2차원 산점도

목차

1. 애니메이션

1.1.딸기의 과중과 당도를 나타내는 2차원 산점도

2.1 딸기의 출하일과 당도를 나타내는 2차원 산점도


2. 설명

2.1. 2차원 산점도


3. 실습

3.1. 구글시트

3.2. 구글시트 함수

3.3. 실습강의


4. 용어와 수식

4.1. 용어

 


1. 애니메이션



딸기의 과중과 당도를 나타내는 2차원 산점도




딸기의 출하일과 당도를 나타내는 2차원 산점도


2. 설명

2.1.  2차원 산점도

20개의 딸기의 과중과 당도를 측정한 데이터가 있습니다. 데이터를 보면 딸기 하나에 과중과 당도, 두 개의 데이터(변수값)가 있습니다. 딸기의 과중과 당도의 관계를 탐색하기 위하여 두 변수의 관계를 시각화하는 산점도(scatter plot)를 그립니다.

 

딸기 하나를 한 점(point)으로 생각하면 딸기 하나가 독립된 두 변수를 가진다면 2차원 직각 좌표계에  점으로 딸기를 나타낼 수 있습니다. 결과적으로 딸기가 20개이므로 20개의 점이 평면좌표계에 찍힙니다. 산점도를 그릴 때는 보통, 원인이 되는 변수를 $X$축(가로축), 결과를 나타내는 변수를 $Y$축(세로축)으로 정합니다. 따라서 과중과 당도를 각각 $X$축과  $Y$축에 나타냅니다.

 

애니메이션의 산점도를 보면 과중이 클수록 당도가 높게 나옵니다. 딸기가 무거울수록, 즉, 큰 딸기일수록  달다고 해석할 수 있겠습니다. 두번쨰 애니메이션에서는 20개 딸기의 출하일과 당도를 기록한 데이터를 다룹니다. 산점도를 보면 출하일이  겨울에 가까울수록 딸기가 달다는 것을 알 수 있습니다.

 

산점도는 데이터의 요소가 가지는 두 변수의 상관 관계를 분석하는 그래프입니다. 특히,  두 연속형 변수의 관계를 분석하는데 매우 효율적입니다. 2차원 산점도는 개체(object, 요소, element)의 한 변수를 $X$축,  다른 변수를 $Y$축으로 하여 각각의 관찰값을  $XY$ 평면상의 점으로 나타내는 “데이터시각화”입니다.

 

두 개의 변수에서 한쪽이 증가하면 다른 쪽도 증가하는 관계를 양의 상관이라고 합니다. 반대로 한쪽이 증가하면 다른 쪽은 줄어드는 관계를 음의 상관이라고 합니다.


3. 실습

3.1. 구글시트

회원의 데이터링크 계정으로 구글시트가 복사됩니다.


2차원 산점도 : 구글시트 실습

3.2. 구글시트 함수

=AVERAGE(B3:B22) : 평균. B3에서 B22에 있는 데이터의 평균을 구함. 데이터를 모두 더해서 개수로 나눔. 산술평균.


3.3. 실습강의

– 데이터

– 산점도

– 세로축 범위 조정

– 실습 안내



4. 용어와 수식

4.1. 용어


산점도

산점도(산포도)는 일반적으로 여러 변수를 가지는 개체를 표시하기 위해 직각  좌표계를 사용하는 그래프 유형입니다. 점이 시각적으로 정의된 경우 (색상 / 모양 / 크기) 하나의 추가 변수로 표시 될 수 있습니다. 3차원 산점도에서 데이터는 수평 축상의 위치를 결정하는 하나의 변수 값과 수직축 상의 위치를 결정하는 다른 변수의 값을 갖는 점들의 모음으로 표시됩니다.

 

Reference

Scatter plot – Wikipedia


가설

목차



3. 실습
3.1. 구글시트
3.2. 구글시트 함수
3.3. 실습강의


1. 애니메이션



연역법과 귀납법


2. 설명

가설(hypothesis)

가설(hypothesis) 아이디어입니다.  가설이 진실이 되었을 때 가치가 크다면 가설을 확인하고자 하는 요구가 강할 것입니다. 가설은 관심의 대상을 변수로 정함으로  시작됩니다.

 

변수(variables)

가설에서 사용하는 변수에는  가지 유형이 있습니다 번째 유형은 독립 변수(independent variable)서 실험을 수행하는 동안 조절합니다. 다른 말로는 원인, 설명, 요인, 인자(factor), 중재(intervention)등이 있습니다. 번째 유형은 종속 변수(dependent variable)로서 다른 말로는 결과, 반응 등이 있습니다. 일반적으로 가설 독립변수가 종속변수에 영향을 미치는 것을 “만일 ~면 ~이다”로 표현합니다

가설의 유형

변수간의 관계에 따른 유형

 

– 변수간에 관계가 없는 경우 : 귀무가설($H_0$, null hypothesis) 변수 간에 무관함을 설명하기 때문에 귀무가설이라고 하며 다른 말로는 영가설이라고 합니다. 연구자들은 연구를 수행하여 기존의 질서인 귀무가설을  기각하고 귀무가설과 대립하는 연구가설을 채택하려고 합니다.  귀무가설은 증명할 수 없으며 기각만 가능합니다.  귀무가설로 변수 사이에 관계가 없다는 것을 밝히는 것만으로도 충분한 연구가치가 있는 경우가 많습니다. 즉, 귀무가설을 기각하지 못하여 대립가설로 넘어가지 못하더라도 귀무가설 기각의 연구결과만으로도 그 후의 연구에 중요한 자료가 될 수 있습니다.

– 변수간에 관계가 있는 경우 : 대립가설($H_1$)은 귀무가설의 반대입니다. 연구자들이 귀무가설을 기각하려는 연구를 주로 수행하기 때문에 대립가설은 연구가설과 같은 의미로 많이 사용됩니다.  실험을 설계할 때, 신뢰할  있는 연구결과를 얻기 위해 귀무가설과 대립가설을 함께 고려합니다. 그리고  100% 신뢰도로 대립가설을 증명할 수 없기 때문에 근사값으로 대립가설을 증명합니다. 따라서 대립가설을 증명하기 전에 귀무가설의 기각을 먼저 수행하여야 합니다. 

 

연구방법에 따른 유형

 

– 양적연구 : 통계적 가설 (statistical hypothesis)은 수집한 데이터로 검증할 수 있는 가설입니다.

– 질적연구 : 논리적 가설(logical hypothesis)은 변 간의 관계를 설명하기 위해 논리를 사용합니다. 하지만 관계를 설명하기 위한 데이터는 수집할  없는 경우입니다.

 

변수의 개수에 따른 유형

 

– 변수가 2개 : 단순 가설 (simple hypothesis) 입니다. 하나는 독립 변수이고 다른 하나는 종속 변수

– 변수가 3개 이상 : 복합 가설 (complex hypothesis)입니다. 3 이상의 변수를 포함합니다

 

가설 수립 시 고려할 점

– 변수의 명확성

– 변수 관계의 명확성 : 원인과 결과 등

– 검정방법의 윤리성

– 검정 가능성

– 간결한 언어


연구가설(Research hypothesis)

연구가설이란 질문에 대해  예측한 답은 서술한 것이라고 볼 수 있습니다.  가설은 연구가치가 있는 질문을 작성하는 것으로 시작합니다. 가설수립의 초단계에서는 정확성을 추구하기 보다는 질문과 그 답의 가치를 검토하는 것이 중요합니다. 그리고 자연 또는 사회에 대한 관찰이 아닌  검증된 이론에서 도출해내거나 이전 연구결과를 기반으로 연구가설을 세울 수 있습니다.

