2.1. 자기복제 모델 : 적분 개념

은행A는 예금자와 합의한 기간 동안 예금액을 2배로 불려 주는 은행입니다. 다르게 표현하면 예금액에 더해 예금액과 같은 금액의 이자를 주는 은행입니다.

$$Y=I+I\dfrac{T}{T}=2I$$

여기서 $Y$는 출금액

$I$는 예금액

$T$는 합의한 기간

예를 들어 예금자와 은행이 합의한 예치기간을 1년으로하고 에금액을 1억으로 하면 합의한 기간인 1년 후에 예금자는 예금액의 2배인 2억을 출금할 수 있습니다. 다르게 표현하면 예금액 1억과 불려진 금액(이자)인 1억의 합이 출금액 2억원이 됩니다.

은행B도 은행A와 마찬가지로 합의된 기간 동안 예금액을 2배로 불려주는데 합의된 예치기간내라도 출금할 수 있는 은행입니다. 즉, 은행B는 합의한 기간내에 출금하면 예금액과 정산(예치기간에 비례)한 이자를 주는 은행입니다.

$$Y=I+I\dfrac{t}{T}$$

여기서 $Y$는 출금액

$I$는 예금액

$T$는 합의한 기간

$t$는 예치한 기간 ; $t  ≤ T$

예금자와 은행이 합의한 예치기간을 1년으로 하고 1억을 예금하였습니다. 예금자가 반년 후에 출금하면 예금 1억과 이자 0.5억원을 받습니다. 이를 다시 남은 반년간 예치하면 예금 1.5억과 이자 0.75억원을 받습니다. 정리하면, 합의한 기간을 반으로 나누어 예금과 출금을 연속적으로 진행하면 합의한 기간인 1년 후에 2.25억원을 받습니다.

$$Y=\left(\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right) +\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{1}{2}\right)=\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)^2$$

“예금-출금” 횟수를 일반화하면

$$Y=\left(1+1\cdot\dfrac{1}{n}\right)^n$$

여기서,  $n$은 1기간(표준화된 합의기간) 동안 “예금-출금” 횟수 또는 합의된 기간의 나누어진 개수

$\dfrac{1}{n}$은 “예금-출금” 1회 기간

위 두가지 결과로 추론하면 예금자는 은행B를 선택하고 예금과 출금을 많이 하변 할수록 합의된 기간이 지난 후 더 많은 금액을 받을 수 있습니다. 즉, 예금과 출금을 연속적으로 반복하면 합의된 기간 후의 출금액은 수렴하며 최대출금액이 됩니다. 이를 다음식과 같이 일반화하고 표준화할 수 있습니다.

$$Y=\lim_{n \to \infty} (I+I\cdot\dfrac{1}{n})^n=I^n e$$

여기서 $Y$는 출금액

$I$는 예금액 : $I$가 1이면 $Y$는 $e$로 수렴

$n$은 “예금-출금” 횟수

위의 결과를 종합하면 정해진 1단위금액(합의된 금액)을 합의된 시간동안 2배로 만들어 주는 은행이 있다면 최대한 1단위시간(합의된 시간)동안 입출금을 무한번  반복하면 1단위시간 후의 출금액은 수렴하며 가능한 최대출금액이 됩니다. 현실세계에서는 이러한 은행이 없지만 현실세계에서는 이러한 은행이 없지만 자연에서는 자기복제 모델로 모델링할 수 있습니다. 이 떄의 수렴된 값(출금액)을 자연상수, $e$라 합니다. $e$는 무리수이며 $2.718\cdots$입니다.

2.2. 자기반감 모델 : 미분 개념

방사선물질 A는 일정기간이 지나면 질량이 반으로 주는 물질입니다.

$$Y=\dfrac{I}{2}\dfrac{T}{T}=\dfrac{1}{2}I$$

여기서 $Y$는 반감기가 지난 후의 질량

$I$는 처음 질량

$T$는 반감기간

예를 들어 방사선물질 A가 반감기간이 1년이고 처음질량을 1g으로 하면 1년 후에 질량은 0.5g이 됩니다.

