대비와 요인배치법
1.1. 애니메이션 제목
1. 애니메이션
애니메이션 제목
2. 설명
2.1. 대비(Contrast)
모평균의 대비의 예를 들면, 전체 모집단에 4개의 범주(category, 수준. level)이 있을 때 네번째 범주의 모평균과 1, 2, 3범주의 모평균의 평균과 같은지 비교해 보고자 할 때 아래와 같이 가설을 세울 수 있습니다.
$$H_0:\dfrac{\mu_1+\mu_2+\mu_3}{3}=\mu_4$$
그리고 각 범주의 모평균들의 선형함수식은 다음과 같이 표현한다면
$$L=C_1\mu_1+C_2\mu_2+C_3\mu_3+C_4\mu_4$$
각각의 모평균에 각각의 계수를 곱하여 더할 때 계수들의 합이 $0$이면 이러한 모평균들의 선형함수, $L$을 대비된 함수라고 합니다.
$$\sum_{i=1}^{4}C_i=0$$
위의 가설을 다음과 같은 선형함수로 표현할 수 있습니다.
$$L=\dfrac{1}{3}\mu_1+\dfrac{1}{3}\mu_2+\dfrac{1}{3}\mu_3-\mu_4$$
선형함수의 계수인 $C_i$는 다음과 같이 표현됩니다.
$$C_1=\dfrac{1}{3},C_2=\dfrac{1}{3},C_3=\dfrac{1}{3},C_4=-1$$
다음식을 만족하므로 선형함수식은 대비되어 있습니다.
$$\sum_{i=1}^{4}C_i=0$$
선형함수의 $L$의 변동
$\mu_i$ 대신에 추정값인 $\bar{x}_i$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$L=\sum_{i=1}^{a}C_i\bar{x}_i$$
계수의 변동($\theta$)을 $C_i^2$의 합이라 하면 다음과 같습니다.
$$\theta=\sum_{i=1}^{4}C_i^2$$
새로운 확률변수 $S_L$은 자유도가 1인 카이제곱분포를 따릅니다.
$$S_L=\dfrac{L^2}{\theta} \sim \chi_{1}^2$$
귀무가설
$$H_0:L = 0$$
대립가설
$$H_1:L \neq 0$$
검정통계량
$$F_0=\dfrac{S_L}{MS_E}$$
새로운 확률변수 F는 분자의 자유도가 1이고 분모의 자유도는 오차항의 자유도($dfE$)를 갖는 F분포를 따릅니다.
$$F=\dfrac{S_L}{MS_E} \sim F_{1,df_E}$$
직교대비
한 대비(contrast)를 표현하면
$$L_1=C_1\mu_1+C_2\mu_2+C_3\mu_3+C_4\mu_4$$
또 다른 대비를 표현하면
$$L_2=d_1\mu_1+d_2\mu_2+d_3\mu_3+d_4\mu_4$$
각각의 대응되는 계수들의 곱, $C_i*d_i$를 다 합해서 0이 되면 $L_1$과 $L_2$는 직교대비라고 합니다.
$$\sum_{i=1}^{4}C_id_i=0$$
2.2. 요인배치법
요인배치법은 대비의 개념을 활용합니다. 요인배치법을 통해 최소의 실험을 통해 최대의 효과를 얻을 수 있습니다. 원인변수(설명변수, 인자, factor)의 수가 많을 때는 다원배치를 사용하는데 실험을 반복하는 경우에는 실험 횟수가 상당히 많아집니다. 이런 경우 요인배치법을 사용하여 실험의 횟수를 줄입니다. 인자의 수준수를 2개로 제한하는 경우를 “2수준계 요인배치법”이라 하고, 인자의 수준수를 3개로 제한하는 경우는 3수준계 요인배치치법이라고 합니다.
$2^2$ 요인실험
밑의 숫자, 2는 인자의 수준수이며, 지수의 수, 2는 인자의 수입니다. 실제로 실험에 적용하는 실험조건은 여러가지 인데 ${A_0}{B_0}$를 한 실험조건이라 하면 ${A_1}{B_0}, \cdots , {A_1}{B_1}$가 또 다른 각각의 실험조건입니다. 이를 아래와 같이 표기합니다.
$$A_0B_0 \rightarrow (1)$$
$$A_1B_0 \rightarrow a$$
$$A_0B_1 \rightarrow b$$
$$A_1B_1 \rightarrow ab$$
$A$인자의 효과는 $A$효과의 높은 수준에서의 평균값에서 낮은 수준에서의 평균값을 뺸 값이라 볼 수 있습니다. 이 때 $B$인자는 영향을 주지 않게 되므로 이 값을 $A$의 주효과 (A main effect)라 합니다.
