Wikipedia

4.2. 참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Independent_and_identically_distributed_random_variables

2.1. 확률실험(Random Experiment)

확률실험은 동일한 조건으로 실험을 반복하더라도 그 실험의 결과가 임의의 형태로 나타나는 특징을 갖는 실험입니다. 따라서 확률실험의 결과는 결과와 그에 따른 확률로 표현하게 됩니다. 예를 들면, 동전 던지기, 주사위 굴리기, 갈톤보드실험, 키와 몸무게 관측 등이 있습니다.

표본공간(Sample Space)

표본공간은 확률실험의 모든 발생 가능한 결과들의 집합입니다. 주로 대문자 “S”로 표기합니다. 동전 던지기, 주사위, 키 관측의 확률실험에 대한 표본공간($S$)은 다음과 같습니다.

동전 던지기 확률실험의 결과인 표본공간

$$S=\{H,T\}$$

주사위 굴리기 확률실험의 결과인 표본공간

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

성인남성 키 관측 확률실험의 결과인 표본공간

$$S=\{x:110 \leq x \leq 190 (cm)\}$$

사건(事件, 사상, 事象, Event)

사건은 확률실험에서 관심이 있는 실험결과들만의 집합입니다. 따라서, 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 사건의 표기는 대문자 알파벳(A, B, C, …)으로 합니다. 확률실험과 표본공간과 사건의 예는 다음과 같습니다.

주사위 던지기 확률실험의 결과인 표본공간

$$S =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

주사위 던지기 확률실험의 결과가 짝수인 사건

$$A=\{2, 4, 6\}$$

주사위 던지기 확률실험의 결과가 홀수인 사건

$$B=\{1, 3, 5\}$$

주사위 던지기 확률실험의 결과가 4 이상인 사건

$$C=\{4, 5, 6\}$$

2.2. 집합의 연산으로 사건을 표현

사건은 사건의 결과의 집합으로 표현할 수 있습니다. 그리고 집합의 연산으로도 사건을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

합사건(合事件, Sum event)

사건 A와 B의 합집합($A \cup B$)으로 표현합니다. U는 union에서 따온 철자입니다. 다시말하면, 합사건은 사건A 또는 사건 B의 결과인 원소들의 집합으로 표현됩니다. 이때 사건 A에도 있고 사건 B에도 있는 원소는 한 번만 기입합니다.

$$A \cup B$$

곱사건(Product event)

사건 A와 B의 교집합($A \cap B$)으로 표현합니다.  A Interaction B 또는 A and B 라고도 표기하며 간단하게는 AB 라고 표기합니다. 곱사건은 사건 A의 결과이고 사건 B의 결과이기도 한 원소들의 집합으로 표현합니다.

$$A \cap B$$

여사건(餘事件, Complementary event)

사건 C의 여사건은 사건 C의 여집합 ($C^{\prime}$)으로 표현합니다. 표본공간에서 사건 C의 원소만 제외한 원소들로 표현합니다.

$$C^{\prime}$$

공사건(空事件, Empty event)

어떤 결과도 없는 사건은 공집합을 나타내는 기호인  $\phi$(파이)로 표기합니다.  공집합은 원소가 없는 집합입니다.

공집합과 “0”을 원소로 가지는 집합인 {0}은 다르므로 반드시 구별하여야 합니다.

$$\phi$$

전사건(全事件, Total event)

전사건은 확률실험에서 일어날 수 있는 모든 사건입니다. 예를 들면 ‘자연수를 임의로 골랐을 때 홀수 또는 짝수가 나올 사건’ 입니다. 전사건이 일어날 확률은 1이며, 전사건의 여사건은 공사건입니다. 전체집합으로 표현됩니다.

영사건(零事件, Null event)

사건결과가 있지만 일어날 확률이 0인 사건입니다. 영사건의 예로는 무작위로 선택되는 $0 \leq x \leq 1$인 임의의 실수 $x$가 무엇인지 맞추는 사건, 실수 전체에서 유리수를 뽑는 사건 등이 있습니다.  확률밀도함수에서 특정 실수 확률변수값에의 확률이 0인 것과 같은 예입니다. 영사건은 공사건과 같아 보이지만 공사건은 영사건의 부분집합입니다. 즉, 공사건은 영사건이지만 영사건이라고 해서 반드시 공사건이 되는 것은 아닙니다.

배반사건(排反事件, Exclusive event)

두 개의 사건이 동시에 일어날 수 없으면 그 두 사건은 서로 배반사건입니다.배반사건들은 한 사건이 일어날 때 다른 사건이 절대 일어나지 않는 관계입니다.  서로 “직교(orthogonal)” 또는 “서로 소”라고도 표현합니다.

