회전단위 원주율 pi(π)

1. 애니메이션

1.1. 회전단위 원주율


2. 설명

2.1. 회전단위 원주율


3. 실습

3.1. 구글시트

3.2. 구글시트 함수

3.3. 실습강의


4. 용어와 수식

4.1. 용어


1. 애니메이션



회전단위 원주율 파이(pi, π)


2. 설명

2.1 회전단위 원주율

원의 둘레(원주)와 지름의 비는 항상 일정합니다. 즉, 상수입니다. 그 상수를  π(파이)라 합니다. 십진법으로 쓰면 3.141592..인 무리수입니다. 즉, 숫자로는 표현할 수 없는 수입니다. 원둘레의 길이는 지름의 3배에서 4배사이라고 고대부터 알고 있었습니다. 따라서 수레가 사용된 시대부터는 길이를 재는 용도 등으로 폭넓게 사용되었습니다.

 

원주율 π

π=lr\pi=\dfrac{l}{r}

여기서,  $l$은 원의 둘레

$r$은 원의 반지름

지름 1인 원이

1회전동안 진행한 길이

π = 3.14159…

 

반지름 1인 원이

1회전동안 진행한 길이

2π=6.28318…

 

이 상수는 회전단위인 각도를 표시할 때 사용됩니다. 1 radian(라디안)은 반지름과 호(각도가 나타내는 원의 둘레)의 길이가 같을 때의 각도 입니다. 그래서 한 회전의 각도(360도)는 2π로 표현됩니다. 여기서 radian은 반복의 단위인 주파수에서도 사용됩니다. 예를 들면, 1초동안 몇 번 반복하는가 입니다. 1초동안 1번 제자리로 돌아오면 1Hz(헤르츠)입니다.  이 때 1Hz는 2π/sec로 생각할 수 있습니다.

 

애니메이션에서 길이가 2π인 직선과 원의 둘레(원주) 2π는 값은 같습니다. 그렇지만 원의 둘레를 펴는 과정에서 길이를 이루는 모든 점의 회전각을 모두 더하면 한 회전이 됩니다. 즉, 길이를 이루는 점들은 제자리에서 크기는 변하지 않은 채 조금씩 회전을 한 셈입니다.

 

원주율을 원의 반지름과 원의 둘레의 비로 정의하고 각도를 나타낼 때 사용한다면 360진법으로 나타내는 360°각도와 원주율로 나타내는 각도의 차이는 분명합니다. 원주율의 비로 각도를 나타내면 회전수도 나타낼 수 있고 각도의 증감도 표시할 수 있습니다. 더나아가 각속도와 각가속도도 표현할 수 있습니다. 여기서 원주율로 원운동을 표현하려면  반지름이 존재함을 전제로 합니다. 따라서 방향만 변화하는 경우에는 다른 표현방법이 필요합니다. 그리고 확률에서는 점으로 표현되는 개체(object)의 출현시기를 점의 방향으로 결정하는 모형을 만들기도 합니다. 반면, 통계에서는 점으로 표현되는 개체의 관측시기를 점의 방향으로 나타내기도 합니다.


3. 실습

3.1. 구글시트

회원의 데이터링크 계정으로 구글시트가 복사됩니다.



3.2. 구글시트 함수

=PI() : 파이(pi) 값. 소수점 이하 14자리까지의 파이(pi)값을 표시.

=RADIANS(180/100) : 360도 중 도 단위를 라디안으로 변환. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환.

=SIN(RADIANS(180/100)) : 라디안으로 입력된 각도의 사인. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환 후, 사인값을 표시.

=SUM(C:C) : 합계. C열에 있는 모든 데이터의 합계를 표시.

=SQRT(6*SUM(C:C)) : 제곱근. C열에 있는 모든 데이터를 더한 값에 6을 곱한 후, 제곱근을 구함.


3.3. 실습강의

파이(pi, π)

구글시트 함수로 파이 구하기

정사각형의 둘레로 파이 구하기

라이프니츠의 공식으로 파이 구하기

오일러의 곱셉 공식으로 파이 구하기

실습 안내



4. 용어와 수식

4.1 용어


원주율

숫자에서 무리수인 π(원주율, 파이로 읽음)는 원의 둘레($l$)와 지름($r$)의 비율인 수학 상수로 대략 $3.14159\cdots$와 같습니다. 무리수 π는 수학과 물리학 전반에 걸쳐 많은 공식에 나타납니다. 22/7과 같은 분수가 일반적으로 근사화하여 사용하지만 이는 무리수입니다. 즉, 두 정수의 비율로 정확하게 표현할 수 없습니다. 결과적으로 십진수로 표현할 때 자리수가 끝나지 않고 영구적으로 반복되는 패턴입니다. 원주율은 초월수로서 합, 곱, 거듭제곱, 정수만을 포함하는 방정식의 해가 될 수 없음을 의미합니다. π의 초월은 나침반과 직선자로 원을 제곱하는 고대의 과제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다. π의 십진수는 무작위로 분포된 것으로 보이지만 이 추측에 대한 증거는 발견되지 않았습니다.

 

수천 년 동안 수학자들은 π의 값을 높은 정확도로 계산함으로써 π에 대한 이해를 넓히려는 시도를 해왔습니다. 이집트와 바빌로니아를 포함한 고대 문명은 실제 계산을 위해 상당히 정확한 π의 근사값을 필요로 했습니다. 기원전 250년경에 그리스 수학자 아르키메데스는 임의의 정확도로 π를 근사하는 알고리즘을 만들었습니다. 서기 5세기에 중국 수학자들은 π를 7자리로 근사하였고 인도 수학자들은 기하학 기술을 사용하여 5자리의 근사값을 구했습니다. 무한 급수를 기반으로 하는 π에 대한 첫 번째 계산 공식은 천년 후에 발견되었습니다. 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내기 위해 그리스 문자인 π의 최초의 사용은 1706년 웨일스의 수학자 William Jones가 사용한 것으로 알려져 있습니다.

 

미적분학의 발전은 모든 실용적인 계산에 충분한 π의 수백 자리의 계산으로 이어졌습니다. 그럼에도 불구하고, 20세기와 21세기에 수학자와 컴퓨터 과학자들은 증가하는 계산 능력과 결합하여 π의 십진법 표현을 수조 자릿수로 확장하는 새로운 접근 방식을 찾았습니다. 이러한 시도는 급수를 계산하기 위한 효율적인 알고리즘의 개발과 자리수 기록을 깨려는 인간의 탐구에 의해 동기가 부여되었습니다. 슈퍼컴퓨터를 테스트하는 데에도 사용되었습니다.

 

원주율의 정의는 원과 관련이 있기 때문에 π는 삼각법 및 기하학의 많은 공식, 특히 원, 타원 및 구와 관련된 공식에서 발견됩니다. 또한, 우주론, 프랙탈, 열역학, 역학, 전자기학과 같은 과학의 여러주제의 공식에서도 발견됩니다. 현대의 수학적 분석에서는 기하학에 대한 참조 없이 대신 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 정수론이나 통계와 같이 기하학과 거의 관련이 없는 영역에서도 나타납니다. π의 넓은 효용성은 π를 과학 안팎에서 가장 널리 알려진 수학 상수 중 하나로 만듭니다. π에 관한 많은 책이 출판되었으며 최대기록의  π의 자릿수 계산은 종종 뉴스 헤드라인을 장식합니다.

 

Reference

Pi – Wikipedia