생성단위 자연상수 e

1. 애니메이션

1.1. Natural exponential    $y=e^x$

1.2. Gaussian function    $y=e^{-x^2}$


2. 설명

2.1. 생성단위 자연상수

2.2. 자연상수의 적용


3. 실습

3.1. 구글시트

3.2. 구글시트 함수

3.3. 실습강의


4. 용어와 수식

4.1. 용어


1. 애니메이션



Natural exponential    $y=e^x$




Gaussian function    $y=e^{-x^2}$


2. 설명

2.1 생성단위 자연상수 (Natural constant, $e$)

곱의 기준은 1입니다. 1은 자신을 $x$번 곱해도 자신이 됩니다. 

1x=11^x = 1

그리고 모든 수는 자신을 0번 곱하는 것을  지수의 기준 1로 정의합니다.

a0 =1a^0 = 1

자신을 $x$번 곱해서 나오는 값이 $x$에서의 자신의 미분계수인 수가 자연상수 $e$입니다. 자연상수($e=2.718\cdots$)는 무리수입니다.

 

$e$를 $x$번 곱해서 나오는 값이  $e^x$ 라면 다음식이 성립합니다.

$\dfrac{d(e^x)} {dx} = e^x$

자연상수가 밑이 되는 지수함수를 표현하면

y=exy=e^x

여기서,  $x < 0$ 이면  $y=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{ㅣxㅣ}$

$x = 0 $ 이면  $y=e^x= 1$

$0 < x$ 이면  $y=e^x$

자연상수를 급수(series)로 표현하면

$$\eqalign{e=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} &= \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots \cr&= \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots}$$

자연로그와의 관계는

 

lnex=x,eln(x)=x


1이 1회전동안 생성되는 값

drdt=et\dfrac{dr}{dt}=e^t

여기서,  $\dfrac{d\theta}{dt}=2\pi$

1이 1회전동안 원주를 따라 생성되는 값

dldt=2πet\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}e^t

여기서,  $\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}\dfrac{dr}{dt}$


2.2. 자연상수의 적용

복리 적금을 생각해봅니다. 복리 적금의 원금과 이자의 합계(원리 합계)는 다음의 식과 같이 계산할 수 있습니다.

 

원리합계 = 원금 × (1 + 이자율)기간

 

원리합계는 원금과 이자율과 기간이 결정한다는 것을 알 수 있습니다. 만약 원금이 “1” 이고 원금과 이자의합리 수렴하는 경우를 생각한다면 한 가지 경우는 아래 식과 같이 이율과 기간이 서로 반 비례하고 하나가 무한대가 되는 경우입니다. 이렇게 수렴하는 원리합계를 자연상수($e$)라고 합니다.

 

자연에 적용해보기 위하여 이자율을 단위 기간당 자기 복제량이라 생각해 봅니다. 예를 들면 자기 복제량을 1이라 하고 기간을 1시간이라고 한다면 1시간 후에는 처음에 가지고 있는 자기의 크기의 2배가 됩니다. 특별한 경우를 생각하여  복제량과 기간이 서로 반비례하게 되는 경우입니다. 복리계산과 같이 처음 가지고 있던 값을 1이라 하면 복제량은 처음 가지고 있던 값 1에 더해집니다. 처음 가지고 있던 값을 기준값 1이라 했을 때 그의 누적복제량(누적생성량)은 다음식과 같이 됩니다.

 

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}$$

 

이 값의 최대값은 단위 1기간을 무한개의 기간으로 나누고 복제량(생성량)은 기간에 반비례한다고 하면  $e$로 수렴합니다.

 

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}=e$$

 

정리하면, 크기 1이 1기간 동안 생성률(미분계수) 1로 시작하여  무한 자기복제를 하면 수렴하게 되는데  그 값이 자연상수($e$)입니다. 자연상수($e$)는 무리수 입니다. 

 

$e = 2.71828…$

 

$${e}{=}\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}$$


3. 실습

3.1. 구글시트

회원의 데이터링크 계정으로 구글시트가 복사됩니다.


생성단위 자연상수 e : 구글시트 실습

3.2. 구글시트 함수

=EXP(1) : 자연상수 e의 거듭제곱. 괄호안의 숫자는 거듭제곱할 지수. 

=FACT(A3) : 계승. A3에 있는 값보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱. 예를 들어, A3가 3이라면, 3의 계승은 3, 2, 1의 곱, 즉, $(3\times 2\times 1)$이 됨.

=2^2 : 거듭제곱. 2를 2번 곱함.

=LN(2) : 자연로그. 자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그 값. e를 몇 제곱해야 2가 되는지 계산함. 따라서, =LN(EXP(1))의 값은 1이 됨.


3.3. 실습강의

자연상수 e

구글시트 함수로 e 구하기

복리계산식으로 e 구하기

베르누이의 공식으로 e 구하기

테일러 전개로 e 구하기

지수함수

실습 안내



4. 용어와 수식

4.1 용어


e (자연상수, mathematical constant)

오일러 수(Euler’s number)라고도 하는 상수 $e$는 대략 2.71828과 같은 수학적 상수로 여러 측면에서 규정될 수 있습니다. 자연로그의 밑입니다. $n$이 무한대에 가까워질 때의  $(1 + \dfrac{1}{n})n$의 극한값입니다. 복리계산에서 보이는 표현입니다. 무한급수의 합으로 계산할 수도 있습니다.

 

또한 $e$는 함수 $y = ax$의 그래프가 $x = 0$에서 기울기가 1이 되도록 하는 고유한 양의 상수입니다. (자연)지수 함수 $f(x) = e^x$는 고유한 함수 $f$가 도함수와 동일하고 방정식 $f(0) = 1$을 충족합니다. 따라서 $e$를 $f(1)$로 정의할 수도 있습니다. 자연로그 또는 밑이 e인 로그는 자연 지수 함수의 역함수입니다. 숫자$k > 1$의 자연로그는 $x = 1$과 $x = k$사이의 곡선 $y = \dfrac{1}{x}$ 아래의 면적으로 직접 정의할 수 있습니다. 이 경우 $e$는 이 면적이 1일 때의  $k$의 값입니다.

 

상수 $e$는 수학자 Leonhard Euler의 이름을 따서 Euler’s number 또는 John Napier의 이름에서 Napier의 상수라고 합니다. 이 상수는 복리를 연구하던 중 스위스 수학자 Jacob Bernoulli가 발견했습니다. 상수 $e$는 $0, 1, \pi$ 및 $i$와 함께 수학에서 매우 중요한 수입니다. 숫자 5개 모두 오일러의 항등식 $e^{i\pi }+1=0$에 나타나며 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 상수 ${\pi}$와 마찬가지로 $e$는 무리수(정수 비율로 나타낼 수 없음)이고 초월적(유리계수가 있는 0이 아닌 다항식의 근이 아님)수입니다. 소수점 이하 50자리까지 $e$의 값은 다음과 같습니다.

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

 

Reference

e (mathematical constant)