$A$인자의 효과$ =\dfrac{ab+a}{2}-\dfrac{b+(1)}{2}$
마찬가지로 $B$인자의 효과는 $B$효과의 높은 수준에서의 평균값에서 낮은 수준에서의 평균값을 뺸 값이라 볼 수 있습니다. 이 때 $A$인자는 영향을 주지 않게 되므로 이 값을 $B$인자의 주효과 (B main effect) 라 합니다.
$B$인자의 효과$ =\dfrac{ab+b}{2}-\dfrac{a+(1)}{2}$
$A$와 $B$가 서로 영향을 주는 효과는 다음과 같습니다. $A$와 $B$가 같은 수준일 때의 평균에서 $A$가 B가 서로 다른 수준일 때의 평균을 뺀 값입니다.
$AB$교호작용 $=\dfrac{ab + (1)}{2}-\dfrac{a+b}{2}$
실험조건의 평균을 다음과 같이 표현하면
$$\mu_{(1)},\mu_a,\mu_b,\mu_{ab}$$
대비를 나타내는 선형함수식으로 모평균들을 표현하면 다음과 같습니다.
.$$C_1\mu_{(1)}+C_2\mu_a+C_3\mu_b+C_4\mu_{ab}$$
$A$의 주효과는 아래와 같고 계수를 모두 더한 값이 0이므로 대비입니다.
$A$의 주효과 $=\dfrac{ab+a}{2}-\dfrac{b+(1)}{2}=\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{2}(1)=\dfrac{1}{2}(a+ab-b-(1))$
$B$의 주효과는 아래와 같고 계수를 모두 더한 값이 0이므로 대비입니다.
$B$의 주효과 $=\dfrac{ab+b}{2}-\dfrac{a+(1)}{2}=\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{b}{2}-\dfrac{1}{2}(1)=\dfrac{1}{2}(ab+a-b-(1))$
$AB$ 교호작용도 아래와 같고 대비임을 알 수 있습니다.
$AB$의 교호작용 $=\dfrac{ab+(1)}{2}-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}(1)-\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{2}(b)=\dfrac{1}{2}(ab+(1)-a-b))$
$A$와$B$의 직교대비를 알기 위해 다음과 같이 계산하면 계산합이 0이 됨으로 $A$와 $B$는 직교대비입니다.
(1)의 계산은 $-\dfrac{1}{2}\cdot -\dfrac{1}{2}$
a의 계산은 $\dfrac{1}{2}\cdot -\dfrac{1}{2}$
b의 계산은 $-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}$
ab의 계산은 $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}$
위와 같이 계산하면 $A$인자, $B$인자의 주효과와 $AB$의 교호작용도 서로 직교대비입니다.
$A$의 주효과 $\bot$ $B$의 주효과 $\bot$ $AB$의 교호작용
정리하면, $A$의 주효과는 다음과 같습니다.
$$A=\dfrac{1}{2}(a+ab-b-(1))$$
$A$의 주효과의 제곱이 $A$의 주효과의 변동($S_{L_A}$)입니다.
$$S_{L_A}=A^2=\dfrac{1}{4}(a+ab-b-(1))^2$$
대비의 총변동{$S_L}은
$$S_L=\dfrac{L^2}{\sum\limits_{i=1}^{n} C_i^2}$$
귀무가설
$$H_0:L=0$$
대립가설
$$H_1:L \neq 0$$
검정통계량
$$F_0=\dfrac{S_L}{MS_E} \sim F_{1,df_E}$$
$2^3$ 요인배치법
원인변수(설명변수, 인자, factor)의 수가 3개이고 각 인자의 수준수가 2개인 경우입니다. 요인은 인자수×수준수로 6개가 됩니다.
2.3. 설명강의
– 준비 중
3. 실습
3.2. 함수
=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.
3.3. 실습강의
– 실습강의 목차
