회전단위 원주율 파이(pi, π)

2.1. 회전단위 원주율

원주율($\pi$)

원주(원의 둘레, circumference)와 지름(diameter)의 비는 항상 일정합니다. 또한 원의 면적과 반지름(radius)의 제곱의 비도 항상 일정합니다. 그 비를 원주율이라고 부르며 상수입니다. 원주율은 그리스문자, $\pi$(pi)로 표기합니다. $\pi$는 무리수이며 십진법으로 표현하면, 정수인 3과 반복하지 않는 무한소수(無限小數, infinite decimal)인 0.141592..의 합입니다. 원주의 길이는 지름의 길이의 3배에서 4배사이라고 고대부터 알고 있었습니다. 이 지식은 수레바퀴의 회전수로 수레가 이동한 거리를 구할 때 사용하였습니다.

원주율($\pi$)은

$$\pi=\dfrac{l}{2r}$$

여기서,  $l$은 원주

$r$은 원의 반지름

원주($l$)는

$$l=2\pi r$$

여기서,  $l$은 원주

$\pi$는 원주율

$r$은 원의 반지름

지름 1인 원의 원주는 $\pi$이고 반지름이 1인 원의 원주는 $2\pi$입니다.

각도의 단위 : radian(라디안)

호(arc)는 원주(원의 둘레, circumference)의 일부분으로, 원주상의 두 점 사이 곡선입니다. 호는 원주상의 두 점과 원(circle)의 중심에 의해 정의됩니다. 이 두 점은 호의 끝점이라고 하며, 원의 중심에서 이 두 점을 잇는 선분들은 각도(angle)를 형성합니다. 호의 길이는 원의 반지름과 중심각(호를 둘러싸는 각도)에 의해 결정됩니다. radian은 호(원주의 부분, arc)를 반지름으로 표준화한 값이며 각도를 표현할 수 있습니다.

$$\text{radian}=\dfrac{a}{r}$$

여기서,  $a$은 호(arc)

$r$은 원의 반지름

1 radian은 호(각도가 차지하는 원주)와 반지름의 길이가 같을 때 값입니다. radian은 각도의 단위로 사용되며 rad로 표기합니다. 중심각이 라디안 단위로 주어진 경우, 호의 길이는 반지름과 중심각의 곱입니다. 예를 들어, 반지름이 $r$이고 중심각이 $\theta$ rad인 원의 호의 길이는 $r\cdot\theta$입니다. 원주를 이루는 모든 점의 회전각을 모두 더하면 한 회전이 됩니다. 그리고 호의 radian은 호를 이루는 점들의 회전의 적분값이라고 할 수 있습니다.

각속도의 단위

회전(rotation)은 점의 방향이 변하여 처음과 같은 방향으로 돌아오는 것을 말합니다. 한 회전의 각도는 2$\pi$ rad 입니다.

$$\text{1회전}=2\pi \mathrm{rad}$$

회전량의 단위는 각도의 단위와 같으며 1회전을 360진법으로 나타내는 degree(도)와 2$\pi$ 로 나타내는 radian이 있습니다. 360 degree는 2$\pi$ rad에 해당합니다. 회전속도(각속도)의 단위는 rad/sec입니다. $\pi$와 각도의 단위, radian은 회전의 속도인 주파수에 사용됩니다. 예를 들면, 1초 동안 한 번 회전하면 2$\pi$ rad/sec입니다. 한편, 1초 동안 1번 회전하면 1 Hz(헤르츠)입니다.  따라서 2$\pi$ rad/sec는 1Hz입니다.

2.2. 확률분포에서의 원주율($\pi$)

확률모델에서는 개체를 점(point)으로 표현합니다. 개체의 속성을 확률변수로 하여 생성되는 점의 위치를 확률변수값으로 모델링합니다. 그리고 속성이 출현하는 빈도의 비를 확률로 표현하는 데 그 위치에서의 회전속도로 모델링합니다. 개체의 속성이 이산적인 경우는 그 위치에서의 점의 회전속도를 확률질량으로 모델링하고 개체의 속성이 연속형인 경우에는 확률밀도로 모델링합니다. 다르게 표현하면 확률모델에서는 확률변수(위치)에서의 개체(object)의 출현주기의 비(확률질량비 또는 확률밀도 비)는 각 위치에서의 회전속도와 비례한다는 모델을 만들 수 있습니다. 한편, 통계모델에서는 개체를 표집(sampling)하는 주기(sampling frequency)가 개체가 생성되는 주기와 같다고 모델링할 수 있습니다.

원주로 표현되는 기하학적인 양

원형균등분포(circular uniform distribution)

총 확률질량 1을 원의 면적으로 모델링합니다. 평균은 원의 중심점의 위치입니다. 원형균등분포에서 각 점의 확률밀도는 원의 면적에 반비례합니다. 따라서 확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(r, \theta)=\dfrac{1}{\pi R^2}$$

여기서, $r$은 반지름이며 실수인 연속형 확률변수

$\theta$는 각도이며 실수인 연속형 확률변수

$R$은 반지름이며 실수인 주어진 값(상수)

지지집합(support)인 확률이 존재하는 구간은 $0 \leq R$ 이고 $0 \leq \theta \lt 2\pi$

분산이 1인 2차 원형균등분포(circular uniform distribution)

2차원 원형균등분포의 경우, 서로 독립인 $x$축(가로축)과 $y$축(세로축)에 대한 분산은 $\left(\dfrac{1}{2}r\right)^2$입니다. 따라서 분산이 1이 되려면 $r$은 2가 되어야 합니다. 확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(x, y)=\dfrac{1}{4\pi}$$

지지집합(support)인 확률이 존재하는 구간은 $x^2+y^2 \leq 2^2$을 만족하는 $(x, y)$ 

1차원 표준정규분포

1차원 표준정규분포에서 원주율($\pi$)은 확률밀도함수(probability density function, pdf)에서 정규화 요소 $\sqrt{2\pi}$에 포함되어 있습니다. 정규화요소는 확률밀도함수를 확률변수의 모든 실수에 대해 적분했을 때 그 결과가 1이 되도록 보장합니다. 1차원 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같습니다. 

