M30-51 일원분산분석의 자료구조와 기호

일원분산분석의 자료구조와 기호

인자 관측값 평균
수준 1 $\begin{array}{cccc}{{Y}_{11}}&{{Y}_{12}}&{\cdots}&{{Y}_{1{n}_{1}}}\end{array}$ ${\bar{Y}}_{{1}\cdot}$
수준 2 $\begin{array}{cccc}{{Y}_{21}}&{{Y}_{22}}&{\cdots}&{{Y}_{2{n}_{1}}}\end{array}$ ${\bar{Y}}_{{2}\cdot}$
수준 $k$ $\begin{array}{cccc}{{Y}_{k1}}&{{Y}_{k2}}&{\cdots}&{{Y}_{k{n}_{1}}}\end{array}$ ${\bar{Y}}_{{k}\cdot}$

 

M30-52 일원분산분석을 위한 통계모형

일원분산분석을 위한 통계모형

${{Y}_{ij}{=}{\mu}_{i}{+}{\varepsilon}_{ij}}\\{{=}\mu{+}{\alpha}_{i}{+}{\varepsilon}_{ij}{,}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{i}{=}{1}{,}{2}{,}\cdots{,}{k}\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}{j}{=}{1}{,}{2}{,}\cdots{,}{n}_{i}}$
 

M30-53 일원분산분석의 분산분석표

일원분산분석의 분산분석표

요인 제곱합 자유도 평균제곱 $F$값
처리 ${\mathrm{SSTr}}$ ${k}-{1}$ ${\mathrm{MSTr}}={\mathrm{SSTr}}/(k-1)$ $F_{0}={\mathrm{MSTr/MSE}}$
오차 ${\mathrm{SSE}}$ ${n-k}$ ${\mathrm{MSE}}={\mathrm{SSE}}/{n-k}$
전체 ${\mathrm{SST}}$ ${n-1}$

${\mathrm{SST}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{{n}_{i}}{{(}{Y}_{ij}{-}{\bar{Y}}_{\cdot\cdot}{)}^{2}}}$ :

${\mathrm{SSTr}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{{n}_{i}}{{(}{\overline{Y}}_{{i}\cdot}{-}{\bar{Y}}_{\cdot\cdot}{)}^{2}}}$ :

${\mathrm{SSE}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{{n}_{i}}{{(}{Y}_{ij}{-}{\bar{Y}}_{{i}\cdot}{)}^{2}}}$ :

$F_{0}={{MSTr}\over{MSE}}={{SSTr/(k-1)}\over{SSE/(n-k)}}$


 

M30-54 일원분산분석에서의 $F$검정

일원분산분석에서의 $F$검정

귀무가설 ${H}_{0}\hspace{0.33em}{:}\hspace{0.33em}{\mathit{\alpha}}_{1}{=}{\mathit{\alpha}}_{2}{=}\cdots{=}{\mathit{\alpha}}_{k}{=}{0}$ 대립가설 $H_{1}$ : 적어도 한 $\alpha_{1}$ 는 0 이 아니다. 검정통계량: $F_{0}=\frac{\mathrm{MSTr}}{\mathrm{MSE}}$ 기각역: $F_{0}>F_{k-1,n-k;\alpha{}}$ 이면 $H_{0}$ 를 기각 ${\mathrm{HSD}}_{ij}=q_{k,n-k;\alpha{}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{n}_{i}+\frac{1}{n}_{j})\mathrm{MSE}}$
 

M30-55 확률화블록계획법 통계적 모형

확률화블록계획법 통계적 모형

$Y_{ij}=\mu{+}\alpha_{i}+B_{j}+\epsilon_{ij}$ $i=1,2,\cdots,k$ $j=1,2,\cdots,b$

$Y_{ij}-{\bar{Y}}_{..}=(Y_{ij}-{\bar{Y}}_{i.}-{barY}_{.j}+{\bar{Y}}_{..})+({\bar{Y}}_{i.}-{\bar{Y}}_{..})+({barY}_{.j}-{\bar{Y}}_{..})$

  ${\mathrm{SST}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{b}{{(}{Y}_{ij}{-}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}}$         : 총제곱합, 자유도 $bk-1$ ${\mathrm{SSE}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{b}{{(}{Y}_{ij}{-}{\bar{Y}}_{i.}{-}{\bar{Y}}_{.j}{+}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}} $     : 오차제곱합,자유도 $(b-1)(k-1)$ ${{\mathrm{SSTr}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{b}{{(}{\bar{Y}}_{{i}\cdot}{-}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}}}\\{{=}{b}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{(}{\bar{Y}}_{i.}{-}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}$              : 처리제곱합, 자유도 $k-1$ ${{\mathrm{SSB}}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{b}{{(}{\bar{Y}}_{.j}{-}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}}}\\{{=}{k}\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{b}{(}{=\bar{Y}}_{.j}{-}{\bar{Y}}_{..}{)}^{2}}$              : 블록제곱합, 자유도 $b-1$
 

