2020/04/06 – 회전단위 원주율 ( pi, π ) 회전단위 원주율

2. 회전단위 원주율

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2.1 회전단위 원주율
원의 둘레(원주)와 지름의 비는 항상 일정합니다.
 
원주율 π
$$\pi=\dfrac{l}{r}$$
여기서,  $l$은 원의 둘레
$r$은 원의 반지름
지름 1인 원이
1회전동안 진행한 길이
π = 3.14159… 원주율의 비로 각도를 나타내면 회전수까지 나타낼 수 있고 각도의 증감도 표시할 수 있습니다.

2021/09/24 – 회전단위 원주율 pi(π) 회전단위 원주율

2. 회전단위 원주율

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2.1 회전단위 원주율
원의 둘레(원주)와 지름의 비는 항상 일정합니다.
 
원주율 π
$$\pi=\dfrac{l}{r}$$
여기서,  $l$은 원의 둘레
$r$은 원의 반지름
지름 1인 원이
1회전동안 진행한 길이
π = 3.14159… 원주율의 비로 각도를 나타내면 회전수까지 나타낼 수 있고 각도의 증감도 표시할 수 있습니다.

2021/10/01 – + \cdots}$$
자연로그와의 관계는
 

lnex=x  ,  eln(x)=x

2.2. 상수 $e$는 $0$, $1$, $\pi$ 및 $i$와 함께 수학에서 매우 중요한 수입니다. 숫자 5개 모두 오일러의 항등식 $e^{i\pi }+1=0$에 나타나며 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 상수

2023/01/02 – 단변량 연속확률변수
• Abraham de Moivre
18세기 통계학자이자 도박 상담가로서 종종 위와 같이 지루한 문제들을 계산하기 위해 호출되곤 함.
만일 이 곡선을 수학적으로 표현할 수 있다면 위의 문제를 쉽게 해결할 수 있다고 생각함.
$I^2=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}exp\left(-\dfrac{z^2+w^2}{2}\right)dzdw$
좌표변환 $z=r\cos\theta, w=r\sin\theta$
받침대변환: $\{(z,w) : -\infty \lt z,w \lt \infty\} \Rightarrow \{(r,\theta) : 0 \lt r \lt \infty, 0 \lt \theta \lt 2\pi\}$
팽창계수 Jacobian: $J=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}=r$
$\begin{align}
I^2
& = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}exp\left(-\dfrac{z^2+w^2}{2}\right)dzdw \\
& = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}exp\left(\dfrac{-r^2}{2}\right)rdr\ d\theta \\
& = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta=1 \\
\end{align}

2022/04/21 – 여기서 주기함수는 복소평면에서 회전하는 주기함수로도 표현될 수 있습니다.
 

합성함수의 미분을 적분하여 합성함수를 표현
$$\theta = 2\pi ft$$
$$t=\dfrac{\theta}{2\pi f}$$
$$f=\dfrac{\theta}{2\pi t}$$
$$f=\dfrac{2\pi n}{2\pi t}$$
$$\dfrac{dn}{dx}=\sigma$$

참고자료

2023/02/06 –
점추정 방법
– 최대가능도방법
– 모멘트방법
– 베이지안추정방법
점추정 대상
– 모평균 ($\mu$) : 모집단 전체의 평균
– 대응차이 모평균 ($\mu_D$) : 대응된 두 확률변수 차이의 모평균
– 모평균 차이 ($\mu_1-\mu_2$): 두 모집단 평균간의 비교 
– 모분산 ($\sigma^2$) : 모집단 전체의 분산
– 모비율 ($p$) : 이항분포의 성공 확률
– 모비율 차이 ($P_1-P_2$) : 두 모집단 비율간의 비교 
점추정량
– 모평균 점추정량
$\bar{X}$
– 모분산 점추정량
$S^2$
– 모평균 차이 점추정량
$({\bar X_1}-{\bar X_2})$
– 대응표본 모평균 점추정량
$\bar{D}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}D_i$
여기서, $D_i=Y_i-X_i$ : 하나의 개체로 부터 외부의 자극 전-후 데이터를 얻게 된 경우
– 모분산 비 점추정량