 

연구가설 형식

연구가설은 문제 정리, 해결방안 설명 그리고 판정기준을 포함한 결과예측으로 구성됩니다. 

 

문제 정리 > 해결방안 설명 > 결과예측(판정기준 포함)

 

연구가설을 원인과 결과로 표현할 수도 있습니다. 부가적으로 원인과 결과를 설명하는 이론에 대한 설명이 있을 수 있습니다.

 

원인 > 효과

 

가설을 세우기 전, 충분한 시간을 들여 문헌검토를 해야 합니다. 더 나아가 인터뷰도 필요할 수가 있습니다.

 

연구가설의 단계적 수립

1) 가능한 많은 자료를 수집하고 가질 수 있는 문제를 정리

2) 몇 가지  예비가설을 세운 후 예비실험을 통해 각 가설을 확인

3) 가설을 정한 후 설명 목록을 작성

 

연구가설 체크리스트

– 연구주제와의 밀접성 : 연구주제와의 관계를 명확히 설명할 수 있는가

– 검정가능성 : 검정할 수있는 방법이 있는가

– 재현성 : 검정결과를 재현할 수 있는가

– 포함된 변수의 정확성 : 독립변수와 종속변수가 모두 포함되어 있는가

– 간결성 : 더 줄일 수 있는가

– 윤리적 기준에 따라 포함된 변수를 조정하고 관측할 수 있는가

– 윤리적 기준을 위반하지 않고 검증할 수 있는가


3. 실습

3.1. 구글시트

회원의 데이터링크 계정으로 구글시트가 복사됩니다. 


가설 : 구글시트 실습

3.2. 구글시트 함수

=COUNT(C3:C22) : 데이터 개수. C3에서 C22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=AVERAGE(C3:C22) : 평균. C3에서 C22에 있는 데이터의 평균.

=VAR.S(C3:C22) : 표본분산. C3에서 C22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(C3:C22) : 표본표준편차. C3에서 C22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=T.DIST.2T(N3,O3) : t분포 상에서 확률변수의 양측 확률밀도. N3 확률변수에 대해 O3를 자유도로 하는 t분포 상에서의 양측 확률밀도를 계산해서 구함.

=T.INV(1-(S3/T3),O3) : 확률밀도에 해당하는 확률변수를 구함. O3 값을 자유도로 가지는 t분포 상에서 1-(S3/T3) 값을 누적확률밀도로 가지는 확률변수 값을 표시함.

=IF(R3>U3,”YES”,”NO”) : 조건문, R3의 값이 U3보다 크면 YES를 표시하고, 그렇지 않으면 NO를 표시함.


3.3. 실습강의

– 가설

– 확률변수

– 가설검정

– 실습 안내


논문 연구계획서

목차



3. 실습
3.1. 구글시트
3.2. 구글시트 함수
3.3. 실습강의

 


1. 애니메이션



연구계획서 – 데이터사이언스 – 논문


2. 설명

연구주제(Research subject)

연구주제의 서술시 가설(hypothesis)과 그에 따른 변수의 설명을 명확하게 합니다. 연구필요성은 연구결과로 기대되는 가치를 서술하며 연구윤리와 연구수행의 타당성을 함께 고려합니다. 연구주제는 연구질문과 그에 대한 예상 답변으로 표현할 수 있습니다.

연구방법(Research method)

연구주제의 해결을 위한 연구방법에 대하여 구체적인 설명을 합니다. 

1)  연구대상

연구대상인 집단의 대표할 수 있는 표본을 추출합니다.

 

2)  데이터수집

데이터수집 방법, 실험설계, 관측도구의 신뢰도 등을 서술합니다.

 

3)  데이터분석

데이터의 구조를 설명하고 사용한 데이터분석 방법에 대하여 서술합니다. 데이터는 특정 데이터분석 방법을 적용하기 위하여 왜곡되어져서는 안됩니다. 즉, 데이터분석 방법보다는  연구목적과 그에 따른 데이터신뢰성의 지속이 중요합니다.

 

연구계획서(Research proposal) 예시


논문계획서

Ⅰ. 논문제목

Ⅱ. 연구 목적 및 필요성

Ⅲ. 연구방법

Ⅳ. 논문의 목차 

[참 고 문 헌] 


연구계획서 – 논문

Ⅰ. 연구의 목적

Ⅱ. 연구의 범위 및 방법 

1. 연구의 범위 
2. 연구의 방법 

Ⅲ. 이론적 배경 

Ⅳ. 연구모형 

Ⅴ. 연구가설 설정 

Ⅵ. 논문의 목차 

Ⅶ. 연구진행개요 

[참 고 문 헌] 


연구계획서 – 학위논문

I. 논문의 잠정적 제목

Proposed Title

II. 연구주제의 진술과 설명

Statement and Explanation of the Thesis

III. 연구주제의 배경과 중요성

Background Contexts and Significance of the Subject

IV. 선행연구들의 소개와 평가

Research History and Its Evaluation

V. 연구의 범위, 수준, 용도

Scope, Level, and Contribution of the Study

VI. 연구방법론

Methodology

VII. 논문의 잠정적 목차

Proposed Outline of the  Dissertation

VIII. 주요 참고문헌

Selected Bibliography


3. 실습

3.1. 구글시트

본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 



3.2. 구글시트 함수

=COUNT(C3:C22) : 데이터 개수. C3에서 C22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=AVERAGE(C3:C22) : 평균. C3에서 C22에 있는 데이터의 평균.

=VAR.S(C3:C22) : 표본분산. C3에서 C22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(C3:C22) : 표본표준편차. C3에서 C22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=T.DIST.2T(O3,N3) : t분포 상에서 확률변수의 양측 확률밀도. O3 확률변수에 대해 N3를 자유도로 하는 t분포 상에서의 양측 확률밀도를 계산해서 구함.


3.3. 실습강의

– 연구주제

– 확률변수

– 데이터분석

 실습 안내


표본크기 결정

목차



3. 실습
3.1. 구글시트
3.2. 구글시트 함수
3.3. 실습강의

 


1. 애니메이션



표본추출과 표본통계량


2. 설명

실험설계에서는 표본을 추출하기 전에 표본크기를 얼마로 할 것인가를 정해야 합니다. 표본크기를 크게 할수록 표준오차는 작아지고 추정의 정밀도는 더욱 높아집니다. 일반적으로 표본크기가 클수록 모수를 구간추정할 때 같은 유의수준이라도 신뢰구간이 커집니다. 표본크기를 늘리는 것은 실험의 비용을 늘리기 때문에 먼저 추정의 유의수준과 신뢰구간을 미리 설정하여 표본크기의 방정식을 만들어 최소한의 표본의 크기를 결정합니다.