M30-58 확률화블록계획법의 분산분석표

확률화블록계획법의 분산분석표

요인 제곱합 자유도 평균제곱합 $F$값
처리 $\mathrm{SSTr}$ $k-1$ $\mathrm{MSTr}=\mathrm{SSTr}/(k-1)$ $F_{0}=\mathrm{MSTr/MSE}$
블록 $\mathrm{SSB}$ $b-1$ $\mathrm{MSB}=\mathrm{SSB}/(b-1)$
오차 $\mathrm{SSE}$ $(b-1)(k-1)$ $\mathrm{MSE}=\mathrm{SSE}/(b-1)(k-1)$
전체 $\mathrm{SST}$ $bk-1$

 

M30-59 이원분산분석 통계모형

이원분산분석 통계모형

$Y_{ijk}=\mu{+}\alpha_{i}+\beta_{j}+\gamma_{ij}+\epsilon_{ijk},i=1,2,\cdots,a;j=1,2,\cdots,b;k=1,2,\cdots,r$ $mu$ : 총평균 $\alpha_{i}$ : A의 $i$번째 수준의 효과 $\beta_{j}$ : B의 $j$번째 수준의 효과 $\gamma_{ij}$ : A의 $i$번째 수준과 B의 $j$번째 수준과의 교호작용효과 $\epsilon_{ijk}$ : 오차항으로 서로 독립이며 N(0,$sigma^2$)을 따른다.

${\mathrm{SST}}=\sum\limits_{i=1}\limits^{a}\sum\limits_{j=1}\limits^{b}\sum\limits_{k=1}\limits^{r}(Y_{ijk}-{\bar{Y}}_{...})^2$ : 총제곱합, 자유도 $n-1$ ${\mathrm{SSA}}=br\sum\limits_{i=1}\limits^{a}({\bar{Y}}_{i..}-{\bar{Y}}_{...})^2$ : 인자 A의 처리제곱합, 자유도 $a-1$ ${\mathrm{SSB}}=ar\sum\limits_{j=1}\limits^{b}({\bar{Y}}_{.j.}-{\bar{Y}}_{...})^2$ : 인자 B의 처리제곱합, 자유도 $b-1$ ${\mathrm{SSAB}}=r\sum\limits_{i=1}\limits^{a}\sum\limits_{j=1}\limits^{b}({\bar{Y}}_{ij.}-{\bar{Y}}_{i..}-{\bar{Y}}_{.j.}+{\bar{Y}}_{...})^2$ : 인자 A와 B의 교호작용효과를 나타내는 제곱합, 자유도 $(a-1)(b-1)$ (9-24) ${\mathrm{SSE}}=\sum\limits_{i=1}\limits^{a}\sum\limits_{j=1}\limits^{b}\sum\limits_{k=1}\limits^{r}(Y_{ijk}-{\bar{Y}}_{ij.})^2$ : 오차제곱합, 자유도 $n-ab$


 

M30-60 이원분산분석 통계모형

이원분산분석 통계모형

제곱합과 자유도의 분할 제곱합: ${\mathrm{SST}}{=}{\mathrm{SSA}}{+}{\mathrm{SSB}}{+}{\mathrm{SSAB}}{+}{\mathrm{SSE}}$ 자유도: ${(}{n}{-}{1}{)}{=}{(}{a}{-}{1}{)}{+}{(}{b}{-}{1}{)}{+}{(}{a}{-}{1}{)(}{b}{-}{1}{)}{+}{(}{n}{-}{ab}{)}$
 

M30-41 이원분산분석에서의 분산분석표

이원분산분석에서의 분산분석표

요인 제곱합 자유도 평균제곱 F값
인자 A $\mathrm{SSA}$ $a-1$ $\mathrm{MSA}={\mathrm{SSA}}/(a-1)$ $F_{1}={\mathrm{MSA}}/{\mathrm{MSE}}$
인자 B $\mathrm{SSB}$ $b-1$ $\mathrm{MSB}={\mathrm{SSB}}/(b-1)$ $F_{2}={\mathrm{MSB}}/{\mathrm{MSE}}$
교호작용 $\mathrm{SSAB}$ $(a-1)(b-1)$ $\mathrm{MSAB}={\mathrm{SSAB}}/((a-1)(b-1))$ $F_{3}={\mathrm{MSAB}}/{\mathrm{MSE}}$
오차 $\mathrm{SSE}$ $n-ab$ $\mathrm{MSE}={\mathrm{SSE}}/(n-ab)$
전체 $\mathrm{SST}$ $n-1$

 

M30-61 교호작용효과에 대한 $F$ 검정

M30-61 교호작용효과에 대한 $F$ 검정

$H_{0}:\gamma_{ij}=0,i=1,2,\cdots,a;j=1,2,\cdots,b$ $F_{3}=\mathrm{MSAB/MSE}$가 $F_{(a-1)(b-1),n-ab;\alpha{}}$보다 크면 귀무가설 $H_{0}$를 기각 (9-29)
 

M30-62 인자 A의 주효과에 대한 $F$ 검정

인자 A의 주효과에 대한 $F$ 검정

$H_{0}:\alpha_{1}=\alpha_{2}=cdots=\alpha_{a}=0$ $F_{1}=\mathrm{MSA/MSE}$가 $F_{(a-1),n-ab;\alpha{}}$ 보다 크면 $H_{0}$를 기각
 