방사선물질B는 방사선물질 A와 반감기는 같으나 연속적으로 반감이 되도록 하는 환경이 조성되면 

“반감” 횟수를 일반화하면

$$Y=\left(1+1\cdot\dfrac{1}{n}\right)^n$$

여기서,  $n$은 1기간(“표준화된 반감기”) 동안 반감이 진행된 회수

$\dfrac{1}{n}$은 나누어진 “표준화된 반감기”

일반화하면 다음과 같습니다.

$$Y=\lim_{n \to \infty} (I+I\cdot\dfrac{1}{n})^n=I^n e$$

여기서 $Y$는 남은 질량

$I$는 처음질량 : $I$가 1이면 $Y$는 $e$로 수렴

$n$은 반감 횟수

위의 결과를 종합하면 처음질량이 반감기 동안 반이 되는 방사성원소가 있다면 최대한 반감기동안 반감을 무한번  진행하면 반감기 후의 질량은 수렴합니다. 이 떄의 수렴된 값을 자연상수, $e$라 합니다. $e$는 무리수이며 $2.718\cdots$입니다.

2.3. 지수함수의 미분함수

곱의 기준은 1입니다. 1은 자신을 $x$번 곱해도 자신이 됩니다. 

$$1^x = 1$$

그리고 모든 수는 자신을 0번 곱하는 것을  지수의 기준 1로 정의합니다.

$$a^0 \equiv 1$$

지수함수를 다음과 같이 수식으로 표현하면

$$y=f(x)=a^x$$

여기서, $a$는 양의 실수

$x$가 0일 때의 $x$에 대한 $y$의 기울기를 표현하면

$$f^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{0+\Delta x}-a^0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^0(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=a^0\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

여기서,  $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$는 수렴

$a=2$이면 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=0.6931472\cdots$

$a=3$이면 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1.0986123\cdots$

$f^{\prime}(0)=a^0=1$일 때의 $a$를 구하면 $a$는 $2.718\cdots$인 무리수이며 이를 자연상수 $e$라고 합니다.

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$$

여기서,  $a$는 $2.718\cdots$인 무리수이며 자연상수

지수함수의 미분함수(도함수)를 일반화하면

$$f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=f(x)\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right)=f(x)g(a)$$

여기서, $a^{x+\Delta x}=a^{x} a^{\Delta x}$

$0 < a$

$g(a)$는 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$이며 $a$에 따라 다른 값으로 수렴하는 함수

2.4. 자연상수 (Natural constant, $e$) 성질

자신을 $x$번 곱해서 나오는 값이 $x$에서의 기울기인 수가 자연상수 $e$입니다. 자연상수($e=2.718\cdots$)는 무리수입니다. $e$를 $x$번 곱해서 나오는 값인  $e^x$을 두 변수, $x$와 $y$가 이루는 직교좌표계에서 함수로 표현하면

$$y=f(x)=e^x$$

원함수를 미분하여 표현하면

$$\dfrac{dy}{dx}=f^{\prime}(x) =\dfrac{d(e^x)}{dx} = e^x$$

원함수를 적분하여 표현하면

$$\int ydx=F(x)=\int_{-\infty}^{x}e^tdt= e^x$$

여기서,  $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0$

원함수와 미분함수와 적분함수가 모두 같습니다. 모두 자연상수가 밑이 되는 지수함수입니다. 자연상수를 밑으로 하는 지수함수, 즉, 자연 지수함수는 정의역에 따라 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$f(x)=e^x$$

여기서,  $x < 0$ 이면  $f(x)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{ㅣxㅣ}$

$x = 0 $ 이면  $f(x)= 1$

$x > 0$ 이면  $f(x)=e^x$

단위기간을 나눈 무한횟수($n$)로 표현하면

$$e=\lim_{n \to \infty} \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)^{n}$$

단위기간의 나누어진 극소시간($t$)로 표현하면

$$e=\lim_{t \to 0} \left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$$

자연상수를 급수(series)로 표현하면

$$\eqalign{e=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} &= \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots \cr&= \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots}$$