 

모평균 추정시 표본크기 결정

모평균의 $100(1-\alpha)$% 신뢰구간은 다음과 같습니다.

 

$\left[\bar{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{{\sigma_X}}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{{\sigma_X}}{\sqrt{n}}\right]$

 

여기서,   $\mu_X$은 모평균

$\sigma_X$은 모표준편차 

 

${z}_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\mathit{\sigma}}{\sqrt{n}}$ 를 오차의 한계(bound on the error of estimation)또는 최대허용오차(maximum allowable error)라고 합니다. 오차의 한계를 $d$로 하기 위한 표본크기는 다음 방정식을  $n$에 관하여 풀면 됩니다.

 

${z}_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\mathit{\sigma}}{\sqrt{n}}=d$

 

모평균 추정시 표본크기의 결정

 

$n=\left(\dfrac{z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma_X}{d}\right)^2$


위 식에서 모표준편차 $\sigma_X$는 알 수가 없으므로 $X$의 범위를 추정하고 4로 나눈 값을 사용합니다.

 

모비율 추정시 표본크기 결정

비슷한 방법으로 모비율 $p$의 100(1-$\alpha$)% 신뢰구간은 다음과 같습니다.

 

$\left[{\hat{p}{-}{z}_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{\hat{p}{(}{1}{-}\hat{p}{)}}{n}}{,}\hspace{0.33em}\hat{p}{+}{z}_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{\hat{p}{(}{1}{-}\hat{p}{)}}{n}}}\right]$

 

따라서 오차한계가 $d$가 되기 위해 아래의 방정식을 표본크기($n$)에 대하여 풉니다.

 

${z}_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{\hat{p}{(}{1}{-}\hat{p}{)}}{n}}{=}{d}$

 

모비율 추정시 표본의 크기 결정

 

${n}{=}\hat{p}{(}{1}{-}\hat{p}{)(}\dfrac{{z}_{\frac{\alpha}{2}}}{d}{)}^{2}$

 

위 식에서 $\hat{p}$는 구하기 전이고 모비율은 알 수 가 없으므로 $\hat{p}$를 보통 0.5로 합니다. 그 이유는 $p=0.5$일 때  자연현상에서 가장 흔한 대칭이기 때문입니다.

 


3. 실습

3.1. 구글시트

본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 


표본크기 결정 : 구글시트 실습

3.2. 구글시트 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

=RANDBETWEEN(1,100) : 두 값 사이(두 값 포함)의 고르게 분산된 정수인 난수를 반환.

=INDIRECT(D3&”:”&E3) : 문자열로 지정된 셀 참조를 반환.

=COUNTIF(F2:F2, ROW(D3:E3)) : 범위에서 조건에 맞는 개수를 표시.

=NOT(논리표현식) : 논리 값의 역을 반환.

=LARGE(데이터집합, n) : 데이터 집합에서 n번째로 큰 요소를 반환.

=ARRAYFORMULA : 배열 수식에서 여러 행 또는 열에 반환된 값을 표시.

=ARRAY_CONSTRAIN : 배열 결과를 지정된 크기로 제한.

=VLOOKUP(H3,A:B,2,FALSE) : 열 방향 검색. A:B열의 첫 번째 열에서 H3값이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다. FALSE를 입력하면, 완전히 일치된 값만 표시합니다. FALSE가 아닌 TRUE를 입력하면, H3에 근접한 값(H3보다 작거나 같은 값)이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다.

=AVERAGE(B3:B1002) : 평균. B3에서 B1002에 있는 데이터의 평균.

=VARP(B3:B1002) : 모분산. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모분산. 편차제곱합을 데이터 개수로 나눔.

=STDEV.P(B3:B1002) : 모표준편차. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모표준편차. 모분산의 제곱근.

=COUNT(I3:I22) : 데이터 개수. I3에서 I22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=VAR.S(I3:I22) : 표본분산. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(I3:I22) : 표본표준편차. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=AK3/SQRT(AH3) : AK3 값을 AH3의 제곱근으로 나눔. 이 실습에서는 표준오차를 계산함.

=T.INV(1-(1-AN3)/2,AH3-1) : T확률분포에서 T값을 계산. T.INV(확률, 자유도)로 구성. 이 실습에서는 AN3에 95% 신뢰수준을 입력하였는데, 양측검정에서는 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%가 되어야 함. 따라서, 1-(1-0.95)/2를 하면 누적확률밀도가 0.975, 즉 97.5%가 되어서, 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%인 T값을 얻을 수 있음.

=AND(AR3>AP3, AR3<AQ3) : 입력된 조건이 모두 참이면 TRUE, 입력된 조건 중 하나라도 거짓이면, FALSE를 표시. AR3값이 AP3 초과이고, AQ3 미만이면 TRUE를 표시함.

=NORMSINV(1(1AP3)/2) : 표준정규분포의 역함수. 괄호안의 값을 누적확률로 가지는 표준정규분포 상의 확률변수를 구함. 이 실습에서는 AP3에 0.95, 즉 95% 신뢰구간 값을 넣었는데, 좌우대칭의 양 끝 확률이 0.25 (2.5%)가 되도록 하기 위해, 1(1AP3)/2=0.975 (97.5%)로 계산해서 입력함. 


3.3. 실습강의

– 집단

– 랜덤 샘플링 : 무작위로 표본추출

– 표본통계량

– 표본통계량으로 모수 추정(점, 구간)

– 표본크기에 따른 표준오차 비교

– 표본크기 결정

– 실습 안내


확률화구획 실험설계 Randomized block design of experiment

목차



3. 실습
3.1. 구글시트
3.2. 구글시트 함수
3.3. 강의 영상


1. 애니메이션


확률화구획 실험설계


2. 설명

자동차의 연비가 운전자에 따라 영향을 받을 수 있는 문제를 해결하기 위하여 완전확률화 실험설계의 예는 다음과 같습니다. 15대의 차를 5명의 운전자에게 무작위(random)로 3대씩 배정합니다. 15대의 차에 1번부터 15번까지의 번호를 부여한 다음, 추첨으로 나오는 번호순서대로 운전자를 배치합니다.이와 같이 실험을 설계하면 운전자에 의한 변동이 전체 관측값에 균등하게 영향을 미치어 다른 운전자로 인해 연비가 달라질 가능성이 줄어듭니다.

 

완전확률화 실험설계에 따른 실험설계의 예

운전자 1 2 3 4 5
자동차 B1 A2 B2 C1 A4
B5 C4 A1 A3 C3
 C5 B4 A5 B3 C2

완전확률화 실험설계로 15대의 자동차를 5명의 운전자에게 랜덤하게 배정할 때. 위의  배정 결과는 완전확률화 실험설계의 단점을 보여줍니다. 이를 테면, 운전자 1은 B와 C 회사차만, 운전자 3은 A와 B 회사차만 실험하게 되어 운전자간의 변동이 오차항에 평균화되어 포함되지를 못합니다. 그래서 이문제를 해결하기 위하여 한 운전자에 3대보다 많은 차를 배치하는 방법을 사용하여야 합니다. 그러나 실험비용으로 인하여 한 운전자간 배치할 수 있는 자동차 대수가 3대가 최대라고 한다면 운전자간의 변동이 심한 경우 오차항은 단순한 실험오차가 아니라 운전자에 대한 오차가 반영된 것일 수 있습니다. 작은 수의 실험표본의 한계를 극복하기 위해 인위적으로 각 운전자가 각 회사차를 적어도 한번씩은 실험하도록 하는데 이와 같은 실험방법을 확률화구획 실험설계(randomized block design of experiment)라고 합니다.