M30-63 인자 B의 주효과에 대한 $F$ 검정

인자 B의 주효과에 대한 $F$ 검정

$H_{0}:\beta_{1}=\beta_{2}=cdots=\beta_{b}=0$ $F_{2}=\mathrm{MSB/MSE}$가 $F_{b-1,n-ab;\alpha{}}$ 보다 크면 $H_{0}$를 기각
 

M30-64 중앙값의 부호검정

중앙값의 부호검정

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $n_{+}='+{\rm 부호의}\ {\rm 갯수}'$
1) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$ $H_{1}\ :\ M> M_{0}$ $n_{+}> B{\left({n,0.5}\right)}_{\alpha}$이면  $H_{0}$기각
2)$H_{0}\ :\ M=M_{0}$ $H_{1}\ :\ M< M_{0}$ $n_{+}< B{\left({n,0.5}\right)}_{1-\alpha}$이면  $H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$ $H_{1}\ :\ M\ne M_{0}$ $n_{+}< B{\left({n,0.5}\right)}_{1-\alpha /2}$이면 $H_{0}$기각 또는 $n_{+}> B{\left({n,0.5}\right)}_{\alpha /2}$이면  $H_{0}$기각

 

M30-65 중앙값의 부호검정 (대표본의 경우)

중앙값의 부호검정 (대표본의 경우)

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $n_{+}='+{\rm 부호의}\ {\rm 갯수}'$
1) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M> M_{0}$ ${{n_{+}-0.5n}\over{\sqrt{0.25n}}}> z_{\alpha}$이면 $H_{0}$기각
2) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M< M_{0}$ ${{n_{+}-0.5n}\over{\sqrt{0.25n}}}<-z_{\alpha}$이면 $H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M\ne M_{0}$ $\left|{{{n_{+}-0.5n}\over{\sqrt{0.25n}}}}\right|> z_{\alpha /2}$이면 $H_{0}$기각
관측값 중에 ${\bf M}_{{\bf 0}}$와 동일한 값이 있으면? 만약 관측값 중에 $M_{0}$와 동일한 값이 있으면 그 관측값은 검정에서 사용하지 않는다. 즉, $n$을 감소시킨다.
 

M30-66 부호순위합검정 모형

부호순위합검정 모형

$X_{i}=M_{0}+\varepsilon_{i}$, $i=1,2,\cdots ,n$(10-1)
 

M30-67 중앙값의 윌콕슨 부호순위합검정

중앙값의 윌콕슨 부호순위합검정

가설의 종류 선택기준검정통계량 $R_{+}=\left|{x_{i}-M_{0}}\right|$순위의 $+$부호 데이터의 순위합
1) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M{>} M_{0}$ $R_{+}{>} w_{+}{\left({n}\right)}_{\alpha}$이면 $H_{0}$ 기각
2) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M{<} M_{0}$ $R_{+}{<} w_{+}{\left({n}\right)}_{1-\alpha}$이면 $H_{0}$ 기각
3) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M\ne M_{0}$ $R_{+}{<} w_{+}{\left({n}\right)}_{1-\alpha /2}$이면 $H_{0}$기각 또는 $R_{+}{>} w_{+}{\left({n}\right)}_{\alpha /2}$이면  $H_{0}$기각

$E(R_{+})={{n(n+1)}\over{4}}$ .  (10-2)

$V(R_{+})={{n(n+1)(2n+1)}\over{24}}$  (10-3)


 

M30-68 중앙값의 윌콕슨 부호순위합검정 (대표본의 경우)

중앙값의 윌콕슨 부호순위합검정 (대표본의 경우)

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $R_{+}=\left|{x_{i}-M_{0}}\right|$순위의 $+$부호 데이터의 순위합
1) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M{>} M_{0}$ ${{R_{+}-E\left({R_{+}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{+}}\right)}}}{>} z_{\alpha}$이면 $H_{0}$기각
2) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M{<} M_{0}$ ${{R_{+}-E\left({R_{+}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{+}}\right)}}}{<}-z_{\alpha}$이면 $H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M=M_{0}$$H_{1}\ :\ M\ne M_{0}$ $\left|{{{R_{+}-E\left({R_{+}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{+}}\right)}}}}\right|{>} z_{\alpha /2}$이면 $H_{0}$ 기각
순위 $R_{+}$의 가능한 순위
1 2 3
$-$ $-$ $-$ 0
$+$ $-$ $-$ 1
$-$ $+$ $-$ 2
$-$ $-$ $+$ 3
$+$ $+$ $-$ 3
$+$ $-$ $+$ 4
$-$ $+$ $+$ 5
$+$ $+$ $+$ 6
$R_{+}=x$ 0 1 2 3 4 5 6
$P(R_{+}=x)$ ${{1}\over{8}}$ ${{1}\over{8}}$ ${{1}\over{8}}$ ${{2}\over{8}}$ ${{1}\over{8}}$ ${{1}\over{8}}$ ${{1}\over{8}}$