2022/06/27 –
 
사인(sine)
$$\sin A=\dfrac {a}{h}$$
코사인(cosime)
$$\cos A=\dfrac {b}{h}$$
탄젠트(tangent)
$$\tan A=\dfrac {a}{b}$$
 
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다. 즉, 임의의 복소수$z\in \mathbb {C}$에 대하여
 
$$ \sin z=\sin(z+2\pi)$$
$$\cos z=\cos(z+2\pi)$$
$$\csc z=\csc(z+2\pi)$$
$$\sec z=\sec(z+2\pi)$$
 
탄젠트와 코탄젠트는 주기가 $ \pi$인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 $z\in \mathbb {C}$에 대하여
 
$$ \tan z=\tan(z+\pi)$$
$$ \cot z=\cot(z+\pi)$$
 
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 탄젠트는 실수선의 

2023/02/08 – 즉, 원래 변수를 고유벡터들로 회전하여 얻어지는 새로운 변수라 할 수 있다. 이러한 성질을 회전 가능성(Rotatibility) 라고 부른다. 이러한 회전 가능성이 만족하면 고려한 모든 실험점들에서 구한 예측값들의 정도(precision)가 같다는 의미이다.
 
중심합성설계가 회전가능하게 되는 조건은 무엇일까? 일반적으로 2차 실험에서 추가되는 축점의 길이, $\alpha$에 따라서 회전가능성이 결정된다.

2020/04/06 –
$$f^{\prime}(t)= -k f(t)$$
여기서, $f(t)=\Delta T$
$t$는 시간
$k$는 주어지는 상수
위의 함수  $f(t)$를 지수함수($a^t$)로 모델링할 수 있습니다. 상수 $e$는 $0$, $1$, $\pi$ 및 $i$와 함께 수학에서 매우 중요한 수입니다. 숫자 5개 모두 오일러의 항등식 $e^{i\pi }+1=0$에 나타나며 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 상수 ${\pi}$와 마찬가지로 $e$는 무리수(정수 비율로 나타낼 수 없음)이고 초월적(유리계수가 있는 0이 아닌 다항식의 근이 아님)수입니다.
$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt {\pi}$$
Abraham de Moivre는 1733년에 이러한 유형의 적분을 발견했으며, Gauss는 1809년에 이 적분을 발표했습니다.

2022/02/22 –
 
2) 베어링의 품질평가를 하기 위해 마스터 베어링을 사용한 회전기계의 회전축 흔들림의 분산과 평가대상 베어링을 장착한 회전축 흔들림의 분산비를 비교합니다.
 
3) 두 베어링의 품질비교를 하기 위해 같은 회전기계에 두 베어링을 사용하여 회전기계의 회전축 흔들림의 분산비를 비교합니다.

2022/05/18 –

$$f_Y(y_i)=\mathrm{Pr}[Y=y_i],\ i=1,2,\cdots, d$$
$$\sum_{i=1}^{d}f_Y(y_i)=1$$
$$\mathrm{Pr}[Y=y]=\dbinom{n}{y}\pi^y(1-\pi)^{n-y},\ y=0,1,\cdots,n$$
 
 
$$\mathrm{Pr}[a\leq Y\leq b]=\int_{a}^{b}fr(y)dy$$
$$\mathrm{Pr}[Y\leq y]=\int_{-\infty}^{y}fr(y)dy$$
$$\int_{-\infty}^{\infty}fr(y)dy=1$$
$$\mathrm{E}[Y]=\sum_{i=1}^{d}y_i fr(y_i)$$
$$\mathrm{E}[Y]=\int_{-\infty}^{\infty}yfr(y)dy$$
 
 
$$\mathrm{E}[g(Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(y)fr(y)dy$$
$$\mathrm{E}[a+bY]=a+b\mathrm{E}[Y]$$
$$\sigma_Y^2=\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{E}[(Y-\mathrm{E}[Y])^2]$$
$$\mathrm{Var}(Y)=\mathrm{E}[Y^2]-(\mathrm{E}[Y])^2$$
$$\mathrm{Var}(a+bY)=b^2 \mathrm{Var}(Y)$$
$$Z=\dfrac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}=\dfrac{1}{\sigma_Y}Y-\dfrac{\mu_Y}{\sigma_Y}$$