자연로그와의 관계는 

$${\rm ln}\left(e^x\right) = x \,\, , \,\, e^{{\rm ln} (x)} = x$$

가우스 적분

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$

임의의 가우스적분(arbitrary Gaussian function)

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx=\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}$$

베르누이 시행

$$\binom {n}{k}\left({\dfrac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)^{n-k}$$

베르누이 시행에서 $k$가 0이고 $n$이 무한대이면

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)^{n}=\dfrac{1}{e}$$

로그함수 미분

$$\dfrac {d}{dt}\log _{e}t=\dfrac {1}{t}$$

로그함수 적분

$$\int _{1}^{e}{\dfrac {1}{t}}\,dt=1$$

자연 지수함수의 생성상수가 $\tau$일 때

$$\tau =\dfrac{f(t)}{f'(t)}$$

$$f(t+\tau )=ef(t)$$

2.5. 자연상수 시각화

극좌표계

극좌표계에서 원점에서의 거리, $r$이 시간($t$)에 따라 지수함수적으로 작아지고 각속도($\dot{\theta}$)가 상수인 $2\pi$로 등속일 때 2차원 평면에서 점의 움직임을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\dfrac{dr}{dt}= \left(\dfrac{1}{e}\right)^t$$

여기서, 시간($t$)는 0에서 시작하여 커지는 실수

점의 각속도

$$\dfrac{d\theta}{dt}=2\pi$$

여기서, 시간($t$)는 0에서 시작하여 커지는 실수. 그리고 $\theta$는 직각좌표계의 $x$축 방향에서 시작

직각좌표계

점의 $x$축에서의 출현 횟수는 단위시간 1당 1번

$$\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}e^t$$

여기서,  $\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}\dfrac{dr}{dt}$

모든 각도에서 점이 무한대로 있고 운동하면

2.6. 자연상수의 적용

복리 적금

복리 적금의 원금과 이자의 합계(원리 합계)는 다음의 식과 같이 계산할 수 있습니다.

원리합계 = 원금 × (1 + 이자율)^기간

원리합계는 원금과 이자율과 기간이 결정한다는 것을 알 수 있습니다. 기간이 무한하게 커져도 원리합계가 수렴하는 경우는 이자율과 기간이 서로 반 비례하는 경우입니다. 

미분방정식으로 표현하면

$$\dfrac{dM}{dt}=(1+r)M$$

여기서,  $M$은 $t$의 함수이며 $M(t)$는 $t$시간이 흐른 후 찾을 수 있는 금액

$r$은 이자율

미분방정식을 풀면

$$M(t)=e^{(1+r)t}$$

여기서,  $M$은 $t$의 함수이며 $M(t)$는 $t$시간이 흐른 후 찾을 수 있는 금액

$r$은 이자율

자기복제

우선, 이산적(discrete)인 경우의 자기복제를 생각해 봅니다. 초기량를 1이라 하고 단위 복제 기간을 1이라고 한다면 1기간 후에는 자신의 초기량의 2배인 2가 됩니다.  복제가 연속적(continuous)으로 진행되는 경우는 복제가 진행되는 기간을 1 이라고 한다면 1기간 후에는 다음식과 같이 총량이 만들어 집니다.  총량은 초기량과 복제된 량의 합입니다.

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}$$

이 값의 최대값은 단위 1기간을 무한개의 기간으로 나누면  $e$로 수렴합니다.

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}=e$$

정리하면, 크기 1이 1기간 동안 생성률(미분계수) 1로 시작하여  무한 자기복제를 하면 수렴하게 되는데  그 값이 자연상수($e$)입니다. 자연상수($e$)는 무리수 입니다. 