$V(R_{+})={{1}\over{24}}[n(n+1)(2n+1)-{{1}\over{2}}\sum\limits_{j=1}^{g}{t_{j}(t_{j}-1)(t_{j}+1)]}$ (10-4)

$g=\left({{\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 수}}\right)$

$t_{j}=(j\ {\rm 번째}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 크기,}\ {\rm 즉,}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹에}\ {\rm 포함된}\ {\rm 관측값의}\ {\rm 개수})$


 

M30-69 순위합검정 기본 모형

순위합검정 기본 모형

$X_{i}=M_{1}+\varepsilon_{i}$, $i=1,2,\cdots ,n_{1}$ (10-5)

$Y_{j}=M_{1}+\Delta+\varepsilon_{j}$, $j=1,2,\cdots ,n_{2}$, $M_{2}=M_{1}+\Delta$ (10-6)


 

M30-70 윌콕슨 순위합검정

윌콕슨 순위합검정

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $R_{2}='Y{\rm 표본에}\ {\rm 부여한}\ {\rm 순위합}'$
1) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$ $H_{1}\ :\ M_{1}{>} M_{2}$ $R_{2}{>} w_{2}{\left({n_{1},n_{2}}\right)}_{\alpha}$이면$H_{0}$기각
2) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$$H_{1}\ :\ M_{1}{<}M_{2}$ $R_{2}{<} w_{2}{\left({n_{1},n_{2}}\right)}_{1-\alpha}$이면$H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$$H_{1}\ :\ M_{1}\ne M_{2}$ $R_{2}{<} w_{2}{\left({n_{1},n_{2}}\right)}_{1-\alpha /2}$이면  $H_{0}$기각 또는 $R_{2}{>} w_{2}{\left({n_{1},n_{2}}\right)}_{\alpha /2}$이면$H_{0}$기각

$E(R_{2})={{n_{2}\left({n_{1}+n_{2}+1}\right)}\over{2}}$(10-7)

$V(R_{2})={{n_{1}n_{2}\left({n_{1}+n_{2}+1}\right)}\over{12}}$ (10-8)


 

M30-71 윌콕슨 순위합검정 (대표본의 경우)

윌콕슨 순위합검정 (대표본의 경우)

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $R_{2}='Y{\rm 표본에}\ {\rm 부여한}\ {\rm 순위합}'$
1) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$$H_{1}\ :\ M_{1}{>} M_{2}$ ${{R_{2}-E\left({R_{2}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{2}}\right)}}}{>} z_{\alpha}$이면$H_{0}$기각
2) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$$H_{1}\ :\ M_{1}{<} M_{2}$ ${{R_{2}-E\left({R_{2}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{2}}\right)}}}{<}-z_{\alpha}$이면$H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M_{1}=M_{2}$$H_{1}\ :\ M_{1}\ne M_{2}$ $\left|{{{R_{2}-E\left({R_{2}}\right)}\over{\sqrt{V\left({R_{2}}\right)}}}}\right|{>} z_{\alpha /2}$이면  $H_{0}$기각
혼합 표본 순위 $R_{2}$의 가능한 값
$X_{1}$ $X_{2}$ $X_{3}$ $Y_{1}$ $Y_{2}$
3 4 5 1 2 3
2 4 5 1 3 4
2 3 5 1 4 5
2 3 4 1 5 6
1 4 5 2 3 5
1 3 5 2 4 6
1 3 4 2 5 7
1 2 5 3 4 7
1 2 4 3 5 8
1 2 3 4 5 9
$R_{2}=x$ 3 4 5 6 7 8 9
$P\left({R_{2}=x}\right)$ ${{1}\over{10}}$ ${{1}\over{10}}$ ${{2}\over{10}}$ ${{2}\over{10}}$ ${{2}\over{10}}$ ${{1}\over{10}}$ ${{1}\over{10}}$

$V(R_{2})={{n_{1}n_{2}}\over{12}}\left[{n_{1}+n_{2}+1-{{\sum\limits_{j=1}^{g}{t_{j}\left({t_{j}-1}\right)\left({t_{j}+1}\right)}}\over{\left({n_{1}+n_{2}}\right)\left({n_{1}+n_{2}-1}\right)}}}\right]$(10-9)

$g=\left({{\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 수}}\right)$

$t_{j}=(j{\rm 번째}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 크기,}\ {\rm 즉,}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹에}\ {\rm 포함된}\ {\rm 관측값의}\ {\rm 개수})$


 

M30-72 대응비교를 위한 데이터와 통계량

대응비교를 위한 데이터와 통계량

모집단 1의 표본($x_{i1}$) 모집단 2의 표본($x_{i2}$) 차이 $d_{i}=x_{i1}-x_{i2}$
$x_{11}$ $x_{12}$ $d_{1}=x_{11}-x_{12}$
$x_{21}$ $x_{22}$ $d_{2}=x_{21}-x_{22}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$x_{n1}$ $x_{n2}$ $d_{n}=x_{n1}-x_{n2}$

 