 

확률화구획 실험설계에 따른 실험설계의 예

운전자 1 2 3 4 5
자동차 A1 B1 C1 A2 A3
C2 C3 A4 B2 C4
B3 A5 B4 C5 B5

 

위의 표에서 전체 관측값들을 운전자에 따라 5개의 집합으로 나눈 것을 구획(블록, block)이라 합니다. 운전자와 같이 구획을 나타내는 변수를 구획변수(block variable)라고 합니다. 구획은 일반적으로 인자 외의 다른 요인에 의한 변동이 심할 경우 사용됩니다. 예를 들어, 벼품종에 따른 수확량을 조사할 때 관심 원인(인자)은 벼품종입니다. 하지만 실험에 사용되는 논의 지력에 따라 수확량이 달라집니다. 따라서 지력으로 구분되는 큰 면적의 논을 일정한 크기의 작은 구획(블록)으로 분할 한 후 지력별로 구분되는 각 구획에 각 품종의  벼를 인위적으로 배치하여 심습니다. 이와 같이 하면 지력의 차가 심한 경우에도 그로 인한 변동을 제거할 수 있으므로 벼품종간의 수확량 차이에 대해 더욱 정확하게 측정할 수 있습니다.


3. 실습

3.1. 구글시트

본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 



3.2. 구글시트 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

=RANDBETWEEN(1,100) : 두 값 사이(두 값 포함)의 고르게 분산된 정수인 난수를 반환.

=INDIRECT(D3&”:”&E3) : 문자열로 지정된 셀 참조를 반환.

=COUNTIF(F2:F2, ROW(D3:E3)) : 범위에서 조건에 맞는 개수를 표시.

=NOT(논리표현식) : 논리 값의 역을 반환.

=LARGE(데이터집합, n) : 데이터 집합에서 n번째로 큰 요소를 반환.

=ARRAYFORMULA : 배열 수식에서 여러 행 또는 열에 반환된 값을 표시.

=ARRAY_CONSTRAIN : 배열 결과를 지정된 크기로 제한.

=VLOOKUP(H3,A:B,2,FALSE) : 열 방향 검색. A:B열의 첫 번째 열에서 H3값이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다. FALSE를 입력하면, 완전히 일치된 값만 표시합니다. FALSE가 아닌 TRUE를 입력하면, H3에 근접한 값(H3보다 작거나 같은 값)이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다.

=AVERAGE(B3:B1002) : 평균. B3에서 B1002에 있는 데이터의 평균.

=VARP(B3:B1002) : 모분산. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모분산. 편차제곱합을 데이터 개수로 나눔.

=STDEV.P(B3:B1002) : 모표준편차. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모표준편차. 모분산의 제곱근.

=COUNT(I3:I22) : 데이터 개수. I3에서 I22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=VAR.S(I3:I22) : 표본분산. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(I3:I22) : 표본표준편차. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=AK3/SQRT(AH3) : AK3 값을 AH3의 제곱근으로 나눔. 이 실습에서는 표준오차를 계산함.

=T.INV(1-(1-AN3)/2,AH3-1) : T확률분포에서 T값을 계산. T.INV(확률, 자유도)로 구성. 이 실습에서는 AN3에 95% 신뢰수준을 입력하였는데, 양측검정에서는 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%가 되어야 함. 따라서, 1-(1-0.95)/2를 하면 누적확률밀도가 0.975, 즉 97.5%가 되어서, 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%인 T값을 얻을 수 있음.

=AND(AR3>AP3, AR3<AQ3) : 입력된 조건이 모두 참이면 TRUE, 입력된 조건 중 하나라도 거짓이면, FALSE를 표시. AR3값이 AP3 초과이고, AQ3 미만이면 TRUE를 표시함.


3.3. 강의영상

– 집단

– 랜덤 샘플링(완전확률화 표본추출)

– 표본통계량

– 표본통계량으로 모수 점추정, 구간추정

– 샘플링된 빈도 수

– 실습 안내


완전확률화 실험설계 Random design of experiment

목차




3. 실습
3.1. 구글시트
3.2. 구글시트 함수 설명
3.3. 강의 영상

 


1. 애니메이션



완전확률화 실험설계

 


2. 설명

인자(factor, 원인변수)에 따른 결과변수를 관측하여 결과에 미치는 원인을 살펴보는  실험을 설계한다고 할 때, 가장 중요한 것은 관심을 가지는 원인이외의 다른 원인이 결과에 영향을 미치면 안된다는 점입니다. 예를 들어, 자동차 메이커별 동급모델(A, B, C)의 1리터당 주행거리(연비)를 비교하는 실험을 설계한다고 하면 우선 관심을 가지는 인자(factor, 원인변수)는 메이커별 자동차 모델이며 관심을 가지는 결과변수는 연비입니다. 그리고 원인변수가 갖는 변수값인 수준(level)은 A, B, C로 표현되는 각 자동차 메이커의 동급모델입니다. 원인변수인자, factor)는 명목척도로 구해지는 범주형변수이며, 결과변수는 비례척도로 구해지는 연속형변수입니다. 차종(자동차 메이커의모델)별로 연비를 관측할 때 실험 기간이 길 수도 있고 비용 등 여러 가지 이유로 차종별 차를 많이 추출하기 어렵습니다.

 

한 원인변수(메이커별 동급 차종)의 변수값(A, B, C)인 차종간에  존재할 수 있는 차이를 정확하게 파악하기 위해서는 다른 원인들의 영향을 될 수 있는 대로 적게 해 주는 것이 좋습니다. 이를 위한 방법 중의 하나는 실험 전체를 완전확률화(무작위, random)하게 하는 것입니다. 같은 자동차 모델이라도 연식에 따른 영향과 각 자동차별 다름(변동)을 최대한 줄이기 위해서  각 자동차 메이커의 동급모델 중에서 실험시간과 실험비용을 고려해서 무작위(완전확률화)로  신차 5대를 선정하였습니다.  표본을 무작위로 추출하였다고 해도 동일한 조건하의 연비측정을 위해 한 운전자가 모든 15대의 차를 운전해 실험해 볼 수도 있지만 하루에 3대밖에 측정할 수 없다면 총 5일에 걸쳐서 측정을 하게 됩니다. 이 경우 연비를 측정하는 5일동안  날씨나 풍속, 풍향 등 여러 환경이 달라 질 수 있어 측정된 값이 실험날짜에 영향을 받게 됩니다.

