변수가 만드는 움직임 (개체의 분포)

2.1. 자유도 degree of freedom

개체의 자유도

개체가 1개의 변수를 가지고 있다면 변수가 만드는 1차원 좌표계에서 개체의 움직임(개체의 출현도 움직임의 일종)을 표현할 수 있습니다. 따라서, 개체가 1개의 변수를 가지고 있다면 한 축에서 움직일 수 있기 때문에 이 개체는 자유도가 1인 개체라고 할 수 있습니다. 예를 들면 개체가 2개의 변수를 가지고 있다면 두 변수가 만드는 2차원 직교좌표계에서 개체의 확률질량은 자유도가 2라고 할 수 있습니다. 개체는 집단을 이루는 원소라고도 하고 요소(element)라고도 합니다.

집단의 자유도

집단을 이루는 개체가 서로 독립이고 개체가 1개의 변수를 가진다면 집단의 자유도는 집단을 이루는 개체의 개수가 됩니다. 즉, 독립인 개체의 변수가 집단이 표현되는 좌표계의 직교축을 만듭니다. 집단에는 모집단과 표본집단이 있습니다. 표본집단은 줄여서 표본이라고 합니다.

범주의 자유도

집단은 범주로 이루어 질 수 있습니다. 즉, 집단을 이루는 개체가 범주에 속할 수 있습니다. 개체의 특정 범주(cateogry, 수준, level)로의 출현(개체의 움직임의 일종)확률은 범주의 확률질량으로 표현됩니다. 따라서 범주의 자유도는 그 범주의 확률질량의 자유도라고 할 수 있습니다. 

2.2. 좌표계 coordinate system

개체좌표계

개체의 출현(개체의 출현도 움직임의 일종)을 표현할 수 있는 좌표계를 정해 봅니다. 이 좌표계를 개체좌표계라고 부릅니다. 한편, 개체좌표계는 개체가 가지는 변수가 정한다고 볼 수 있습니다. 간단한 예를 들면, 개체가 3개의 변수를 가지고 있다고 한다면 개체의 좌표계는 3개의 축을 가진 3차원 좌표계로 표현할 수 있습니다.

집단좌표계

집단은 개체가 모여서 만들어 집니다. 개체가 서로 독립이라면 서로 독립적으로 움직인다고 할 수 있습니다. 집단의 움직임(개체의 출현으로 나타나는 개체의 분포)을 표현할 수 있는 좌표계를 정해봅니다. 이 좌표계를 집단좌표계라 부릅니다. 따라서 집단좌표계는 집단을 이루는 개체의 변수가 정한다고 볼 수 있습니다. 간단한 예를 들면 개체가 1개의 변수를 가지고 있고 서로 독립이면 집단의 움직임을 표현할 수 있는 좌표계 축의 수는 개체의 수와 같게 됩니다.

절대좌표계

개체좌표계의 원점은 개체가 가지는 변수가 모두 0이 되는 점입니다. 따라서 개체가 모여서 만들어진 집단좌표계의 원점은 개체좌표계의 원점이 만들게 됩니다. 만일 집단을 표본집단과 모집단으로 구분한다면 모집단의 원점이 고정된다면 표본집단의 원점은 관측이 될때 정해지므로 고정되어 있지 않습니다. 그리고 모집단안에 범주가 있어서 모집단에서 표본집단을 추출하거나 표본집단이 생성될 때 범주가 집단안에 나타난다면 범주에 속해 있는 개체의 표현은 개체좌표계와 집단좌표계의 원점의 상대위치가 결정되어야 가능합니다. 여기서 절대좌표계를 도입해 볼 수 있습니다. 개체가 절대좌표계에 출현한다고 생각해 보면 절대좌표계의 원점은 개체의 변수가 모두 0이 되는 점을 의미합니다. 여기서 중요한 것은 세 좌표계의 원점의 상대 거리 즉, 위치가 존재한다면 절대좌표계에서 표현할 수 있다는 것입니다.

2.3. 개체의 자유도

개체가 가지는 변수의 값은 변합니다. 즉, 움직입니다. 따라서, 개체를 하나의 확률질량으로 보았을 때, 즉, 강체로 보았을 때 개체강체의 확률질량의 자유도는 1입니다. 개체를 이루는 변수의 자유도는 변수의 개수($k$)가 됩니다.  