$e = 2.71828…$

$${e}{=}\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}$$

온도평형

방안의 온도와 방안에 있는 찻잔 속의 뜨거운 물의 온도차이를 $\Delta T$라 하면 온도차이의 시간이 지남에 따라 줄어드는 속도는 온도차이에 비례합니다.

$$\dfrac{d\Delta T}{dt}=-k\Delta T$$

여기서,  $\Delta T$는 방안의 온도와 뜨거운 물의 온도차

자연에서 온도차($\Delta T$)는 다음식과 같이 관찰됩니다.

$$f^{\prime}(t)= -k f(t)$$

여기서, $f(t)=\Delta T$

$t$는 시간

$k$는 주어지는 상수

위의 함수  $f(t)$를 지수함수($a^t$)로 모델링할 수 있습니다.

$$f^{\prime}(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{t+\Delta t}-a^t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^x(a^{\Delta t}-1)}{\Delta t}=f(t)\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{\Delta t}-1}{\Delta t}\right)=-kf(t)$$

여기서,  $0<a≤1$

$k=-\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{\Delta t}-1}{\Delta t}$이며 $a$에 대한 함수

 $a$를 $e^{\ln a}$로 대치하면

$$f(t)=\Delta T(t)=e^{-kt}$$

3.2. 구글시트 함수

=EXP(1) : 자연상수 e의 거듭제곱. 괄호안의 숫자는 거듭제곱할 지수. 

=FACT(A3) : 계승. A3에 있는 값보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱. 예를 들어, A3가 3이라면, 3의 계승은 3, 2, 1의 곱, 즉, $(3\times 2\times 1)$이 됨.

=2^2 : 거듭제곱. 2를 2번 곱함.

=LN(2) : 자연로그. 자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그 값. e를 몇 제곱해야 2가 되는지 계산함. 따라서, =LN(EXP(1))의 값은 1이 됨.

4.1 용어

e (자연상수, mathematical constant)

오일러 수(Euler’s number)라고도 하는 상수 $e$는 대략 2.71828과 같은 수학적 상수로 여러 측면에서 규정될 수 있습니다. 자연로그의 밑입니다. $n$이 무한대에 가까워질 때의  $(1 + \dfrac{1}{n})^n$의 극한값입니다. 복리계산에서 보이는 표현입니다. 무한급수의 합으로 계산할 수도 있습니다.

또한 $e$는 함수 $y = ax$의 그래프가 $x = 0$에서 기울기가 1이 되도록 하는 고유한 양의 상수입니다. (자연)지수 함수 $f(x) = e^x$는 고유한 함수 $f$가 도함수와 동일하고 방정식 $f(0) = 1$을 충족합니다. 따라서 $e$를 $f(1)$로 정의할 수도 있습니다. 자연로그 또는 밑이 e인 로그는 자연 지수 함수의 역함수입니다. 숫자$k > 1$의 자연로그는 $x = 1$과 $x = k$사이의 곡선 $y = \dfrac{1}{x}$ 아래의 면적으로 직접 정의할 수 있습니다. 이 경우 $e$는 이 면적이 1일 때의  $k$의 값입니다.

상수 $e$는 수학자 Leonhard Euler의 이름을 따서 Euler’s number 또는 John Napier의 이름에서 Napier의 상수라고 합니다. 이 상수는 복리를 연구하던 중 스위스 수학자 Jacob Bernoulli가 발견했습니다. 상수 $e$는 $0$, $1$, $\pi$ 및 $i$와 함께 수학에서 매우 중요한 수입니다. 숫자 5개 모두 오일러의 항등식 $e^{i\pi }+1=0$에 나타나며 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 상수 ${\pi}$와 마찬가지로 $e$는 무리수(정수 비율로 나타낼 수 없음)이고 초월적(유리계수가 있는 0이 아닌 다항식의 근이 아님)수입니다. 소수점 이하 50자리까지 $e$의 값은 다음과 같습니다.

