생성단위 자연상수 e Natural constant e



Natural exponential    $y=e^x$




Gaussian function    $y=e^{-x^2}$


곱의 기준은 1입니다.

1은 자신을 x번 곱해도 자신이 됩니다. 

1x = 1

 

그리고 모든 수는 자신을 0번 곱하는 것을  지수의 기준 1로 정의합니다.

a0 = 1

 

그렇다면 자신을 x번 곱해서 나오는 값이 증감율(미분계수)인 자신의 수가 있다면 무엇일까요바로 자연상수 $e$입니다. e = 2.718… 인 무리수입니다.

 

e를 x번 곱해서 나오는 값이  $e^x$ 라면 다음식이 성립합니다.

 

${d(e^x)\over dx} = e^x$

 

자연상수가 밑이 되는 지수함수를 살펴보면

$y=e^x$

x < 0 : $y=(1/e)^{ㅣxㅣ}$

x = 0 : $y=e^x= 1$

0 < x : $y=e^x$


복리 적금을 생각해봅니다.

복리 적금의 원금과 이자의 합계(원리 합계)는 다음의 식과 같이 계산할 수 있습니다.

 

원리합계 = 원금 × (1 + 이자율)기간

 

원리합계는 원금과 이자율과 기간이 결정한다는 것을 알 수 있습니다.

 

만약 원금이 “1” 이고 원리합계가 수렴하는 경우가 있다면 어떤 경우일까요.

한 가지 경우는 아래 식과 같이 이율과 기간이 서로 반 비례하고 하나가 무한대가 되는 경우입니다.

이렇게 수렴하는 원리합계를 자연상수 $e$라고 합니다.

 

자연에 적용해보기 위하여 이자율을 단위 기간당 자기 복제량이라 생각해 봅니다.

예를 들면 자기 복제량을 1이라 하고 기간을 1시간이라고 한다면 1시간 후에는 처음에 가지고 있는 자기의 크기의 2배가 됩니다.

특별한 경우를 생각하여  복제량과 기간이 서로 반비례하게 되는 경우입니다.

이런 경우는 자연에 많이 존재합니다.

 

복리계산과 같이 처음 가지고 있던 값을 1이라 하면 복제량은 처음 가지고 있던 값 1에 더해집니다.

처음 가지고 있던 값을 기준값 1이라 했을 때 그의 누적복제량은 다음식과 같이 됩니다.

 

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}$$

 

이 값의 최대값은 단위 1기간을 무한개의 기간으로 나누고 복제량은 기간에 반비례한다고 하면  e로 수렴합니다.

 

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}{=}{e}$$

 

즉, 크기 1이 1기간 동안  무한 자기복제를 하면 1기간동안 최대값이 되는데 그 최대크기가 자연상수 e입니다. 자연상수 $e$는 무리수 입니다. 

 

$e = 2.71828…$

 

$${e}{=}\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{x}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{x}}\right)}^{x}$$


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