M30-73 대응표본의 윌콕슨 부호순위합검정

대응표본의 윌콕슨 부호순위합검정

가설의 종류 선택기준 검정통계량 $R_{+}='\left|{d_{i}}\right|\ {\rm 순위에서}+{\rm 부호}\ {\rm 데이터의}\ {\rm 순위합}'$
1) $H_{0}\ :\ M_{d}=0$$H_{1}\ :\ M_{d}{>} 0$ $R_{+}{>} w_{+}{\left({n}\right)}_{\alpha}$이면  $H_{0}$기각
2) $H_{0}\ :\ M_{d}=0$$H_{1}\ :\ M_{d}{<} 0$ $R_{+}{<} w_{+}{\left({n}\right)}_{1-\alpha}$이면$H_{0}$기각
3) $H_{0}\ :\ M_{d}=0$$H_{1}\ :\ M_{d}\ne 0$ $R_{+}{<} w_{+}{\left({n}\right)}_{1-\alpha /2}$이면  $H_{0}$기각 또는 $R_{+}{>} w_{+}{\left({n}\right)}_{\alpha /2}$이면$H_{0}$기각

 

M30-74 각 수준별 확률표본에 대한 기호

각 수준별 확률표본에 대한 기호

수준 1 수준 2 $\cdots$ 수준
$X_{11}$ $X_{21}$ $\cdots$ $X_{k1}$
$X_{12}$ $X_{22}$ $\cdots$
$\cdots$ $\cdots$ $X_{k2}$
$X_{1n_{1}}$ $X_{2n_{2}}$ $X_{kn_{k}}$
수준 1 평균 수준 2 평균 $\cdots$ 수준  $k$평균 총평균
${\bar X}_{1\cdot}$ ${\bar X}_{2\cdot}$ ${\bar X}_{k\cdot}$ ${\bar X}_{\cdot\cdot}$

 

M30-75 크루스칼–왈리스 검정 기본 모형

크루스칼–왈리스 검정 기본 모형

$X_{ij}={\rm \mu}+{\rm \tau}_{i}+\varepsilon_{ij}$, $i=1,2,\cdots ,k$; $j=1,2,\cdots ,n_{i}$ 단, $\sum\limits_{i=1}^{k}{{\rm \tau}_{{\rm i}}}=0$  (10-10)

검정 귀무가설

$H_{0}\ :\ {\rm \tau}_{1}={\rm \tau}_{2}=\cdots={\rm \tau}_{k}=0$(10-11)

$H_{1}\ :\ {\rm 적어도}\ {\rm 하나의}\ {\rm \tau}_{i}{\rm 는}\ {\rm 0이}\ {\rm 아니다}$(10-12)

   

각 수준별 순위 데이터에 대한 기호

수준 1 수준 2 $\cdots$ 수준 $k$
$R_{11}$ $R_{21}$ $\cdots$ $R_{k1}$
$R_{12}$ $R_{22}$ $R_{k2}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$R_{1n_{1}}$ $R_{2n_{2}}$ $R_{kn_{k}}$
수준 1 합 수준 2 합 $\cdots$ 수준 합
$R_{1\cdot}$ $R_{2\cdot}$ $R_{k\cdot}$
수준 1 평균 수준 2 평균 $\cdots$ 수준 평균 총평균
${\bar R}_{1\cdot}$ ${\bar R}_{2\cdot}$ ${\bar R}_{k\cdot}$ ${\bar R}_{\cdot\cdot}=\left({n+1}\right)/2$

$SST=\sum\limits_{i=1}^{k}{\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}{(R_{ij}-{\bar R}_{\cdot\cdot})^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{(}k-{\bar R}_{\cdot\cdot})^{2}=n(n+1)(n-1)$ (10-13)

$SSTr=\sum\limits_{i=1}^{k}{\sum\limits_{j=1}^{n_{i}}{({\bar R}_{i\cdot}-{\bar R}_{\cdot\cdot})^{2}}}$(10-14)

$SST=SSTr+SSE$(10-15)

$F={{MSTr}\over{MSE}}={{{{SSTr}\over{k-1}}}\over{{{SSE}\over{n-k}}}}={{{{SSTr}\over{k-1}}}\over{{{SST-SSTr}\over{n-k}}}}={{{{n-k}\over{k-1}}}\over{{{SST}\over{SSTr}}-1}}$ (10-16)

$ {H={{12}\over{n(n+1)}}\sum\limits_{i=1}^{k}{n_{i}({\bar R}_{i\cdot}-{\bar R}_{\cdot\cdot})^{2}}}$

${={{12}\over{n(n+1)}}\sum\limits_{i=1}^{k}{R_{i\cdot}^{2}}-3(n+1)} $ (10-17)


 

M30-76 크루스칼-왈리스 검정

크루스칼-왈리스 검정

가설 선택기준 검정통계량 $H$
$H_{0}\ :\ \tau_{1}=\tau_{2}=\cdots=\tau_{k}=0$${H_{1}\ :\ {\rm 적어도}\ {\rm 하나의}\ \tau_{i}{\rm 는}\ {\rm 0이}\ {\rm 아니다}} $ $H>h(n_{1},\ n_{2},\ \cdots ,\ n_{k})_{\alpha}$이면 $H_{0}$기각

