표본분산을 모집단의 분산이라고 말할 수 있나

표본분산이 포함된 표본통계량


자유도가 1에서 100으로 증가할 때 카이제곱분포의 변화


모집단의 분산과 표본분산의 비가 어느 구간사이에 있다고 표현할 수 있습니다.

모집단이 정규분포를 가지면 모집단의 분산과 표본분산의 비는 카이제곱이라는 확률분포를 가집니다.

또한 카이제곱확률분포는 표본의 크기에 관계된 자유도에 따라 정해집니다.

표본분산과 표본의 크기를 구하고 몇 % 신뢰할 것인지를 정하면 모집단의 분산이 위치하는 구간을 추정할 수 있습니다.


카이제곱분포 (chi-squared distribution)
정규분포를 따르는 모집단(평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$)에서 크기가 n인 표본을 무작위로 반복하여 추출하였을 때, 표본들의 평균은 정규분포를 나타내고 분산($S^2$)을 가집니다.
 
 
이때 다음과 같이 정의된 확률변수는 자유도 (n-1)인 카이제곱분포를 따릅니다.
 
 
χn12=n1S2σ2\chi_{n-1}^{2}={\dfrac{\left({n-1}\right)S^{2}}{\sigma^{2}}}
 
 
카이제곱 분포의 특성

항상 확률변수는 양의 값을 가지며, 비대칭(오른쪽으로 긴 꼬리)적인 분포모양을 가집니다.
모수인 자유도에 따라 분포의 모양이 변하는데, 자유도가 커질수록 정규분포에 가까워집니다.

 
카이제곱분포를 사용한 카이제곱검정의 적용
모분산에 대한 추정과 검정
관측된 빈도수가 이론상의 분포 또는 형태를 얼마나 잘 따르는 지에 대한 검증
여러 집단 사이의 독립성 검정 (한 특성이 다른 특성에 영향을 미치는 가에 대한 검정)
 
 
 

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