표준정규분포를 가지는 집단(모평균 $\mu$=0, 모분산 $\sigma^2=1$)에서 크기가 $n$인 표본을 무작위로 추출하면 표본의 자유도는 $n-1$이 되고 표본분산의 기대값은 1이 됩니다. 이 때 자유도의 정보를 가지는 총변동도 확률변수가 되며 그, 확률변수를 카이제곱($\chi_{n-1}^2$)이라  정의하면 카이제곱의 기대값은 자유도가 됩니다. 

집단이 표준정규분포를 가지면

$X = Z$

여기서, $Z$는 표준정규분포를 가지는 확률변수

$X$는 집단의 확률변수

확률변수인 집단의 표본평균($\bar X$)을 점추정하면 집단의 모평균($\mu_X$)과 같습니다. 그리고 표본분산($S^2$)을 총변동과 자유도로 분리하면 다음과 같습니다.

총변동 = $\sum\limits_{i=1}^{n}{Z_i^2}$

자유도 = $n-1$

$\chi_{n-1}^{2}$의 정리를 사용하면

$S_X^2$는 확률변수인 표본분산

집단이 표준정규분포이므로 $\sigma_X^2=1$

한편, 정규분포를 가지고 확률변수가 $X$인 집단(모평균 $\mu_X$, 모분산 $\sigma_X^2$)에서 크기가 $n$인 표본을 무작위로 반복하여 비복원 추출하였을 때, 표본분산($S_X^2$)의 확률분포(표집분포)는 0점에 쏠려 나타나는 모양을 가집니다.(애니메이션 참조). 표본크기가 $n$인 집단의 표본분산($S_X^2$)을 무차원 확률변수 카이제곱으로 다음과 같이 변환하면 변환된 확률변수 카이제곱($\chi_{n-1}^2$)은 모수 ($n-1$)을 가지는 카이제곱분포(chi-squared distribution)를 가집니다. 

$\left({n-1}\right)\dfrac{S_X^{2}}{\sigma_{X}^{2}}=\dfrac{S_X^{2}}{\dfrac{\sigma_X^{2}}{(n-1)}}→\chi_{n-1}^2$

확률변수 $X$를 가지는 집단의 표본분산 $S_X^2$은 역시, 확률변수입니다. 이 확률변수를 무차원 확률변수인 $\chi_{n-1}^2$으로 변환하는 과정은 표본분산($S_X^2$)을 집단의 모분산( $\sigma_X^2$)으로 나누고 표본의 자유도($ n-1$)를 곱합니다. 이러한 과정을 카이제곱변환(chi-squared transformation)이라고 표현하기도 합니다.