 

M30-77 크루스칼-왈리스 검정 – 대표본의 경우

크루스칼-왈리스 검정 – 대표본의 경우

가설 선택기준 검정통계량 $H$
$H_{0}\ :\ \tau_{1}=\tau_{2}=\cdots=\tau_{k}=0$$H_{1}\ :\ {\rm 적어도}\ {\rm 하나의}\ \tau_{i}{\rm 는}\ {\rm 0이}\ {\rm 아니다}$ $H>\chi_{k-1\ ;\ \alpha}^{2}$이면 $H_{0}$기각

$H'={{H}\over{1-\sum\limits_{j=1}^{g}{{{T_{j}}\over{n^{3}-n}}}}}$   (10-18)

$g=({\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 수})$

$T_{j}=\sum\limits_{j=1}^{g}{t_{j}}\left({t_{j}-1}\right)\left({t_{j}+1}\right)$

$t_{j}=(j{\rm 번째}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 크기,}\ {\rm 즉,}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹에}\ {\rm 포함된}\ {\rm 관측값의}\ {\rm 개수})$


 

M30-78 확률화블록계획법의 각 수준별 확률표본에 대한 기호

확률화블록계획법의 각 수준별 확률표본에 대한 기호

치리 블록 수준 1 수준 2 $\cdots$ 수준 $k$
1 $X_{11}$ $X_{21}$ $\cdots$ $X{}_{k1}$
2 $X_{12}$ $X_{22}$ $X{}_{k2}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$n$ $X_{1n}$ $X_{2n}$ $X{}_{kn}$
평균 ${\bar X}_{1\cdot}$ ${\bar X}_{2\cdot}$ $\cdots$ ${\bar X}_{k\cdot}$ ${\bar X}_{\cdot\cdot}$

 

M30-79 프리드만 검정 기본 모형

프리드만 검정 기본 모형

$X_{ij}={\rm \mu}+{\rm \tau}_{i}+{\rm \beta}_{j}+\varepsilon_{ij}$, $i=1,2,\cdots ,k$; $j=1,2,\cdots ,n$(10-19)

검정 귀무가설

$H_{0}\ :\ {\rm \tau}_{1}={\rm \tau}_{2}=\cdots={\rm \tau}_{k}=0$ (10-20)

$H_{1}\ :\ {\rm 적어도}\ {\rm 하나의}\ {\rm \tau}_{i}{\rm 는}\ {\rm 0이}\ {\rm 아니다}$ (10-21)

 

각 수준별 순위 데이터에 대한 기호

치리 블록 수준 1 수준 2 $\cdots$ 수준 $k$
1 $R_{11}$ $R_{21}$ $\cdots$ $R_{k1}$
2 $R_{12}$ $R_{22}$ $R_{k2}$
$\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$
$n$ $R_{1n}$ $R_{2n}$ $R_{kn}$
순위합 $R_{1\cdot}$ $R_{2\cdot}$ $\cdots$ $R_{k\cdot}$
평균순위 ${\bar R}_{1\cdot}$ ${\bar R}_{2\cdot}$ $\cdots$ ${\bar R}_{k\cdot}$ 총평균 ${\bar R}_{\cdot\cdot}=\left({k+1}\right)/2$

$SSTr=\sum\limits_{i=1}^{k}{n}({\bar R}_{i\cdot}-{\bar R}_{\cdot\cdot})^{2}$(10-22)

$SST=SSTr+SSE$(10-23)

$F={{MSTr}\over{MSE}}=c{{SSTr}\over{SST-SSTr-SSE}}$

$S={{12}\over{k(k+1)}}SSTr={{12n}\over{k(k+1)}}\sum\limits_{i=1}^{k}{{\left({{\bar R}_{i\cdot}-{\bar R}_{\cdot\cdot}}\right)}^{2}}$

$=12{{12}\over{nk(k+1)}}\sum\limits_{i=1}^{k}{R_{i\cdot}^{2}}-3n(k+1)$


 

M30-80 프리드만 검정

프리드만 검정

가설 선택기준 검정통계량 $S$
$H_{0}\ :\ \tau_{1}=\tau_{2}=\cdots=\tau_{k}=0$$H_{0}\ :\ \tau_{1}=\tau_{2}=\cdots=\tau_{k}=0$ $S>s{\left({k,\ n}\right)}_{\alpha}$이면$H_{0}$기각

 

M30-81 프리드만 검정 – 대표본의 경우

프리드만 검정 – 대표본의 경우

가설 선택기준검정통계량 $S$
$H_{0}\ :\ \tau_{1}=\tau_{2}=\cdots=\tau_{k}=0$$H_{1}\ :\ {\rm 적어도}\ {\rm 하나의}\ {\rm \tau}_{i}{\rm 는}\ {\rm 0이}\ {\rm 아니다}$ $S>\chi_{k-1\ ;\ \alpha}^{2}$이면  $H_{0}$기각