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}​e^{-\frac{1}{2}x^2}$$

여기서, $x$는 확률변수

$e$는 자연상수

$\pi$는 원주율

2차원 표준정규분포

2차원 표준정규분포는 두 독립적인 1차원 표준정규분포의 곱으로 표현될 수 있습니다. 2차원 표준정규분포에서 원주율($\pi$)은 확률밀도함수(probability density function, pdf)에서 정규화 요소 ${2\pi}$에 포함되어 있습니다. 정규화요소는 확률밀도함수를 두 확률변수의 모든 실수에 대해 적분했을 때 그 결과가 1이 되도록 보장합니다. 2차원 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같습니다. 

$$f(x, y)=\dfrac{1}{2\pi}​e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}$$

여기서, $x$와 $y$는 서로 독립인 확률변수

$e$는 자연상수

$\pi$는 원주율

$x^2+y^2$은 $r^2$

3.2. 구글시트 함수

=PI() : 파이(pi) 값. 소수점 이하 14자리까지의 파이(pi)값을 표시.

=RADIANS(180/100) : 360도 중 도 단위를 라디안으로 변환. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환.

=SIN(RADIANS(180/100)) : 라디안으로 입력된 각도의 사인. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환 후, 사인값을 표시.

=SUM(C:C) : 합계. C열에 있는 모든 데이터의 합계를 표시.

=SQRT(6*SUM(C:C)) : 제곱근. C열에 있는 모든 데이터를 더한 값에 6을 곱한 후, 제곱근을 구함.

4.1 용어

원주율

숫자에서 무리수인 π(원주율, 파이로 읽음)는 원의 둘레($l$)와 지름($r$)의 비율인 수학 상수로 대략 $3.14159\cdots$와 같습니다. 무리수 π는 수학과 물리학 전반에 걸쳐 많은 공식에 나타납니다. 22/7과 같은 분수로 일반적으로 근사화하여 사용하지만 이는 무리수입니다. 즉, 두 정수의 비율로 정확하게 표현할 수 없습니다. 결과적으로 십진수로 표현할 때 자리수가 끝나지 않고 영구적으로 반복되는 패턴입니다. 원주율은 초월수로서 합, 곱, 거듭제곱, 정수만을 포함하는 방정식의 해가 될 수 없음을 의미합니다. π의 초월은 나침반과 직선자로 원을 제곱하는 고대의 과제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다. π의 십진수는 무작위로 분포된 것으로 보이지만 이 추측에 대한 증거는 아직 발견되지 않았습니다.

수천 년 동안 수학자들은 π의 값을 높은 정확도로 계산함으로써 π에 대한 이해를 넓히려는 시도를 해왔습니다. 이집트와 바빌로니아를 포함한 고대 문명은 실제 계산을 위해 상당히 정확한 π의 근사값을 필요로 했습니다. 기원전 250년경에 그리스 수학자 아르키메데스는 임의의 정확도로 π를 근사하는 알고리즘을 만들었습니다. 서기 5세기에 중국 수학자들은 π를 7자리로 근사하였고 인도 수학자들은 기하학 기술을 사용하여 5자리의 근사값을 구했습니다. 무한급수를 기반으로 하는 π에 대한 첫 번째 계산 공식은 천년 후에 발견되었습니다. 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내기 위해 그리스 문자인 π의 최초의 사용은 1706년 웨일스의 수학자 William Jones가 사용한 것으로 알려져 있습니다.

미적분학의 발전은 모든 실용적인 계산에 충분한 π의 수백 자리의 계산으로 이어졌습니다. 그럼에도 불구하고, 20세기와 21세기에 수학자와 컴퓨터 과학자들은 증가하는 계산 능력과 결합하여 π의 십진법 표현을 수조 자릿수로 확장하는 새로운 접근 방식을 찾았습니다. 이러한 시도는 급수를 계산하기 위한 효율적인 알고리즘의 개발과 자리수 기록을 깨려는 인간의 탐구에 의해 동기가 부여되었습니다. 슈퍼컴퓨터를 테스트하는 데에도 사용되었습니다.

원주율의 정의는 원과 관련이 있기 때문에 π는 삼각법 및 기하학의 많은 공식, 특히 원, 타원 및 구와 관련된 공식에서 발견됩니다. 또한, 우주론, 프랙탈, 열역학, 역학, 전자기학과 같은 과학의 여러주제의 공식에서도 발견됩니다. 현대의 수학적 분석에서는 기하학에 대한 참조 없이 대신 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 정수론이나 통계와 같이 기하학과 거의 관련이 없는 영역에서도 나타납니다. π의 넓은 효용성은 π를 과학 안팎에서 가장 널리 알려진 수학 상수 중 하나로 만듭니다. π에 관한 많은 책이 출판되었으며 최대기록의  π의 자릿수 계산은 종종 뉴스 헤드라인을 장식합니다.

Reference

Pi – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Pi – Wikipedia