 

최종적으로 하루에 모든 차의 연비를 측정하기 위하여 다섯 명의 운전자(1, 2, 3, 4, 5)가 차를 운전하는 실험설계를 하였다면 이번에는 자동차의 연비는 운전자에 따라 영향을 받을 수 있는 문제가 발생합니다.  그래서 15대의 차를 5명의 운전자에게 무작위(random)로 3대씩 배정한 후 실험의 순서 역시 무작위로 하는 완전확률화 실험설계를 이어 갑니다. 15대의 차에 1번부터 15번까지의 번호를 부여한 다음, 추첨으로 나오는 번호순서대로 연비를 측정합니다. 이와 같이 실험하면 운전자에 의한 변동이 전체 관측값에 균등하게 영향을 미치어 다른 운전자로 인해 연비가 달라질 가능성이 줄어듭니다. 이와 같이 모든 실험과정에서 무작위를 도입하는 실험방법을 완전확률화계획법(completely randomized design)이라 부릅니다. 

 

위의 요인외에도 연비에 대한 환경별 차종의 장점(예를 들면 정차가 심한 도심보다는 고속도로에서 연비가 높게 개발된 차)을 모두 동일하게 하는 완전화확률 실험설계를 하는 것은 어렵습니디. 즉, 어느 도로에서 실험할 것인지를 무작위(추첨)으로 하기에는 무리가 있습니다. 따라서 완전확률화 실혐설계는 적용하는 범위를 정해야 하며 이는 실험의 목적에 따르는 것이 중요합니다. 정리하면 실험의 목적을 분명히 정하고 완전확률화 실험설계를 적용하는 것이 순서입니다.

 

다음의 표는 추첨(제비뽑기, 프로그램으로 난수를 발생시켜 정하기)에 의해 운전자와 3메이커별 5대의 차가 대응된 실험설계를 보여 줍니다. 기호 A, B, C는 다른 자동차 메이커의 차종을 의미합니다.

 

완전확률화계획법에 따른 실험설계의 예

운전자 1 2 3 4 5
표본추출된 차종(메이커별 자동차모델) B1 A2 B2 C1 A4
   B5 C4 A1 A3 C3
   C5 B4 A5 B3 C2

 


3. 실습



<실습 방법>

본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 

구글시트 사용법 크롬 설치

<구글시트 함수>

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

=RANDBETWEEN(1,100) : 두 값 사이(두 값 포함)의 고르게 분산된 정수인 난수를 반환.

=INDIRECT(D3&”:”&E3) : 문자열로 지정된 셀 참조를 반환.

=COUNTIF(F2:F2, ROW(D3:E3)) : 범위에서 조건에 맞는 개수를 표시.

=NOT(논리표현식) : 논리 값의 역을 반환.

=LARGE(데이터집합, n) : 데이터 집합에서 n번째로 큰 요소를 반환.

=ARRAYFORMULA : 배열 수식에서 여러 행 또는 열에 반환된 값을 표시.

=ARRAY_CONSTRAIN : 배열 결과를 지정된 크기로 제한.

=VLOOKUP(H3,A:B,2,FALSE) : 열 방향 검색. A:B열의 첫 번째 열에서 H3값이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다. FALSE를 입력하면, 완전히 일치된 값만 표시합니다. FALSE가 아닌 TRUE를 입력하면, H3에 근접한 값(H3보다 작거나 같은 값)이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다.

=AVERAGE(B3:B1002) : 평균. B3에서 B1002에 있는 데이터의 평균.

=VARP(B3:B1002) : 모분산. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모분산. 편차제곱합을 데이터 개수로 나눔.

=STDEV.P(B3:B1002) : 모표준편차. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모표준편차. 모분산의 제곱근.

=COUNT(I3:I22) : 데이터 개수. I3에서 I22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=VAR.S(I3:I22) : 표본분산. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(I3:I22) : 표본표준편차. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=AK3/SQRT(AH3) : AK3 값을 AH3의 제곱근으로 나눔. 이 실습에서는 표준오차를 계산함.

=T.INV(1-(1-AN3)/2,AH3-1) : T확률분포에서 T값을 계산. T.INV(확률, 자유도)로 구성. 이 실습에서는 AN3에 95% 신뢰수준을 입력하였는데, 양측검정에서는 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%가 되어야 함. 따라서, 1-(1-0.95)/2를 하면 누적확률밀도가 0.975, 즉 97.5%가 되어서, 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%인 T값을 얻을 수 있음.

=AND(AR3>=AP3, AR3<=AQ3) : 입력된 조건이 모두 참이면 TRUE, 입력된 조건 중 하나라도 거짓이면, FALSE를 표시. AR3값이 AP3 이상이고, AQ3 이하이면 TRUE를 표시함.



<실습강의 내용>

  • 집단랜덤 샘플링(완전확률화하여 표본을 추출)
  • 표본통계량
  • 표본통계량으로 집단의 모수 추정 : 점 추정, 구간 추정
  • 샘플링된 빈도 수
  • 실습 안내

표본통계량으로 집단의 모수 추정

통계


표본으로 표본이 추출된 집단(모집단)을 추론하는 방법을 살펴보면, 첫번째로 표본의 통계량(statistic)인 표본평균, 표본분산을 계산으로 구해서 집단의  모평균, 모분산을 점추정합니다.  두번째로  집단의  통계량(모수, parameter)을 신뢰도(0%~100%)를 밝히고 표본의 통계량을 중심으로 모수가 어디 어디 사이에 있다고 주장하는 것입니다. 이것을 구간추정이라고 합니다.

집단은 연구대상이 되는 집단을 말합니다. 연구집단(목표집단)은 연구조사 목적에따른 개념적 집단입니다. 조사집단은 표본으로 추출가능한 개체들로만 구성된 집단입니다. 모수(parameter)는 집단의 특성을 나타내는 값입니다. 고정된 값이긴 하지만 그 정확한 값은 모릅니다. 그래서 통계적 추론으로 구합니다. 예를 들면 지역별, 세대별 의료비지출 등입니다. 특별히 표본이 추출된 집단을 그 표본의 모집단(population)이라고 부룹니다.

표본(sample)은 표본보다 더 큰 집단의 추론을 위해 수집하고 분석하는 원소(element)의 집합입니다. 즉, 집단의 부분집합입니다. 표본통계량(sample statistics)은 표본으로 부터 계산된 표본평균, 표본분산, 표본비율등을 말합니다.

표본으로부터 표본이 추출된 집단의 특성을 알기위한 방법으로 확률(probability)을 도입합니다. 확률에서 시행과 사건의 개념을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

  • 시행은 관측(조사)행위이다.
  • 사건은 시행의 결과다.
  • 전사건은 시행에서 얻을 수 있는 결과의 모든 집합이다.
  • 근원사건은 모두 같은 정도로 확률을 가지는  더 이상 나눌 수 없는 개별 사건이다.

확률은 수학적 확률과 통계적 확률이 있는데 통계적 확률은 시행을 반복해서 얻을 수 있는 실제를 반영한 확률입니다. 수학적 확률과 통계적 확률이 같은 경우는 통계적 확률에 사용하는 환경이 완벽한 경우입니다. 예를 들면 완벽한 육면체의 주사위를 완벽히 같은 환경에서 던지기를 무한대로 시행하면 통계적 확률과 수학적 확률은 같습니다. 수학적확률은 통계적확률의 환경을 가정하는 방식으로 집단을 모델링한 것입니다.