$S'={{S}\over{1-\sum\limits_{j=1}^{g}{{{T_{j}}\over{np(p^{2}-1)}}}}}$

$g=\left({{\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 수}}\right)$

$T_{j}=\sum\limits_{j=1}^{g}{t_{j}\left({t_{j}-1}\right)\left({t_{j}+1}\right)}$

$t_{j}=\left({j{\rm 번째}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹의}\ {\rm 크기,}\ {\rm 즉,}\ {\rm 동점}\ {\rm 그룹에}\ {\rm 포함된}\ {\rm 관측값의}\ {\rm 개수}}\right)$

$X$ ${x}_{1}{,}\hspace{0.33em}{x}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{x}_{k}$ 합계
${P}\left({{X}{=}{x}}\right)$ ${p}_{1}{,}\hspace{0.33em}{p}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{p}_{k}$ 1

 

M30-82 카이제곱 검정통계량 검정

카이제곱 검정통계량 검정

‘$\chi_{obs}^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}>\chi_{k-m-1;\alpha{}}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각’

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\frac{{(}{O}_{i}{-}{E}_{i}{)}^{2}}{{E}_{i}}}>{\chi}_{{k}{-}{m}{-}{1}{;}\alpha}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각
 

M30-83 두 이산형 변량의 $r imes c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호
변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $P_{11}$ $P_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{1c}$ $P_{21}$ $P_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $P_{r1}$ $P_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $P_{rc}$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $P_{r\cdot}$
열의 합 $p_{\cdot 1}$ $p_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $p_{\cdot c}$ 1

 

M30-84 $r imes c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호
관찰도수 변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $O_{11}$ $O_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{1c}$ $O_{21}$ $O_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $O_{r1}$ $O_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $O_{rc} $T_{1\cdot}$ $T_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $T_{r\cdot}$
열의 합 $T_{\cdot 1}$ $T_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $T_{\cdot c}$ $n$

$E_{ij}=n(\frac{T_{i·}}{n})(\frac{T_{·j}}{n})=T_{i·}(\frac{T_{·j}}{n})$


 

M30-85 교차표 기대도수 기호

교차표 기대도수 기호

기대도수 변량 $B$
$E_{ij}$ $B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$$A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $E_{11}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{12}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{1c}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$$E_{21}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{22}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{2c}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $E_{r1}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{r2}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{rc}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$

$\sum_{i=1^r}\sum_{j=1^c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}$

‘$\chi_{obs}^2=\sum_{i=1^r}\sum_{j=1}^c\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}>\chi_{(r-1)(c-1);\alpha{}}^2$이면 $H_{0}$ 기각'

선택기준 ${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$ 이면 $H_{0}$기각

$\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}$

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$이면 기각


 

M30-100 카이제곱 검정통계량 검정

카이제곱 검정통계량 검정

‘$\chi_{obs}^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}>\chi_{k-m-1;\alpha{}}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각’

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\frac{{(}{O}_{i}{-}{E}_{i}{)}^{2}}{{E}_{i}}}>{\chi}_{{k}{-}{m}{-}{1}{;}\alpha}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각
 

M30-101 두 이산형 변량의 $r imes c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호
변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $P_{11}$ $P_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{1c}$ $P_{21}$ $P_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $P_{r1}$ $P_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $P_{rc}$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $P_{r\cdot}$
열의 합 $p_{\cdot 1}$ $p_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $p_{\cdot c}$ 1

 

M30-103 $r imes c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호
관찰도수 변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $O_{11}$ $O_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{1c}$ $O_{21}$ $O_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $O_{r1}$ $O_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $O_{rc} $T_{1\cdot}$ $T_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $T_{r\cdot}$
열의 합 $T_{\cdot 1}$ $T_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $T_{\cdot c}$ $n$

$E_{ij}=n(\frac{T_{i·}}{n})(\frac{T_{·j}}{n})=T_{i·}(\frac{T_{·j}}{n})$


 

M30-104 교차표 기대도수 기호

교차표 기대도수 기호

기대도수 변량 $B$
$E_{ij}$ $B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$$A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $E_{11}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{12}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{1c}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$$E_{21}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{22}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{2c}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $E_{r1}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{r2}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{rc}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$

$\sum_{i=1^r}\sum_{j=1^c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}$

‘$\chi_{obs}^2=\sum_{i=1^r}\sum_{j=1}^c\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}>\chi_{(r-1)(c-1);\alpha{}}^2$이면 $H_{0}$ 기각'

선택기준 ${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$ 이면 $H_{0}$기각

$\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}$

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$이면 기각

$X$ ${x}_{1}{,}\hspace{0.33em}{x}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{x}_{k}$ 합계
${P}\left({{X}{=}{x}}\right)$ ${p}_{1}{,}\hspace{0.33em}{p}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{p}_{k}$ 1

 

M30-106 카이제곱 검정통계량 검정

카이제곱 검정통계량 검정

‘$\chi_{obs}^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}>\chi_{k-m-1;\alpha{}}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각’

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\frac{{(}{O}_{i}{-}{E}_{i}{)}^{2}}{{E}_{i}}}>{\chi}_{{k}{-}{m}{-}{1}{;}\alpha}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각
 

