4 × 4 교차표 : 이산확률분포

2.1. 교차표의 적용 예

교차표(cross table)은  두 확률변수의 확률분포를 나타내기 위해서 사용합니다. 참고로 한 확률변수의 확률분포를 나타내는 것은 도수분포표입니다.  대응된 두 변수의 데이터로 교차표(cross table)를 만듭니다. 

위 애니메이션에서  표본을 이루는 개체는 딸기품종 중에서 설이고 개체가 가지는 확률변수는 과중과 당도입니다. 그리고 20개의 표본크기를 가지고 있습니다. 연속형 확률변수를 구간화하여 범주형 확률변수로 만듭니다. 여기서는 등간격으로  5구간과 4구간으로 나누었습니다. 만일 , 두 변수가 범주형 확률변수인 경우에는 구간을 나눌 필요가 없이 바로 교차표를 만들 수 있습니다. 교차표가 만드는 각 칸(cell)에는 빈도수가 들어갑니다. 빈도수가 높은 칸은 개체가 나타날 확률이 높은 구간입니다. 구간의 수를 정할 때 확률분포의 모양이 잘 나타나도록 하는 것이 중요합니다. 구간의 수는 데이터의 개수와 데이터의 범위를 함께 고려하여 정합니다. 

두 확률변수의 확률분포는 교차표의  주변에 표시합니다.교차표의 주변에 표시한다고 하여 이 확률분포를 주변확률분포(marginal probability distribution)라 합니다. 두 확률변수의  관계를 나타내는 빈도수 분포는 교차표 안에 나타납니다. 빈도수가 클수록 진하게 표시하여 분포를 시각화하여 보았습니다. 대응된 두 확률변수의 분포를 보여준다고 하여 결합확률분포(joint probability distribution)라고 합니다. 결합확률분포는 주변확률분포를 반영하고 동시에 두 확률변수의  상관을 보여줍니다. 상관에는 대표적으로 선형상관이 있습니다.

2.2. 교차표

데이터로 교차표(cross table or contingency table)를 만듭니다. 두 개의 확률변수를 분류(categorize)하여 집단을 만들고 각 집단에 속하는 데이터의 빈도수를 확률변수가 교차하여 만들어진 칸(cell)에 나타냅니다. 교차표는 두 확률변수의  관계를 나타내는 표라고 할 수 있습니다. 교차표는 서로 다른 두 확률변수의 도수분포표를 2차원으로 확장하여 도수분포표의 구간이 교차하는 칸(cell)을 만들어서 빈도수를 적은 것입니다. 간단하게  2차원 도수분포표라고  할 수 있습니다.  연속형 데이터의 경우 도수분포표를 만들 때와 같이 구간을 나누어 빈도수를 조사한 다음 교차표를 만듭니다.

두 변수가 범주형 확률변수일때 교차표의 쓰임새는 여러가지 검정에 사용할 수 있습니다. 이 때 교차표는 한 변수의 속성(범주형 확률변수값, 수준)을 행에 놓고 나머지 변수의 속성(범주형 확률변수값, 수준)을 열에 놓아 셀(Cell)을 만듭니다. 행변수의 속성과 열변수의 속성이 교차하는 셀(cell)에  두 속성을 동시에 가지는 데이터의 빈도수를 넣습니다. 교차표를 작성하여 도수분포를 살펴보면 대략 두 변수 사이의 관계를 알 수 있습니다.  분석을 위해 각 셀의 빈도수 밑에 행의 합에 대한 백분율, 열의 합에 대한 백분율, 그리고 전체 백분율을 표시하기도 합니다.