2.3. 사건간의 관계

표본공간의 부분집합으로 여러개의 사건이 있을 때 그 사건들간에는 상호 배타관계, 포괄관계, 표본공간을 분할하는 관계 등이 있습니다.

상호배타(Mutually Exclusive)관계

두 집합의 교집합이 공집합이면 이 두 집합은 상호 배타적인 관계라고 합니다.

$$A \cap B=\phi$$

둘 이상의 대상 사이에서 각각 상호 베타적인(Exclusive)인 경우입니다. 예를 들어, 한 사건의 뱔생이 다른 사건들의 발생을 차단한다면 그 사건들은 상호 배타적입니다.

상호포괄(Collectively Exhaustive) 관계

사건 A와 사건 B의 합집합이 표본공간이면 상호포괄관계입니다.

$$A \cup B=S$$

표본공간을 분할(Partition)하는 관계

여러 개의 사건이 상호배반(背反)관계와 동시에 상호포괄관계를 갖는 경우입니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

표본공간(sample space)

확률이론에서 무작위 실험의 표본공간 (표본표현공간, 이벤트공간 또는 가능성공간이라고도 함)은 실험의 가능한 모든 결과 또는 결과의 집합입니다. 표본공간은 일반적으로 집합 표기법을 사용하여 표시되며 가능한 결과가 집합의 요소로 나열됩니다. 표본공간을 S, Ω 또는 U레이블로 나타내는 것이 일반적입니다 (일반적인 집합의 경우).

예를 들어, 실험에서 동전을 던지면 표본공간은 일반적으로 집합기호로 표시되며 {앞면, 뒷면}입니다. 두 개의 동전을 던지기에 대응하는 표본공간은 {(앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면)} 또는 일반적으로 기호를 사용하여 {HH, HT, TH, TT}로 표현됩니다. 표본공간에서 순서를 무시하면 {(앞면, 뒷면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 뒷면)}이됩니다. 하나의 6 면체 주사위를 던지기에 대응하는 일반적인 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다(주사위 던지기 시행의 결과인 사건은 주사위의 위로 향한 면에 적혀있는 수입니다). 잘 정의된 표본공간은 확률모델(확률공간)의 세 가지 기본 요소 중 하나입니다. 다른 두 가지는 가능한 시행(event : $\sigma$대수)과 각 시행의 결과(사건)에 할당된 확률(확률측정함수 : 확률질량함수 또는 확률밀도함수)입니다.

Reference

Sample space – Wikipedia

4.2. 참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Experiment_(probability_theory)

2.1 주사위 던지기의 확률변수

12면 주사위는 확률변수값이 12개입니다. 여기서도 주사위를 던진다는 시행(Trial)이 전제되어야 사건(Event)이 발생하고 확률이 존재합니다.

확률변수(Random Variable,  Stochastic Variable, 確率變數)를 나타내는 기호로는 알파벳 대문자를 사용합니다.

$X$

확률변수의 값(Value of random variable)은 확률변수에서 사용한 알파벳의 소문자를 사용합니다. 그리고 구분자는 아래첨자를 사용하기도 합니다.

$x_1, x_2, x_3$, …

확률변수는 다음과 같이 설명할 수도 있습니다.

확률을 가지는 변수

시행(Trial)을 해서 어떤 사건이 나타났는지 보면  값이 정해지는 변수

시행을 많이 해서 평균을 구하면 어떤 값, 즉 기대값에 수렴하는 변수

특별히 범주형 확률변수의 예를 들면 다음이 같은 것들이 있습니다.

동전의 확률변수값 : 앞면, 뒷면

6면 주사위의 확률변수값 : 1면,2면,3면,4면,5면,6면

12면 주사위의 확률변수값  : 1면,2면,3면,4면,5면,6면,7면,8면,9면,10면,11면,12면

과녁의 확률변수명 : 노랑, 빨강, 파랑, 검정

시행(Trial)의 결과를 사건(Event)이라하고 시행의 결과는 확률변수와 대응될 수 있습니다. 시행의 결과(Sample)가 시행공간(Sample space)안에 항상 존재한다면 그 변수는 확률을 가질 수 있는 변수, 즉 확률변수(Random variable)입니다. 확률변수가 가지는 확률값의 합은 1이거나 100%입니다.