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Reference

e (mathematical constant)

Product Integral

곱의 적분(product integral)은 미적분학의 일반적인 합의 적분과 상대되는 적분입니다. 곱의  적분은 1887년 수학자 Vito Volterra가 선형 미분 방정식 시스템을 풀기 위해 개발했습니다. 곱의 적분은 유행병학, 통계역학, 양자역학에 이르는 영역에서 사용됩니다. Geometirc 적분은  Geometric 도함수와 함께 이미지 분석 및 성장(growth)/쇠퇴(decay) 현상(예: 경제 성장, 박테리아 성장 및 방사성 붕괴) 연구에 유용합니다.Bigeometric 적분은 Bigeometric  도함수와 함께 프랙탈의 일부 응용과 경제학의 탄력성 이론에서 사용합니다.

Reference

Product integral – Wikpedia

Gausian Integral

오일러-푸아송 적분으로도 알려진 가우시안 적분은 가우시안 함수인 $f(x)=e^{-x^{2}}$의 실수에서의 적분입니다. 이 적분은 독일 수학자 칼 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었습니다.

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt {\pi}$$

Abraham de Moivre는 1733년에 이러한 유형의 적분을 발견했으며, Gauss는 1809년에 이 적분을 발표했습니다. 이 적분에는 광범위한 응용 분야가 있습니다. 예를 들어, 약간의 변수 변경으로 정규 분포의 정규화 상수를 계산하는 데 사용됩니다. 정적분은 정규분포와 누적분포함수의 오류함수와 밀접한 관련이 있습니다. 예를 들어, 물리학에서 이러한 적분은 양자역학에서 조화 발진기의 기저 상태의 확률 밀도를 표현할 때 나타납니다. 이 적분은 또한 경로 적분 공식에서 고조파 발진기의 전파자를 찾기 위해, 그리고 통계역학에서 분할함수를 찾을 때 사용됩니다. 임의의 가우스 함수의 정적분은 다음과 같습니다.

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx=\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}$$

Reference

Gaussian integral – Wikipedia

4.2. 참조

https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es

로그함수 나무위키

회전단위 원주율 파이(pi, π)

2.1 회전단위 원주율($\pi$)

원의 둘레(원주)와 지름의 비는 항상 일정합니다. 즉, 상수입니다. 그 상수를  π(파이)라고 표기합니다. 십진법으로 쓰면 3.141592..인 무한소수이며 무리수입니다. 원주의 길이는 지름의 길이의 3배에서 4배사이라고 고대부터 알고 있었습니다. 수레가 사용된 시대부터 거리를 재는 용도 등으로 사용되었습니다.

원주율 π

$$\pi=\dfrac{l}{2r}$$

여기서,  $l$은 원의 둘레

$r$은 원의 반지름

따라서 원의 둘레

$$l=2\pi r$$

여기서,  $l$은 원의 둘레

$\pi$는 원주율

$r$은 원의 반지름

지름 1인 원의 원의 둘레 : π = 3.14159…

반지름 1인 원의 원의 둘레 : 2π=6.28318…

이 상수는 회전단위인 각도를 표시할 때 사용됩니다. 1 radian(라디안)은 반지름과 호(각도가 차지하는 원의 둘레)의 길이가 같을 때의 각도 입니다. 그래서 한 회전의 각도(360도)는 2π로 표현됩니다.

Radian(라디안) 척도 : $\frac{1}{2}$회전단위($\pi$)

radian은 반복의 단위인 주파수에서도 사용됩니다. 예를 들면, 1초동안 몇 번 반복하는가 입니다. 1초동안 1번 제자리로 돌아오면 1 Hz(헤르츠)입니다.  이 때 1 Hz는 2π rad/sec로 생각할 수 있습니다.

애니메이션에서 길이가 2π인 선분과 반지름이 1인 원의 둘레(원주) 의 값은 같습니다. 한편, 원의 둘레를 펴는 과정에서 원주를 이루는 모든 점의 회전각을 모두 더하면 한 회전이 됩니다. 반대로 원주를 이루는 점들은 선분이 이루는 점들이 연속적으로 회전을 한 셈입니다. 그래서 각도(radian)은 극소의 회전값의 적분으로 표현할 수 있습니다.

