표본평균을 모집단의 평균이라고 말할 수 있을까?

 두 모집단의 확률분포와 추출한 표본들의 평균의 확률분포

모집단의 평균이 표본평균을 중심으로 어느 구간사이에 있다고 표현할 수 있습니다.

반대로 표본평균은 모집단의 평균을 중심으로 어느 구간사이에 있다고 표현할 수 있습니다.

위의 두 경우 모두, 모집단의 확률분포를 알고 몇 % 신뢰하는지를 정할 때 가능합니다.

모집단의 확률분포가 정규분포라고 가정한다면 모집단 표준편차를 알면 가능합니다.

모집단의 평균을 추정하기 위해서는 표본을 추출해서, 표본평균과 표본표준편차를 구합니다.

모집단으로부터 랜덤하게 뽑은 표본 1개로부터 표본평균과 표준편차를 구해서 표본평균들의 분포를 추정합니다.

이떄 표본평균들의 분포의 표준편차는 모집단의 표준편차를 표본의 크기의 제곱근으로 나눈 값으로 줄어듭니다. 그래서 표본평균의 분포는 모집단의 분포보다 더 뽀쪽해 집니다.

여기서 신뢰도를 정한다면 표본평균을 중심으로 모집단 평균이 어느 구간에 위치하는지를 나타낼 수 있습니다. 이 구간을 신뢰구간이라고 표현하는데, 일반적으로 95%, 99% 신뢰구간을 많이 사용합니다.

표본평균($\bar{X}$) 구간추정, 신뢰구간은 95%로 정함– 모평균($\mu$)과 모표준편차($\sigma$)와 표본크기(n)을 아는 경우

${P}{(}\mu{-}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}\leq\mu{+}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}{)}{=}{0}{.}{95}$

 

모평균($\mu$) 구간추정, 신뢰구간은 95%로 정함– 모표준편차($\sigma$)를 알고 표본크기(n)와 표본평균($\bar{X}$)을 측정

${P}{(}\bar{X}{-}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}{+}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}{)}{=}{0}{.}{95}$


 

모평균의 95%($\alpha=0.05$) 신뢰구간(confidence interval)

$\left[{\bar{X}{-}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}{,}\hspace{0.33em}\bar{X}{+}{1}{.}{96}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right]$

$P(-z_{\alpha /2}<{{\bar X-\mu}\over{\sigma /\sqrt{n}}}<z_{\alpha /2})=P(-z_{\alpha /2}<Z<z_{\alpha /2})=1-\alpha$

${P}{(}\mu{-}{z}_{\alpha{/}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\bar{X}\leq\mu{+}{z}_{\alpha{/}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}{)}{=}{1}{-}\mathit{\alpha}$


 

모평균($\mu$) 구간추정 신뢰구간은 100(1-$\alpha$)%로 정함- 모집단이 정규분포이고 모분산을 아는 경우

$\left[{\bar{X}{-}{z}_{\mathit{\alpha}{/}{2}}\dfrac{\mathit{\sigma}}{\sqrt{n}}{,}\hspace{0.33em}\bar{X}{+}{z}_{\mathit{\alpha}{/}{2}}\dfrac{\mathit{\sigma}}{\sqrt{n}}}\right]$