개체의 자유도는 개체를 구성하는 변수의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 개체의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 개체에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

개체를 이루는 변수의 자유도 = 개체의 자유도 + 개체강체의 자유도

$$k=\text{개체의 자유도} + 1$$

여기서, $k$는 개체가 가지는 변수의 개수

2.4. 모집단의 자유도

모집단의 모평균은 표본의 입장에서는 움직이지 않는 상수입니다. 따라서, 모집단을 하나의 확률질량으로 보았을 때, 즉, 강체로 보았을 때 모집단강체(모평균)의 자유도는 0입니다. 그리고 모집단을 이루는 개체의 자유도는 모집단크기($N$)입니다.  

모집단의 자유도는 모집단을 구성하는 갳의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 모집단을 구성하는 독립적인 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 모집단의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 이 때 개체는 같은 확률질랑을 가집니다. 모집단에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

모집단을 이루는 개체의 자유도 = 모집단 자유도 + 모집단강체의 자유도

$$N=\text{모집단의 자유도} + 0$$

여기서,  $N$은 모집단크기 : 모집단을 이루는 개체의 개수

2.5. 표본의 자유도

표본은 표본을 이루는 개체의 개수만 고정되고 개체가 가지는 변수가 변하는 모델이라고 볼 수 있습니다. 따라서 표본의 표본평균은 움직입니다. 표본을 하나의 강체로 보았을 때 표본강체(표본평균)의 자유도는 1입니다. 그리고 표본을 이루는 개체의 자유도는 표본크기($n$)가 됩니다.  

표본의 자유도는 표본을 구성하는 개체의 움직임(출현)을 규정한다고 할 수 있습니다. 다르게 말하면 표본을 구성하는 독립적인 개체가 가지는 변수가 만든 좌표계에서 표본의 움직임의 자유도를 표현한다고 할 수 있습니다. 이 때 개체는 같은 확률질량을 가집니다. 표본에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다

표본을 이루는 개체의 자유도 = 표본의 자유도 + 표본강체의 자유도

$$n=\text{표본의 자유도} + 1$$

여기서, $n$은 표본크기 : 표본을 이루는 개체의 개수

2.6. 범주(category)가 있는 표본의 자유도

표본강체와 각 범주강체의 자유도는 1입니다. 여기서 범주강체는 각 범주의 확률질량이라고 할 수 있습니다. 개체의 확률질량과 달리 각 범주의 확률질량은 다를 수 있습니다. 모집단에서의 표본추출이나 표본생성에서 표본이 반드시 출현한다면 표본의 확률질량을 1이라고 할 수 있습니다. 따라서 표본을 이루는 각 범주의 확률질량의 합은 1이 됩니다. 그리고 범주의 자유도는 $k-1$이 됩니다. 따라서 범주가 있는 표본의 자유도는  $n-k$입니다. 범주가 있는 표본에 대한 자유도 등식은 다음과 같습니다.

표본을 이루는 개체의 자유도 = 범주가 있는 표본의 자유도 + 범주의 자유도 + 표본강체의 자유도

$$n=(n-k)+(k-1)+1$$

여기서, $k$는 범주의 개수

$n$은 표본크기 : 표본을 이루는 개체의 개수

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

통계적 매개변수(statistical parameter or population parameter)

통계적 매개변수(statistical parameter), 혹은 모집단 매개변수(population parameter)는 통계량(statistic)이나 확률변수(random variable)의 확률분포(probability distribution)에 사용되는 변수입니다. 이들은 통계적 모집단(statistical population)이나 통계적 모델(statistical model)의 수치적 특성으로 볼 수 있습니다.

색인된 분포 계열( indexed family of distributions)이 있다고 가정합니다. 색인이 계열 구성원의 매개변수이면 이 계열은 매개변수화된 계열입니다. 예를 들어,  chi-squared 분포의 계열은 자유도에 의해 색인될 수 있습니다. 자유도의 값은 분포의 매개변수이므로 chi-squared 분포의 계열은 매개변수화 된 것입니다.

Reference

Statistical parameter – Wikipedia

4.2. 참고문헌

https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom