확률실험 ?
Random Experiment ?
1.1. 애니메이션 제목
1. 애니메이션
주사위 두개를 던져서 합을 구하는 확률실험과 히스토그램
2. 설명
2.1. 확률실험(Random Experiment)
확률실험은 동일한 조건으로 실험을 반복하더라도 그 실험의 결과가 임의의 형태로 나타나는 특징을 갖는 실험입니다. 따라서 확률실험의 결과는 결과와 그에 따른 확률로 표현하게 됩니다. 예를 들면, 동전 던지기, 주사위 굴리기, 갈톤보드실험, 키와 몸무게 관측 등이 있습니다.
표본공간(Sample Space)
표본공간은 확률실험의 모든 발생 가능한 결과들의 집합입니다. 주로 대문자 “S”로 표기합니다. 동전 던지기, 주사위, 키 관측의 확률실험에 대한 표본공간($S$)은 다음과 같습니다.
동전 던지기 확률실험의 결과인 표본공간
$$S=\{H,T\}$$
주사위 굴리기 확률실험의 결과인 표본공간
$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$
성인남성 키 관측 확률실험의 결과인 표본공간
$$S=\{x:110 \leq x \leq 190 (cm)\}$$
사건(事件, 사상, 事象, Event)
사건은 확률실험에서 관심이 있는 실험결과들만의 집합입니다. 따라서, 사건은 표본공간의 부분집합입니다. 사건의 표기는 대문자 알파벳(A, B, C, …)으로 합니다. 확률실험과 표본공간과 사건의 예는 다음과 같습니다.
주사위 던지기 확률실험의 결과인 표본공간
$$S =\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
주사위 던지기 확률실험의 결과가 짝수인 사건
$$A=\{2, 4, 6\}$$
주사위 던지기 확률실험의 결과가 홀수인 사건
$$B=\{1, 3, 5\}$$
주사위 던지기 확률실험의 결과가 4 이상인 사건
$$C=\{4, 5, 6\}$$
2.2. 집합의 연산으로 사건을 표현
사건은 사건의 결과의 집합으로 표현할 수 있습니다. 그리고 집합의 연산으로도 사건을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
합사건(合事件, Sum event)
사건 A와 B의 합집합($A \cup B$)으로 표현합니다. U는 union에서 따온 철자입니다. 다시말하면, 합사건은 사건A 또는 사건 B의 결과인 원소들의 집합으로 표현됩니다. 이때 사건 A에도 있고 사건 B에도 있는 원소는 한 번만 기입합니다.
$$A \cup B$$
곱사건(Product event)
사건 A와 B의 교집합($A \cap B$)으로 표현합니다. A Interaction B 또는 A and B 라고도 표기하며 간단하게는 AB 라고 표기합니다. 곱사건은 사건 A의 결과이고 사건 B의 결과이기도 한 원소들의 집합으로 표현합니다.
$$A \cap B$$
여사건(餘事件, Complementary event)
사건 C의 여사건은 사건 C의 여집합 ($C^{\prime}$)으로 표현합니다. 표본공간에서 사건 C의 원소만 제외한 원소들로 표현합니다.
$$C^{\prime}$$
공사건(空事件, Empty event)
어떤 결과도 없는 사건은 공집합을 나타내는 기호인 $\phi$(파이)로 표기합니다. 공집합은 원소가 없는 집합입니다.
공집합과 “0”을 원소로 가지는 집합인 {0}은 다르므로 반드시 구별하여야 합니다.
$$\phi$$
전사건(全事件, Total event)
전사건은 확률실험에서 일어날 수 있는 모든 사건입니다. 예를 들면 ‘자연수를 임의로 골랐을 때 홀수 또는 짝수가 나올 사건’ 입니다. 전사건이 일어날 확률은 1이며, 전사건의 여사건은 공사건입니다. 전체집합으로 표현됩니다.
영사건(零事件, Null event)
사건결과가 있지만 일어날 확률이 0인 사건입니다. 영사건의 예로는 무작위로 선택되는 $0 \leq x \leq 1$인 임의의 실수 $x$가 무엇인지 맞추는 사건, 실수 전체에서 유리수를 뽑는 사건 등이 있습니다. 확률밀도함수에서 특정 실수 확률변수값에의 확률이 0인 것과 같은 예입니다. 영사건은 공사건과 같아 보이지만 공사건은 영사건의 부분집합입니다. 즉, 공사건은 영사건이지만 영사건이라고 해서 반드시 공사건이 되는 것은 아닙니다.
배반사건(排反事件, Exclusive event)
두 개의 사건이 동시에 일어날 수 없으면 그 두 사건은 서로 배반사건입니다.배반사건들은 한 사건이 일어날 때 다른 사건이 절대 일어나지 않는 관계입니다. 서로 “직교(orthogonal)” 또는 “서로 소”라고도 표현합니다.
2.3. 사건간의 관계
표본공간의 부분집합으로 여러개의 사건이 있을 때 그 사건들간에는 상호 배타관계, 포괄관계, 표본공간을 분할하는 관계 등이 있습니다.
상호배타(Mutually Exclusive)관계
두 집합의 교집합이 공집합이면 이 두 집합은 상호 배타적인 관계라고 합니다.
$$A \cap B=\phi$$
둘 이상의 대상 사이에서 각각 상호 베타적인(Exclusive)인 경우입니다. 예를 들어, 한 사건의 뱔생이 다른 사건들의 발생을 차단한다면 그 사건들은 상호 배타적입니다.
상호포괄(Collectively Exhaustive) 관계
사건 A와 사건 B의 합집합이 표본공간이면 상호포괄관계입니다.
$$A \cup B=S$$
표본공간을 분할(Partition)하는 관계
여러 개의 사건이 상호배반(背反)관계와 동시에 상호포괄관계를 갖는 경우입니다.
3. 실습
3.2. 함수
=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.
3.3. 실습강의
– 실습강의 목차
4. 참조
4.1 용어
표본공간(sample space)
확률이론에서 무작위 실험의 표본공간 (표본표현공간, 이벤트공간 또는 가능성공간이라고도 함)은 실험의 가능한 모든 결과 또는 결과의 집합입니다. 표본공간은 일반적으로 집합 표기법을 사용하여 표시되며 가능한 결과가 집합의 요소로 나열됩니다. 표본공간을 S, Ω 또는 U레이블로 나타내는 것이 일반적입니다 (일반적인 집합의 경우).
예를 들어, 실험에서 동전을 던지면 표본공간은 일반적으로 집합기호로 표시되며 {앞면, 뒷면}입니다. 두 개의 동전을 던지기에 대응하는 표본공간은 {(앞면, 앞면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 앞면), (뒷면, 뒷면)} 또는 일반적으로 기호를 사용하여 {HH, HT, TH, TT}로 표현됩니다. 표본공간에서 순서를 무시하면 {(앞면, 뒷면), (앞면, 뒷면), (뒷면, 뒷면)}이됩니다. 하나의 6 면체 주사위를 던지기에 대응하는 일반적인 표본공간은 {1, 2, 3, 4, 5, 6}입니다(주사위 던지기 시행의 결과인 사건은 주사위의 위로 향한 면에 적혀있는 수입니다). 잘 정의된 표본공간은 확률모델(확률공간)의 세 가지 기본 요소 중 하나입니다. 다른 두 가지는 가능한 시행(event : $\sigma$대수)과 각 시행의 결과(사건)에 할당된 확률(확률측정함수 : 확률질량함수 또는 확률밀도함수)입니다.