2020/04/06 – 표본비율로 모비율 추정 – 표본크기가 큰 경우 : Z분포 표본비율로 모비율 추정
2.2. 표본비율로 모비율 추정
크기가 큰 1개의 표본으로 모집단의 모비율을 추정한다.
모비율 추정의 예
– 금년도 선거에서 특정 정당의 지지율은 몇 %나 될까? 점추정
모비율을 $p$로 표시합니다. 구간추정
모집단의 모비율을 $p$라 하자.

2019/12/19 – 한편, 데이터는 경제(매출, 수익, 주가 등), 정부(예 : 범죄율, 실업률, 문맹율)와  비정부기구(예 : 노숙자 인구 조사)등 다양한 분야에서도 나타납니다.
 
Reference
Interquartile range – Wikipedia

백분위 수
백분위 수는 통계에서  관측치의  백분율이 그 이하가 되는 값을 나타내는 값입니다. 백분위 수 순위는 평점에 자주 사용됩니다. 예를 들어, 점수가 86번째 백분위 수(백분위 수 순위 = 86인 경우)라는 것은 이 값 아래에 관측 값의 86%가 있다는 것입니다. 여기서 25번째 백분위 수는 1분위(Q1), 50번째 백분위 수는 2분위(Q2), 75번째 백분위 수는 3분위(Q3)로 각각 부릅니다.

2021/06/04 – 한편, 데이터는 경제(매출, 수익, 주가 등), 정부(예 : 범죄율, 실업률, 문맹율)와  비정부기구(예 : 노숙자 인구 조사)등 다양한 분야에서도 나타납니다.
 
Reference
Interquartile range – Wikipedia

백분위 수
백분위 수는 통계에서  관측치의  백분율이 그 이하가 되는 값을 나타내는 값입니다. 백분위 수 순위는 평점에 자주 사용됩니다. 예를 들어, 점수가 86번째 백분위 수(백분위 수 순위 = 86인 경우)라는 것은 이 값 아래에 관측 값의 86%가 있다는 것입니다. 여기서 25번째 백분위 수는 1분위(Q1), 50번째 백분위 수는 2분위(Q2), 75번째 백분위 수는 3분위(Q3)로 각각 부릅니다.

2021/06/14 – . , +{X_k}}(t)$
 
$={{\rm M}_{X_1}}{{\rm M}_{X_1}}\cdot\cdot\cdot{{\rm M}_{X_k}}$
 
$={(1-2t)^{-{n_1}/2}}{(1-2t)^{-{n_2}/2}}\cdot\cdot\cdot{(1-2t)^{-{n_k}/2}}$
 
$=(1-2t)^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{k}{n_i}}$
 
위 식으로부터 다음을 알 수 있습니다.
 
${\rm M}_{X}(t)={\rm E}(e^{tx})$
 
$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{tx}e^{-x^{2}/2}\, dx}$
 
따라서 
 
${\rm M}_{X^2}(t)={\rm E}(e^{tx^2})$
 
$=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{tx^2}e^{-x^{2}/2}\, dx}$
 
$=(1-2t)^{-1/2}$
 
위 식과 원래 카이제곱 분포의 적률생성함수(mgf)를 비교하면, 위 식은 n=1일 때라는 것을 알 수 있습니다.
 

2020/04/06 – 표본비율로 모비율 추정 : t분포 표본비율로 모비율 추정 : t분포
2.2. 대통령지지도 조사 발표와 모비율 추정
2.5. 표본비율로 모비율 추정 : t분포
1개의 표본으로 집단의 모비율을 추정합니다.
 