집단의 속성을 나타내는 모수(parameter)에는 모평균과 모분산등이 있습니다. 표본에서 산출되는 평균과 분산 등을 표본통계량(sample statistic)이라 하며 통계량(statistic)의 복수형(statistics)은 통계(statistics)를 표현합니다. 통계량은 표본을 고르는 방법에 따라 값이 결정되는 확률변수입니다. 따라서 표본통계량은 확률변수이고 대응하는 확률분포를 표집분포(smapling distribution of sample statistic)라 합니다. 표본통계량 중 하나인 표본평균은 모집단에서 추출한 표본의 대표값 중 하나입니다.

정규성을 갖는 집단은 집단의 확률변수가 정규분포라고 가정할 수 있는 특별한 집단입니다. 모평균은 집단(집단의 데이터개수에 따라 데이터개수가 유한한 유한집단과 데이터개수가 무한한 무한집단)의 데이터의 평균을 말합니다. 모분산은 집단의 데이터의 분포정도를 나타냅니다. 집단 전체를 관측하는 것(전수검사)이 힘드므로 모평균, 모분산은  모르는 경우가 많습니다. 표본을 추출하여 모평균, 모분산을 추정하는 것이 추측통계입니다.


추정(estimation) : 모수(parameter), 추정량(estimator), 추정값(추정치, estimate)

통계적 실험이나 조사의 목적은 미지의 집단에 대한 정보를 알아보려고 하는 것입니다. 집단의 정보란 대개 평균, 분산 등과 같은 집단의 특성값을 말하며, 이러한 집단의 특성값을 모수(parameter)라고 합니다. 집단 전체를 조사하는 것은 불가능하거나 시간, 경비가 많이 들기 때문에, 대개 모수는 표본을 추출하여 표본평균, 표본분산과 같은 표본의 특성값을 이용하여 추정하게 됩니다.

표본의 특성값을 표본통계량(sample statistic)이라 부르고, 표본통계량의 확률분포를 표집분포(sampling distribution)라 합니다. 표집분포는 표본통계량과 모수 사이의 관계를 규명해 주기 때문에 모수의 추정과 검정을 가능하게 합니다.

모평균은 하나의 값이지만 표본평균은 여러 개의 값을 가질 수 있습니다. 즉, 모평균 $\mu$는 집단의 하나의 대표값인 모수(parameter)라고 부르고 표본평균은 서로 다른 많은 값을 가질 수 있는 확률변수로서 일반적으로 대문자를 사용하여 $\bar{X}$로 표시합니다.  $\bar{X}$를 모수 $\mu$의 추정량(estimator)이라 부릅니다. 한 표본에서 구한 $\bar{X}$의 관측하여 구현된 값을 소문자를 사용하여 $\bar{x}$로 표시하고 이 $\bar{x}$를 $\mu$의 추정값(estimate)이라 부릅니다. 역시, 집단의 모수인 모분산( $\sigma^2$)을 추정하는 추정량은 표본분산 $S^2$입니다. 그 관측값인 $s^2$은 모분산의 추정값(estimate)입니다.


실습

아래의 구글시트 실습을 누르시면, 본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 실습에 대한 설명은 AI 강의로 보실 수 있습니다.

구글시트 사용법 크롬 설치


<구글시트 함수>

=VLOOKUP(H3,A:B,2,FALSE) : 열 방향 검색. A:B열의 첫 번째 열에서 H3값이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다. FALSE를 입력하면, 완전히 일치된 값만 표시합니다. FALSE가 아닌 TRUE를 입력하면, H3에 근접한 값(H3보다 작거나 같은 값)이 있는 행의 2번째 값을 표시합니다.

=AVERAGE(B3:B1002) : 평균. B3에서 B1002에 있는 데이터의 평균.

=VARP(B3:B1002) : 모분산. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모분산. 편차제곱합을 데이터 개수로 나눔.

=STDEV.P(B3:B1002) : 모표준편차. B3에서 B1002에 있는 데이터의 모표준편차. 모분산의 제곱근.

=COUNT(I3:I22) : 데이터 개수. I3에서 I22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=VAR.S(I3:I22) : 표본분산. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(I3:I22) : 표본표준편차. I3에서 I22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=AK3/SQRT(AH3) : AK3 값을 AH3의 제곱근으로 나눔. 이 실습에서는 표준오차를 계산함.

=T.INV(1-(1-AN3)/2,AH3-1) : T확률분포에서 T값을 계산. T.INV(확률, 자유도)로 구성. 이 실습에서는 AN3에 95% 신뢰수준을 입력하였는데, 양측검정에서는 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%가 되어야 함. 따라서, 1-(1-0.95)/2를 하면 누적확률밀도가 0.975, 즉 97.5%가 되어서, 양쪽 끝 확률이 각각 2.5%인 T값을 얻을 수 있음.

=AND(AR3>=AP3, AR3<=AQ3) : 입력된 조건이 모두 참이면 TRUE, 입력된 조건 중 하나라도 거짓이면, FALSE를 표시. AR3값이 AP3 이상이고, AQ3 이하이면 TRUE를 표시함.



<실습강의 내용>

집단

표본

표본통계량

표본통계량으로 집단의 모수 추정 : 점 추정, 구간 추정

실습 안내

F분포 F distribution



d가 1, 5, 10, 50, 100 일때 각각 d을 1에서 100으로 증가시킬 때 F분포의 변화


확률변수, $F$

정규분포를 이루고 분산($\sigma^2$)이 같은 두 집단으로부터 크기 $n_1$과 크기 $n_2$의 표본을 추출합니다. 이때  추출한 표본분산($S_1^2$, $S_2^2$)을 모분산으로 나눈  두 비의 비를 새로운 확률변수로 하고 이를 $F$라 합니다. 표본추출을 무작위로 반복적으로 하면 $F$의 확률밀도함수는 $F$분포를 나타냅니다. $F$분포의 분자의 자유도는 $(n_1-1)$이고 분모의 자유도는 $(n_2-1)$입니다.
 
$\dfrac{\left(\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}\right)}{\left(\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}\right)}=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$
 
여기서, 두 집단은 정규분포를 나타내고 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$로 가정
 
먼저 확률변수인 $F$를 살펴보면, 분자와 분모의 자유도에 따라 달라지는 $F$확률분포를 가집니다.
 
$F_{v_1,\ v_2}=\dfrac{\dfrac{\chi_{v_1}^2}{v_1}}{\dfrac{\chi_{v_2}^2}{v_2}}$
 
여기서,  $v_1$, $v_2$은 F분포의 모수인 분자의 자유도와 분모의 자유도
$\chi_{v_1}^2$, $\chi_{v_2}^2$는 모수로 $v_1$과 $v_2$를 가지는 두 카이제곱분포($\chi^2$) 
 
 
위식을 확률변수인 두 표본분산에 적용하여 $F$로 변환하면 다음과 같습니다.
 