확률변수의 예와 관측에 사용되는 척도를 살펴보면 동전던지기라는 시행으로 생성된 시행공간은 동전의 앞면과 뒷면입니다. 이 시행공간을 확률변수로 대응한다면 범주형 확률변수입니다. 그리고 척도로는 명목척도가 사용됩니다. 주사위도 마찬가지로 6면을 1에서 6까의 숫자로 표시하였을 때 주사위 던지기라는 시행에서 시행공간은 1, 2, 3, 4, 5, 6의 숫자이며 이는 바로 확률변수값이 됩니다. 그리고 이 확률변수는 수치형중에서 연속형이 아닌 이산형 확률변수입니다. 그리고 척도로는 수식계산이 가능한 간격척도가 사용됩니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

확률변수

확률이론 및 통계에서 임의의 양, 임의의 변수, 즉 확률변수는 비공식적으로 값이 임의의 현상의 결과에 의존하는 변수로 설명됩니다.  확률변수에 대한 공식적인 수학적 설명은 확률이론의 주제입니다. 그 맥락에서, 확률변수는 결과가 일반적으로 실수인 확률공간에서 정의된 측정 가능한 함수로 이해할 수 있습니다.

확률변수의 가능한 값은 아직 수행되지 않은 실험의 가능한 결과 또는 이미 존재하는 값 불확실한 과거 실험의 가능한 결과인 경우를 나타내는 이미 존재하는 값으로 나타낼 수 있습니다 (예 : 부정확한 측정 또는 양자 불확실성으로 인해). 그들은 또한 개념적으로 “객관적”무작위 과정의 결과 또는 양에 대한 불완전한 지식으로 인한 “주관적인”무작위성”을 나타낼 수 있습니다. 확률변수의 잠재 가치에 할당된 확률의 의미는 확률 이론 자체의 일부가 아니며 확률의 해석에 대한 철학적 주장과 관련이 있습니다. 수학은 사용되는 특정 해석과 상관없이 동일하게 작동합니다.

함수로서 확률변수는 측정 가능해야 하며 확률은 잠재가치 집합으로 표현할 수 있습니다. 결과는 예측할 수 없는 몇 가지 물리적 변수에 달려 있을 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전 던지기의 경우, 앞면 또는 뒷면의 최종 결과는 불확실한 동전의 물리적 조건에 달려 있습니다. 관찰되는 결과는 확실하지 않습니다. 동전의 표면에 균열이 생길 수 있지만 이러한 가능성은 고려 대상에서 제외됩니다.

확률변수의 존재 지역은 표본공간이며 임의의 현상의 가능한 결과의 집합으로 해석됩니다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우 두 가지 가능한 결과, 즉 앞면 또는 뒷면이 그러합니다. 

확률변수는 확률분포를 가지며, 확률분포는 확률변수의 확률값을 지정합니다. 무작위 변수는 이산형일 수 있습니다. 즉, 임의의 변수의 확률분포의 확률 질량함수 특성이 부여된 유한한 값 또는 계산 가능한 값에서 하나를 취합니다. 또는 임의의 변수의 확률분포의 특징 인 확률밀도함수를 통해 간격 또는 연속된간격에서 임의의 수치 값을 취하는 연속 또는 두 유형의 혼합물 일 수 있습니다.

동일한 확률분포를 갖는 두 개의 확률 변수는 다른 확률 변수와의 관련성 또는 독립성 측면에서 다를 수 있습니다. 무작위 변수의 실현, 즉 변수의 확률분포 함수에 따라 무작위로 값을 선택한 결과를 무작위 변수라고 합니다.

Reference

Random variable – Wikipedia

시행

확률이론에서, 실험이나 시행은 무한히 반복되어 행해 질 수 있고 표본공간으로 알려진 가능한 모든 결과의 집합을 얻는 과정을 말합니다. 실험은 하나 이상의 결과가 있을 경우는 “무작위”로, 하나만 있는 경우는 “결정적”으로 표현합니다. 예를 들면,  2 가지(결과는 상호 배타적) 가능한 결과를 갖는 무작위 실험은 베르누이 시험이 있습니다.

실험이 수행 될 때, 시행의 결과는 보통 하나로 나타납니다. 그 결과는 모든 사건에 포함됩니다. 이 모든 사건은 시행에서 발생했다고 말합니다. 같은 실험을 여러 번 수행하고 결과를 모으고 나면 실험자는 실험에서 발생할 수 있는 다양한 결과 및 사건의 경험적 확률을 평가하고 통계분석방법을 적용할 수 있습니다.

Reference

Experiment (probability theory) – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Dice – Wikipedia