모비율 추정의 예
1) 금년도 선거에서 특정 정당의 지지율은 몇 %나 될까? 만일 (1-$\alpha$)% 확신할때는 신뢰구간을 위의 식에서 2.23대신에 임계값을 표현하는 ${t}_{{n}{-}{1}{,}\hspace{0.33em}\frac{\mathit{\alpha}}{2}}$로 바꿔 놓으면 됩니다.

2020/06/05 –

위의 그래프는 특정시점부터 5년간 매 시간별 중국 베이징에 위치한 미국 대사관에서 측정한 대기오염도를 보여주고 있습니다.
wnd_spd : 풍속
snow : 강설량
rain : 강우량
다변량 시계열분석은 단변량 시계열분석을 여러 번 한것으로도 생각할 수 있지만, 변수들 사이의 관계를 알 수 있다는 장점이 있습니다.

2021/07/02 – 한편, 데이터는 경제(매출, 수익, 주가 등), 정부(예 : 범죄율, 실업률, 문맹율)와  비정부기구(예 : 노숙자 인구 조사)등 다양한 분야에서도 나타납니다.
 
Reference
Interquartile range – Wikipedia

백분위 수
백분위 수는 통계에서  관측치의  백분율이 그 이하가 되는 값을 나타내는 값입니다. 백분위 수 순위는 평점에 자주 사용됩니다. 예를 들어, 점수가 86번째 백분위 수(백분위 수 순위 = 86인 경우)라는 것은 이 값 아래에 관측 값의 86%가 있다는 것입니다. 여기서 25번째 백분위 수는 1분위(Q1), 50번째 백분위 수는 2분위(Q2), 75번째 백분위 수는 3분위(Q3)로 각각 부릅니다.

2022/04/01 –
$y={1\over \sqrt{2\pi}}e^{-{1\over 2}x^2}$
 
평균 $\mu$와 분산 $\sigma^{2}$ 를 모수로 하고 정규분포를 가지는 모집단의  확률밀도함수입니다.
$f\left({X}\right)={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-{{{\left({x-\mu}\right)}^{2}}\over{2\sigma^{2}}}},\ -\infty\leq X\leq+\infty$

확률변수 $k$가 매개변수 $n$과 $p$를 가지는 이항분포를 따른다면, $k\sim B\left({n,p}\right)$라고 쓴다.
 
$X\sim{\rm N}\left({np,\sqrt{np\left({1-p}\right)}}\right)$
 
$X\sim {\rm N}\left({\mu ,\sigma^{2}}\right)$

표준정규분포
 
$y=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm exp}^{-\dfrac{1}{2}{x^2}}$
 
평균, $\mu$와 분산, $\sigma^{2}$를 모수로 하는 정규분포를 나타내는 확률변수,

2022/12/12 – 설명” color=”rgb(233, 41, 44)” margin_bottom=”0px” size=”85″]

2.1 확률변수
확률변수와 확률분포
$$f_Y(y_i)=\mathrm{Pr}[Y=y_i],\ i=1,2,\cdots, d$$
여기서,  $Y$는 확률변수
$f_Y(y_i)$는 확률변수, $Y$의 확률분포함수
$y_i$는 $Y$의 값의 열 : $ i=1,2,\cdots, d$
$\mathrm{Pr}[ \, \, ]$은 $[\,\,]$안의 조건에 따른 확률
$$\sum_{i=1}^{d}f_Y(y_i)=1$$
$$\mathrm{Pr}[Y=y]=\dbinom{n}{y}\pi^y(1-\pi)^{n-y},\ y=0,1,\cdots,n$$
 
 
$$\mathrm{Pr}[a\leq Y\leq b]=\int_{a}^{b}fr(y)dy$$
$$\mathrm{Pr}[Y\leq y]=\int_{-\infty}^{y}fr(y)dy$$
$$\int_{-\infty}^{\infty}fr(y)dy=1$$

확률변수의 기대값과 분산
$$\mathrm{E}[Y]=\sum_{i=1}^{d}y_i fr(y_i)$$
$$\mathrm{E}[Y]=\int_{-\infty}^{\infty}yfr(y)dy$$