Z변환 Z transform



집단(모평균이 $\mu$이고 모분산이 $\sigma$ )이 정규분포 일때, 즉, 집단의 확률변수($X$)가 연속형 확률변수이고 정규분포일 때 아래식으로 표현되는 $Z$변환(Z-transformation)을 통해 확률분포를 정규분포에서 표준정규분포로 변환시킵니다. 이를 $Z$변환(Z-transformation)이라고 부릅니다. Z변환을 한 정규분포의 확률변수 $X$는 평균과 표준편차가 각각 0과 1인 정규분포가 됩니다. 이 정규분포를 표준정규분포(Standard Normal Distribution)이라고 합니다.

$Z={{X-\mu} \over {\sigma}}$

여기서,  $Z$는표본정규분포를 가지는 확률변수

$X$는 정규분포를 가지는 확률변수

$\mu_X$는 확률변수 $X$를 가지는 집단의 모평균

$\sigma_X$는 확률변수 $X$를 가지는 집단의 모분산

집단의 표본평균($\bar X$)의 Z변환은 다음식과 같습니다, 중심극한정리에 의하여 표본평균($\bar X$)는 정규분포를 나타냅니다. 여기서 표본의 크기는 $n$입니다.  그리고 표준정규분포의 확률변수 $Z$는 평균과 표준편차가 각각 0과 1이 됩니다. 표본평균($\bar X$)의 Z변환은 표본의 크기 $n$에 따라 달라집니다.

$Z={{{\bar X}-\mu} \over {\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}}$

여기서,  $Z$는표본정규분포를 가지는 확률변수

$\bar X$는 정규분포를 가지는 표본평균의 확률변수

$\mu_{\bar X}$는 확률변수 $\bar X$를 가지는 표본평균 표집분포의 모평균

$\sigma_X$는 확률변수 $\bar X$를 가지는 표본평균 표집분포의 모분산


실습

아래의 구글시트 실습을 누르시면, 본인의 데이터링크 계정으로 구글시트를 복사하신 후, 실습하실 수 있습니다. 실습에 대한 설명은 AI 강의로 보실 수 있습니다.

구글시트 사용법 크롬 설치

Z변환
구글시트 실습

<구글시트 함수>

=NORM.DIST(A3,5,0.5,FALSE) : 정규분포 확률 계산. 평균이 5이고, 표준편차가 0.5인 정규분포에서 A3 값에 대한 확률밀도를 계산함. FALSE 자리에 TRUE를 입력하면 누적확률밀도를 계산함.

=NORM.DIST(C3,0,1,FALSE) : 평균이 0, 표준편차가 1, 즉 표준정규분포에서 C3 값에 대한 확률밀도를 계산함.



<실습강의 내용>

두 집단의 확률변수

두 집단의 확률분포

Z변환

Z변환 후 확률분포