선택의 기준으로서의 분포

분포의 큼과 작음이 선택의 기준이 될 수 있을까?

대표값과 분포

예를 들어, 다음의 가정을 가지고, 두 다른 품종의 딸기를 비교해서 하나를 선택한다고 해보겠습니다.

당도가 높은 딸기를 좋아합니다.

당도가 아주 높은 딸기와 아주 낮은 딸기가 섞여 있으면, 오히려 실망스럽습니다.

따라서, 당도가 높으면서도 일관된 딸기를 좋아합니다.

두 품종의 딸기의 당도의 대표값과 분포를 보도록 하겠습니다.

당도 데이터 정리

딸기의 당도 데이터를 수집해서, 비교하기 쉽게 정리합니다.

당도의 분포를 시각화

딸기의 20알의 당도 데이터를 도수분포표와 막대그래프를 이용해서 시각화해보았습니다.

막대그래프의 X축은 당도 구간의 중앙값이고, Y축의 해당 구간의 딸기의 개수입니다. 중요한 것은 당도 구간이 우리 인간이 당도를 느끼는 정도를 얼마나 잘 반영하는가입니다.

12월 25일 출하한 두 품종의 당도 분포

12월 25일에 두 품종의 딸기 당도 데이터로 도수분포 막대그래프를 그려보았습니다. 당연히 오른쪽에 위치한 딸기 품종을 선택할 것입니다.

3월 25일 출하된 두 품종의 당도 분포

이번에는 3월 25일에 두 품종의 딸기 당도 데이터로 도수분포 막대그래프를 그려보았습니다.

3월 25일 출하한 딸기중에서는 어떤 품종을 선택할까요?

지금까지, 9월 첫째주 Open Question입니다. 다음 주에 뵙겠습니다.

모집단의 분산과 표본분산의 비가 어느 구간사이에 있다고 표현할 수 있습니다.

모집단이 정규분포를 가지면 모집단의 분산과 표본분산의 비는 카이제곱이라는 확률분포를 가집니다.

또한 카이제곱확률분포는 표본의 크기에 관계된 자유도에 따라 정해집니다.

표본분산과 표본의 크기를 구하고 몇 % 신뢰할 것인지를 정하면 모집단의 분산이 위치하는 구간을 추정할 수 있습니다.

자연상수 e

곱의 기준은 1입니다.

1은 자신을 x번 곱해도 자신이 됩니다. 

1 × 1 × 1… = 1^x = 1

그리고 모든 수는 0번 곱하면  1이 됩니다.

a⁰ = 1

그렇다면 자신을 곱해서 나오는 값을 자신이 증가하는 비율로 가지는 자신의 수가 있다면 무엇일까요?

바로 자연상수 $e$입니다

e = 2.718… 인 무리수입니다.

지수함수 e^x

e를 x번 곱해서 나오는 함수 ⇒ e × e × e…  ⇒ $e^x = y $

${dy\over dx} = e^x = y$

자연상수가 밑이 되는 지수함수를 살펴보면

$y=e^x$

x < 0 :

$y=(1/e)^{ㅣxㅣ}$

x = 0 :

$y=e^x= 1$

 x =1 :

$y=e^x = e $

정규분포

표준정규분포

$$y=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$$

평균 $\mu$와 분산 $\sigma^{2}$ 를 모수로 하고 정규분포를 가지는 모집단의  확률밀도함수

$$f(X)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\ -\infty\leq X\leq+\infty$$

모집단으로부터 랜덤하게 추출된 표본들의 평균은 모집단의 평균으로 모이는 경향이 있습니다. 이를 중심극한정리라고 합니다.

표본의 분포에 상관없이 표본평균들의 분포는 중심극한정리에 의해 정규분포를 가집니다.

산점도로 표현하면 값을 명확하게 표현할 수 있습니다.

하지만 겹쳐서 나타나서 분포를 표현하기는 어렵습니다.

도수분포도를 그리면 분포를 명확하게 시각화 할 수 있습니다.

하지만 값을 정확하게 표현할 수 없습니다.

1차원 산점도에 대응하는 도수분포도는 2차원 그래프입니다. 따라서 도수분포도를 그릴 때는 구간을 정해야 하는 수고가 필요합니다.

딸기를 점(Point)으로 속성의 공간(Space)에 표현합니다.

딸기집단의 대표속성은 평균, 회귀선, 회귀평면으로 표현됩니다.

딸기 한 알은 좌표계에서 한 점으로 표현됩니다

딸기 20알은 좌표계에서 20개 점으로 표현됩니다

딸기 20알은 평균과 회귀선과 회귀평면으로 대표됩니다.

딸기 한 알은 좌표계에서 한 점으로 표현됩니다

그리고 그 한 점은 좌표값이 있습니다.

딸기 한 알을 좌표계에서 한 점으로 표현