표본평균

표본평균은 집단의 모평균을 추정하거나 모평균에 대한 가설을 검정할 때 사용합니다.

 

추정을 할 때는 추정량을 구해서 추정량이 지정하는 구간사이에 모평균이 위치한다고 표현합니다. 구간을 정하기 위해서는 신뢰구간을 정해야합니다. 보통 95%를 사용합니다.

 

반면, 표본평균과 모평균의 관계(예를들면 같다는 영가설, 귀무가설)를 검정할 때는 검정통계량을 구해서 가설을 검정합니다. 여기서도 검정을 하려면 유의수준을 정해야합니다. 보통 5%를 사용합니다.

 

표본평균의 성질은 다음 세가지가 있습니다.

 

1) 불편성 : 모평균에 대해 편향되지 않는다. 즉 표본평균의 기대값은 모평균과 같다

2) 일치성 : 표본크기를 늘리면 통계량은 집단의 모수와 점점 같아진다. 즉, 표본크기를 늘리면 표본평균은 집단의 모평균과 같아진다.

3) 유효성 : 표본크기를 늘리면 표본평균 표집의 모분산이 작아진다.

표본평균 표집(Sampling distribution)의 모평균과 모분산

표본을 나타내면

 

${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$

 

여기서, $n$은 표본의 크기

 

표본평균의 추정량(Estimator)

 

${\displaystyle {\bar X}= {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$

 

표본분산의 추정량(Estimator)

 

${\displaystyle {S_X^2}= \dfrac {({X_1}-{\bar X})^2+({X_2}-{\bar X})^2+ \cdots +({X_n}-{\bar X})^2}{n-1}=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}({X_i}-{\bar X})^2}$

 

확률변수의 기대값은 모평균

 

${\textstyle {\rm E}[X]=\mu_X }$

 

표본평균의 기대값은 표본평균 표집의 모평균이고 집단의 모평균

 

${\textstyle {\rm E} [\bar X]=\mu_{\bar X}=\mu_X }$

 

여기서, 표본크기는 $n$ 

 

표본평균의 표집의 모분산은 다음과 같습니다.

 

${\rm Var}(\bar X)=\sigma_{\bar X}^2=\dfrac{\sigma_X ^2}{n}$

 

표본평균 표집의 모표준편차는

 

$\sigma_{\bar X}=\sqrt{\dfrac{\sigma_X ^2}{n}}=\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ 

 

표본평균을 $Z$변환하면 다음과 같습니다.

 

$\dfrac{{\bar X}-\mu_X}{\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}→Z$

 

$\dfrac{{\bar X}-\mu_X}{\dfrac{\sigma_X}{\sqrt{n}}}∼{\rm N}(0, 1)$

 

여기서,  $\mu_X=\mu_{\bar X}$

 

표본평균을 $t$변환하면 다음과 같습니다.

 

$\dfrac{\bar X-\mu_X}{\dfrac{S_X}{\sqrt{n}}}→t$

 

여기서,  $t$분포의 자유도는 $n-1$  

$S_X$는 표본표준편차

$\mu_X=\mu_{\bar X}$, 그러나 $S_X≠S_{\bar X}$