M30-107 두 이산형 변량의 $r imes c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호
변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $P_{11}$ $P_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{1c}$ $P_{21}$ $P_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $P_{r1}$ $P_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $P_{rc}$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $P_{r\cdot}$
열의 합 $p_{\cdot 1}$ $p_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $p_{\cdot c}$ 1

 

M30-108 $r imes c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호
관찰도수 변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $O_{11}$ $O_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{1c}$ $O_{21}$ $O_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $O_{r1}$ $O_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $O_{rc} $T_{1\cdot}$ $T_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $T_{r\cdot}$
열의 합 $T_{\cdot 1}$ $T_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $T_{\cdot c}$ $n$

$E_{ij}=n(\frac{T_{i·}}{n})(\frac{T_{·j}}{n})=T_{i·}(\frac{T_{·j}}{n})$


 

M30-109 교차표 기대도수 기호

교차표 기대도수 기호

기대도수 변량 $B$
$E_{ij}$ $B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$$A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $E_{11}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{12}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{1c}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$$E_{21}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{22}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{2c}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $E_{r1}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{r2}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{rc}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$

$\sum_{i=1^r}\sum_{j=1^c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}$

‘$\chi_{obs}^2=\sum_{i=1^r}\sum_{j=1}^c\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}>\chi_{(r-1)(c-1);\alpha{}}^2$이면 $H_{0}$ 기각'

선택기준 ${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$ 이면 $H_{0}$기각

$\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}$

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$이면 기각

$X$ ${x}_{1}{,}\hspace{0.33em}{x}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{x}_{k}$ 합계
${P}\left({{X}{=}{x}}\right)$ ${p}_{1}{,}\hspace{0.33em}{p}_{2}{,}\cdots{,}\hspace{0.33em}{p}_{k}$ 1

 

M30-110 카이제곱 검정통계량 검정

카이제곱 검정통계량 검정

‘$\chi_{obs}^{2}=\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}>\chi_{k-m-1;\alpha{}}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각’

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{k}{\frac{{(}{O}_{i}{-}{E}_{i}{)}^{2}}{{E}_{i}}}>{\chi}_{{k}{-}{m}{-}{1}{;}\alpha}^{2}$ 이면 $H_{0}$ 기각
 

M30-111 두 이산형 변량의 $r imes c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호

두 이산형 변량의 $r\times c$ 교차표 확률 기호
변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $P_{11}$ $P_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{1c}$ $P_{21}$ $P_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $P_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $P_{r1}$ $P_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $P_{rc}$ $P_{1\cdot}$ $P_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $P_{r\cdot}$
열의 합 $p_{\cdot 1}$ $p_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $p_{\cdot c}$ 1

 

M30-112 $r imes c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

$r\times c$ 교차표 관찰도수 $O_{ij}$기호

관찰도수 변량 $B$ 행의 합
$B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$ $A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $O_{11}$ $O_{12}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{1c}$ $O_{21}$ $O_{22}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $O_{2c}$ $\cdots$ $\cdots$ $\cdots$ $O_{r1}$ $O_{r2}$ $\cdot \cdot \cdot   \cdot$ $O_{rc} $T_{1\cdot}$ $T_{2\cdot}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $T_{r\cdot}$
열의 합 $T_{\cdot 1}$ $T_{\cdot 2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $T_{\cdot c}$ $n$

$E_{ij}=n(\frac{T_{i·}}{n})(\frac{T_{·j}}{n})=T_{i·}(\frac{T_{·j}}{n})$


 

M30-113 교차표 기대도수 기호

교차표 기대도수 기호

기대도수 변량 $B$
$E_{ij}$ $B_{1}$ $B_{2}$ $\cdot \cdot \cdot \cdot$ $B_{c}$
변량 $A$ $A_{1}$$A_{2}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $A_{r}$ $E_{11}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{12}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{1c}=T_{1\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$$E_{21}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{22}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{2c}=T_{2\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$ $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ $E_{r1}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 1}}\over{n}} E_{r2}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot 2}}\over{n}} \cdot \cdot \cdot \cdot E_{rc}=T_{r\cdot}{{T_{\cdot c}}\over{n}}$

$\sum_{i=1^r}\sum_{j=1^c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}$

‘$\chi_{obs}^2=\sum_{i=1^r}\sum_{j=1}^c\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}E_{ij}>\chi_{(r-1)(c-1);\alpha{}}^2$이면 $H_{0}$ 기각'

선택기준 ${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$ 이면 $H_{0}$기각

$\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}$

${\chi}_{obs}^{2}{=}\mathop{\sum}\limits_{{i}{=}{1}}\limits^{r}{\mathop{\sum}\limits_{{j}{=}{1}}\limits^{c}{\frac{{\left({{O}_{ij}{-}{E}_{ij}}\right)}^{2}}{{E}_{ij}}}}{>}{\chi}_{\left({{r}{-}{1}}\right)\left({{c}{-}{1}}\right)\hspace{0.33em}{;}\hspace{0.33em}\mathit{\alpha}}^{2}$이면 기각