$F_{n_1-1,\ n_2-1}=\dfrac{\dfrac{\chi_{n_1-1}^2}{n_1-1}}{\dfrac{\chi_{n_2-1}^2}{n_2-1}}=\dfrac{\dfrac{\left({\left({n_1-1}\right)\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}\right)}{(n_1-1)}}{\dfrac{\left({\left({n_2-1}\right)\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}\right)}{(n_2-1)}}=\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}$
 
여기서,  $n_1$, $n_2$는 두 표본의 크기
 $(n_1-1)$, $(n_2-1)$은 두 표본의 자유도
$S_1^2$, $S_2^2$는 두 표본분산
$\sigma_1^2$, $\sigma_2^2$는 두 모분산
 
확률분포, $F_{v_1,\ v_2}$
 
$F$분포($F$-distribution )는 연속확률분포(continuous probability distribution)이며 독립적인 두 카이제곱분포에 관한 비로써 정의됩니다. $U_1∼\chi_{v_1}^2$, $U_2∼\chi_{v_2}^2$이고 $U_1$과 $U_2$가 독립일 때 $F$분포를 다음과 같이 정의합니다. $F$분포는 두 모수를 가지는데 분자에 해당하는 카이제곱분포의 자유도와 분모에 해당하는 카이제곱분포의 자유도입니다.
 
확률분포 $F=\dfrac{U_1/v_1}{U_2/v_2}∼ F_{v_1,\ v_2}$
 
여기서,  $v_1$은 $U_1$(분자)의 자유도
$v_2$는 $U_2$(분모)의 자유도
 

$F$분포의 특성

항상 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가집니다. 단일 분포가 아닌 모수인 분자의 자유도와 분모의 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는 데, 분자의 자유도와 분모의 자유도가 커질 수록 정규분포에 가까워집니다. 

 

분모와 분자의 자유도가 서로 바뀌어 있는 두 $F$분포에 대하여 다음식이 성립합니다.

 

$F_{v_1,\ v_2,\ \alpha}=\dfrac{1}{F_{v_2, \ v_1 \ ;\ 1-\alpha}}$
 

$F$분포와 $t$분포의 관계

$t$분포를 제곱하면 분자와 분모의 자유도가 각각 1, $v$인 $F$분포가 됩니다.

 

$t=\dfrac{Z}{\sqrt{U/v}}\sim t_v$
 

$t_v^2=\dfrac{Z^2/1}{U/v}∼F_{1, \ v}$

 

$F$분포를 이용한 $F$검정

$F$분포로 하는 검정(test)을 $F$검정($F$-test)이라고 합니다. $F$검정은 두 모분산의 비교, 추정 및 검정 그리고 분산분석 및 상관회귀분석에 사용됩니다. 

 

$F_{v_1,\ v_2,\ ;\ \alpha}$는 $X\sim F_{v_1,\ v_2}$에 대하여 $P[X\geq a]=\alpha$가 되도록 하는 $a$의 값입니다.


실습

아래의 구글시트 실습을 누르시면, 본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 실습에 대한 설명은 AI 강의로 보실 수 있습니다.

구글시트 사용법 크롬 설치


<구글시트 함수>

=NORMINV(RAND(),15,2) : 정규분포를 이루는 확률변수를 랜덤하게 생성. 평균 15, 표준편차가 2인 정규분포로부터 확률변수를 랜덤하게 생성

=ROUND(NORMINV(RAND(),15,2),1) : 반올림. 괄호 안에 있는 계산 식에 의해 구해진 값을 소수점 2번째 자리에서 반올림해서 소수점 1번째 자리까지 표시. 마지막의 숫자 1을 2 혹은 3으로 변경하면 반올림해서 소수점 2번째 혹은 3번째 자리까지 표시함.

=AVERAGE(C3:C22) : 평균. C3에서 C22 범위에 있는 데이터의 산술평균을 계산함.

=SUM(G3:G42) : 합계. G4에서 G42 범위에 있는 모든 데이터를 더해서 합계를 계산함.

=COUNTUNIQUE(D3:D42) : 고유한 데이터의 개수. D3에서 D42 범위에 있는 데이터 중에서 고유한 데이터의 개수를 표시함.

=F.DIST.RT(N3,L3,L4) : L3과 L4의 자유도를 가진 F분포에서 N3 확률변수의 오른쪽 확률밀도를 계산함.

=F.DIST(A3,1,1,FALSE) : 자유도가 1, 1인 F분포에서 A3 확률변수의 확률밀도를 계산함. FALSE 대신 TRUE를 입력하면, 누적확률밀도를 계산.



<실습강의 내용>

당도 평균이 12, 13인 딸기 집단에서 각각 20개씩 샘플링
집단평균, 전체평균
집단간 제곱, 집단내 제곱
F변환
F분포

카이제곱분포 Chi-squared distribution



자유도를 1에서 100까지 증가시키면서 카이제곱분포의 확률밀도함수 관찰


카이제곱분포의 특징
 
확률변수 카이제곱($\chi^2$)은 항상 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가집니다. 모수(parameter, 매개변수)인 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는데, 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워집니다.
표본분산(확률변수 $S^2$)의 카이제곱변환
 
표준정규분포를 가지는 집단(모평균 $\mu$=0, 모분산 $\sigma^2=1$)에서 크기가 $n$인 표본을 무작위로 추출하면 표본의 자유도는 $n-1$이 되고 표본분산의 기대값은 1이 됩니다. 이 때 자유도의 정보를 가지는 총변동도 확률변수가 되며 그, 확률변수를 카이제곱($\chi_{n-1}^2$)이라  정의하면 카이제곱의 기대값은 자유도가 됩니다. 
 
 
집단이 표준정규분포를 가지면
 
$X = Z$
 
여기서, $Z$는 표준정규분포를 가지는 확률변수
$X$는 집단의 확률변수
 
 
확률변수인 집단의 표본평균($\bar X$)을 점추정하면 집단의 모평균($\mu_X$)과 같습니다. 그리고 표본분산($S^2$)을 총변동과 자유도로 분리하면 다음과 같습니다.
 
 
총변동 = $\sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i^2}$
 
자유도 = $n-1$
 
 
$\chi_{n-1}^{2}$의 정리를 사용하면
 
 
$\chi_{n-1}^{2}= \left({n-1}\right)\dfrac{S_X^2}{\sigma_X^2}=(n-1)S_X^2$
 
$S_X^2$는 확률변수인 표본분산
집단이 표준정규분포이므로 $\sigma_X^2=1$
 
 
한편, 정규분포를 가지고 확률변수가 $X$인 집단(모평균 $\mu_X$, 모분산 $\sigma_X^2$)에서 크기가 $n$인 표본을 무작위로 반복하여 비복원 추출하였을 때, 표본분산($S_X^2$)의 확률분포(표집분포)는 0점에 쏠려 나타나는 모양을 가집니다.(애니메이션 참조). 표본크기가 $n$인 집단의 표본분산($S_X^2$)을 무차원 확률변수 카이제곱으로 다음과 같이 변환하면 변환된 확률변수 카이제곱($\chi_{n-1}^2$)은 모수 ($n-1$)을 가지는 카이제곱분포(chi-squared distribution)를 가집니다. 
 