회전량을 수치로 표현하는 단위에는 1회전을 360진법으로 나타내는 단위(degree)와 2π로 나타내는 단위(radian)가 있습니다. 360 degree는 2π radian에 해당합니다.  radian 단위의 좋은 점은 지름과 원주의 비를 1회전으로 하는 단위이므로 직선상에서의 속도를 기준으로 원주상에서의 속도를 표현하는 데 편리합니다. 

2.2 확률모델과 통계모델에서의 원주율(π)

확률모델에서는 한 위치를 나타내는 값을 확률변수값으로 하고 그 위치에서의 회전속도를 확률질량(위치가 이산적인 경우) 또는 확률밀도(위치가 연속적인 경우)으로 모델링할 수 있습니다. 다르게 표현하면 확률모델에서는 각 확률변수(위치)에서의 개체(object)의 출현주기의 비(확률질량비 또는 확률밀도 비)는 각 위치에서의 회전속도와 비례한다고 모델을 만들 수 있습니다.

통계모델에서는 개체를 표집(sampling)하는 주기(Sampling frequency)는 개체가 생성되는 주기와 같다고 모델링할 수 있습니다.

분포단위 원주율(π)

총 확률질량 1의 균등 분포의 단위를 원의 면적으로 모델링할 수 있습니다. 

평균(위치, position)은 원의 중심점(영점)

$$\mu=(0,0)$$

분산(양,  quantity)은 원의 중심으로 부터 $r^2$의 기대값

$$\sigma^2=\pi r^2$$

공간 차원에 따른 분포 비교

비교하면

3.2. 구글시트 함수

=PI() : 파이(pi) 값. 소수점 이하 14자리까지의 파이(pi)값을 표시.

=RADIANS(180/100) : 360도 중 도 단위를 라디안으로 변환. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환.

=SIN(RADIANS(180/100)) : 라디안으로 입력된 각도의 사인. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환 후, 사인값을 표시.

=SUM(C:C) : 합계. C열에 있는 모든 데이터의 합계를 표시.

=SQRT(6*SUM(C:C)) : 제곱근. C열에 있는 모든 데이터를 더한 값에 6을 곱한 후, 제곱근을 구함.

4.1 용어

원주율

숫자에서 무리수인 π(원주율, 파이로 읽음)는 원의 둘레($l$)와 지름($r$)의 비율인 수학 상수로 대략 $3.14159\cdots$와 같습니다. 무리수 π는 수학과 물리학 전반에 걸쳐 많은 공식에 나타납니다. 22/7과 같은 분수가 일반적으로 근사화하여 사용하지만 이는 무리수입니다. 즉, 두 정수의 비율로 정확하게 표현할 수 없습니다. 결과적으로 십진수로 표현할 때 자리수가 끝나지 않고 영구적으로 반복되는 패턴입니다. 원주율은 초월수로서 합, 곱, 거듭제곱, 정수만을 포함하는 방정식의 해가 될 수 없음을 의미합니다. π의 초월은 나침반과 직선자로 원을 제곱하는 고대의 과제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다. π의 십진수는 무작위로 분포된 것으로 보이지만 이 추측에 대한 증거는 발견되지 않았습니다.

수천 년 동안 수학자들은 π의 값을 높은 정확도로 계산함으로써 π에 대한 이해를 넓히려는 시도를 해왔습니다. 이집트와 바빌로니아를 포함한 고대 문명은 실제 계산을 위해 상당히 정확한 π의 근사값을 필요로 했습니다. 기원전 250년경에 그리스 수학자 아르키메데스는 임의의 정확도로 π를 근사하는 알고리즘을 만들었습니다. 서기 5세기에 중국 수학자들은 π를 7자리로 근사하였고 인도 수학자들은 기하학 기술을 사용하여 5자리의 근사값을 구했습니다. 무한 급수를 기반으로 하는 π에 대한 첫 번째 계산 공식은 천년 후에 발견되었습니다. 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내기 위해 그리스 문자인 π의 최초의 사용은 1706년 웨일스의 수학자 William Jones가 사용한 것으로 알려져 있습니다.

미적분학의 발전은 모든 실용적인 계산에 충분한 π의 수백 자리의 계산으로 이어졌습니다. 그럼에도 불구하고, 20세기와 21세기에 수학자와 컴퓨터 과학자들은 증가하는 계산 능력과 결합하여 π의 십진법 표현을 수조 자릿수로 확장하는 새로운 접근 방식을 찾았습니다. 이러한 시도는 급수를 계산하기 위한 효율적인 알고리즘의 개발과 자리수 기록을 깨려는 인간의 탐구에 의해 동기가 부여되었습니다. 슈퍼컴퓨터를 테스트하는 데에도 사용되었습니다.

원주율의 정의는 원과 관련이 있기 때문에 π는 삼각법 및 기하학의 많은 공식, 특히 원, 타원 및 구와 관련된 공식에서 발견됩니다. 또한, 우주론, 프랙탈, 열역학, 역학, 전자기학과 같은 과학의 여러주제의 공식에서도 발견됩니다. 현대의 수학적 분석에서는 기하학에 대한 참조 없이 대신 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 정수론이나 통계와 같이 기하학과 거의 관련이 없는 영역에서도 나타납니다. π의 넓은 효용성은 π를 과학 안팎에서 가장 널리 알려진 수학 상수 중 하나로 만듭니다. π에 관한 많은 책이 출판되었으며 최대기록의  π의 자릿수 계산은 종종 뉴스 헤드라인을 장식합니다.

Reference

Pi – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Pi – Wikipedia

2.1. 기준(0)과 단위(1)

0은 아무것도 없다는 관념적인 기준입니다. 현실에서도 아무것도 존재하지 않는 상태를 기준으로 사용하는 경우가 많이 있습니다. 0은 자신을 아무리 더해도 자신이 됩니다.

0과 대비되어 나온 1은  “있다”라는 의미입니다. 역시 관념적인 단위입니다. 1은 자신을 아무리 곱해도 자신이 되지만 더하면 더하는 횟수만큼 값이 늘어나게 됩니다. 그래서  “1”은 곱하기의 기준이 되고 더하기의 단위가 됩니다. 그리고  0과 1사이의 값과 1이상의 값의 경계인 1은 곱하기와 나누기의 경계가 됩니다.

한편, 0은 양수와 음수의 경계, 즉 더하기와 뺴기의 경계가 됩니다.

0과 1에 물리적인 단위가 붙으면 우리가 인지할 수 있는 단위가 됩니다.

길이 단위로는 meter, 질량단위로는 gram등이 있습니다. 이것은 합의하여 정한 것입니다. 단위가 있으면 기준이 있어야 하는데 이 또한  단위를 사용하는 주체의 합의가 있어야 합니다.

점(point)이 모여서 선(line)이 됩니다.

점(point)의 길이는 0입니다.

선은 단위(unit)가 있습니다.

선은 1차원(dimension)입니다.

선의 단위는 1 하나로 이루어 집니다.

선(line)이 모여서 면적(area)가 됩니다.

선(line)의 면적은 0입니다.

면적은 단위(unit)가 있습니다.

면적은 2차원(dimension)입니다.

면적의 단위는 1, 1 두개로 이루어 집니다.

면적(area)이 모여서 부피(volume)가 됩니다.

면적(area)의 부피는 0입니다.

부피는 단위(unit)가 있습니다.

부피는 3차원(dimension)입니다.

부피의 단위는 1, 1, 1 세개로 이루어 집니다.

3.2. 함수

=TRANSPOSE(C3:C5) : 지정한 범위에 있는 데이터의 행과 열을 바뀜. C3와 C5에 있는 데이터는 열로 구성이 되는데, 이를 행으로 바꿈. 전치행렬을 만들 때 사용할 수 있음.

=MMULT(C3:C5,E3:G3) : 범위로 지정한 두 행렬의 곱. C3에서 C5에 있는 행렬과 E3에서 G3에 있는 행렬의 곱을 계산해서 구함.

4.1. 용어

Dimension – Wikipedia