 
$\left({n-1}\right)\dfrac{S_X^{2}}{\sigma_{X}^{2}}=\dfrac{S_X^{2}}{\dfrac{\sigma_X^{2}}{(n-1)}}→\chi_{n-1}^2$
 
 
확률변수 $X$를 가지는 집단의 표본분산 $S_X^2$은 역시, 확률변수입니다. 이 확률변수를 무차원 확률변수인 $\chi_{n-1}^2$으로 변환하는 과정은 표본분산($S_X^2$)을 집단의 모분산( $\sigma_X^2$)으로 나누고 표본의 자유도($ n-1$)를 곱합니다. 이러한 과정을 카이제곱변환(chi-squared transformation)이라고 표현하기도 합니다.

실습

아래의 구글시트 실습을 누르시면, 본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 실습에 대한 설명은 AI 강의로 보실 수 있습니다.

구글시트 사용법 크롬 설치


<구글시트 함수>

=NORM.DIST(A3,0,1,FALSE) : 평균이 0이고, 표준편차가 1인 정규분포, 즉 표준정규분포에서 A3 값에 대한 확률밀도를 계산함. FALSE 자리에 TRUE를 입력하면 누적확률밀도를 계산함.

=CHISQ.DIST(E3,1,FALSE) : 자유도가 1인 카이제곱분포에서 E3 값에 대한 확률밀도를 계산함. 1을 다른 숫자로 바꾸면, 이 숫자를 자유도로 하는 카이제곱분포의 확률밀도를 계산함. FALSE 자리에 TRUE를 입력하면 누적확률밀도를 계산함.

 

 



<실습강의 내용>

Z를 카이제곱(자유도: 1)으로 변환

Z분포와 카이제곱분포

자유도 1, 2, 3, 4, 5인 카이제곱분포

t분포 t distribution



자유도를 1에서 50까지 변화시키면서 t분포 관찰


확률변수 $X$를 가지는 개체로 이루어진 집단이 있습니다. 이  확률변수가 모평균($\mu_X$), 모표준편차($\sigma_X$)를 모수(parameter)로 가지는 정규분포를 가진다고 하면 이 집단에서 추출한 표본크기 $n$인 표본의 표본평균( $\bar X$)도 확률변수가 되며 표본의 표본표준편차도 확률변수($S_X$)가 됩니다. 

 

$$\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$$

여기서,  $X$는 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma ^2$인 정규분포를 나타냄

 

$$\bar {X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$$

 

$$S^2=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$$

 

중심극한정리에 의하여 확률변수 $\bar X$는 평균을 $\sigma_X$로 하는 종모양의 분포를 나타냅니다. 표본크기($n$)가 커질수록 종모양은 정규분포의 모양과 같아집니다. 이 종모양의 분포를 t분포라고 합니다. 그리고 표본평균($\bar X$) 표집이 나타내는 확률분포도 종모양의 분포를 나타내며 표본크기가 커질수록 종모먕이 더 뾰족해 지면서 정규분포와 같아집니다. 이 때 표본평균 표집의 모표준편차는 다음식과 같습니다.

 

$\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$

 

다음과 같이 $(\bar X – \mu_X)$를 오차(Error)라 한다면 $\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$는 오차$(\bar X – \mu_X)$의 표준오차(Standard Error)입니다.

 

${\rm SE} (\bar X – \mu_X)=\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$

 

표준오차인 ${\rm SE} (\bar X – \mu_X)$는 확률변수 $\bar X$가 나타내는 확률분포(표집분포)의 표준편차와 같습니다. 즉,  $\bar X$의 확률분포가 $\sigma_X$를 중심으로 하는 종모양의 확률밀도함수로 나타난다는 것이고 그 분포값은 $\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$가 됩니다.

 

$${\rm SE} (\bar X – \mu_X)=\sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$$

 

확률변수$\bar X$를 다음과 같이 표준화 하면 표준정규분포를 이루는 확률변수 $Z$가 됩니다. 또 모르는 모표준편차값  $\sigma_X$를 표본의 확률변수인 표본표준편차($S_X$)로 대치하면 확률변수 $t$가 됩니다.  이 떄 확률변수 $t$는 모수인 자유도에 따른 확률분포를 가집니다. 여기서 자유도는 표본의 크기에서 1을 뺀 값입니다. 반면, 확률변수 $Z$는 평균이 1이고 분산이 1인 표준정규분포를 나타냅니다. 

 

$\dfrac{(\bar X – \mu_X)}{\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}→Z$

 

$\dfrac{(\bar X – \mu_X)}{\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}}→t$

 

여기서,  확률변수 $t$는 표본크기($n$)에 따라 다른 확률분포를 가지는 $t$분포를 나타냄


실습

아래의 구글시트 실습을 누르시면, 본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 실습에 대한 설명은 AI 강의로 보실 수 있습니다.

구글시트 사용법 크롬 설치


<구글시트 함수>

=FACT(A3) : 숫자의 계승. A3에 있는 숫자의 계승을 계산함. 예를 들어, A3에 있는 숫자가 2이면, 2×1(2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함. A3에 있는 숫자가 3이면, 3×2×1(3곱하기2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함.

=POWER(C3,B3) : 거듭제곱. C3의 값을 B3의 값만큼 거듭제곱한 값을 계산해서 표시함.

=SQRT(D3) : 제곱근. D3에 있는 값의 제곱근을 계산해서 표시함.

=COUNTIF(J3:J10,L3) : 범위에서 조건에 맞는 개수. J3에서 J10에서 L3의 값을 가진 데이터의 개수를 표시함. $표시를 알파벳 앞뒤로 넣으면, 셀을 복사해도 그 값이 바뀌지 않음.

=AVERAGE(R3:S3) : 평균. R3에서 S3에 있는 데이터의 평균을 계산해서 표시함.

=VARP(R3:S3) : 모분산. R3에서 S3에 있는 데이터의 모분산을 계산해서 표시함. 편차제곱합을 데이터의 개수로 나눠서 구함.

=VAR.S(R3:S3) : 표본분산. R3에서 S3에 있는 데이터의 표본분산을 계산해서 표시함. 편차제곱합을 (데이터의 개수-1)로 나눠서 구함.

=STDEV.P(J3:J10) : 모표준편차. J3에서 J10에 있는 데이터의 모표준편차. 모분산의 제곱근.

=STDEV.S(R3:S3) : 표본표준편차. R3에서 S3에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=SUM(AF3:AF9) : 합계. AF3에서 AF9에 있는 데이터의 합계.

=NORM.DIST(AF3,0,1,FALSE) : 정규분포 확률밀도. 평균 0, 표준편차 1, 표준정규분포에서 AF3가 확률변수일때의 확률밀도를 계산해서 표시함. FALSE를 TRUE로 변경하면 누적확률밀도를 계산해서 표시.

=T.DIST(AK3,1,FALSE) : t분포 확률밀도. 자유도가 1인 t분포에서 Ak3가 확률변수일때의 확률밀도를 계산해서 표시함. FALSE를 TRUE로 변경하면 누적확률밀도를 계산해서 표시.



<실습강의 내용>

이항분포

이항분포에서 실현된 집단

집단으로부터 가능한 모든 표본

표본평균들의 분포

Z변환과 t변환

Z분포와 t분포