규정

– 확률변수는 알파벳 대문자 사용. 예) $X, Y, D$

– 관측값은 알파벳 소문자 사용. 예) $x, y, d$

– i번째 관측값은 알파벳 소문자의 아래첨자로 표시. 예) $x_1, x_2, \cdots , x_i$

– 행렬로의 확장성을 고려해서 관측값을 앞에 표시하고 집단을 뒤에 표시.

– j집단에 속한 i번째 관측값은 알파벳 소문자의 아래첨자로 표시. 예) $x_{11}, x_{21}, x_{31}, \cdots , x_{ij}$

– 평균은 문자위에 bar(  ̅  )로 표시. 예) $\bar {X}, \bar{Y}, \bar{D}$

– 예측값은 문자 위에 hat(  ̂  )으로 표시. 예) $\hat{X}, \hat{Y}, \hat{D}$


인디자인 수식입력

1. Hypatia에서 작성 후 인디자인에 수식 이미지 입력

– 구글슬라이드를 실행합니다.
– 확장 프로그램 > Hypatia Create > Insert/Edit Math를 클릭 합니다.


– 수식을 편집 할 수 있는 창이 나타납니다.


– 사용하고자 하는 수식의 코드를 복사하여 수식 입력창에 붙여 넣습니다.


– 수식을 직접 입력 하셔도 됩니다.
– 입력 한 수식이 맞는 지 확인 하고 insert버튼을 클릭합니다.


– 구글슬라이드 페이지에 수식이 보입니다.
– 해당 수식을 적당한 위치로 이동합니다.


– 필요한 수식을 위와 같은 방식으로 입력합니다.
– 수식 입력이 완료 되면 파일 > 다운로드 > Microsoft PowerPoint(.pptx)를 클릭하여 pptx 파일로 다운로드 합니다.


– 파워포인트로 해당 파일을 엽니다.
– 수식에서 마우스 우측버튼을 클릭 후 그림으로 저장(.png)합니다.


– 저장 된 수식 이미지를 인디자인 편집시에 이용합니다.


웹페이지 수식입력

1. 웹 에디터에서 코드로 작성

– 사용하고자 하는 수식의 코드를 복사합니다.

– 수식을 사용하기 위해 \$ \$를 입력후 그 사이에 복사한 수식 코드를 붙여 넣습니다

– 수식을 가운데 정렬로 단독 표기 할 경우애는 \$\$ \$\$룰 입력하고 그 사이에 복사한 수식 코드를 붙여 넣습니다.

입력단위

인라인(Inline) : 앞뒤로 $ 표기. \displaystyle을 추가하면, 인라인에 있는 수식이 크게 표시됨. 

블럭(Block) : $$로 표기. 태그달기

멀티라인(multiline) : 특정기호(=, ~)의 위치를 기준으로 가로 위치 맞춤

문장 : <pre>내용</pre>로 작성. 예, <pre>This fraction $\frac{5}{4}$ is some regular inline math.</pre> 

뷰어

MathJax (Javascript lib for browsers)

2. Wikipedia에서 수식을 복사

Wikipedia는 수식을 뷰어를 통해서 보여주는 방식이 아니고, 수식을 이미지로 보여주고, 수식 코드는 Tag로 되어있음.

 


수식 예제 1

$f_{n}(\mathbf {y} \, ;\theta )=\prod _{k=1}^{n}\,f_{k}^{\mathsf {univar}}(y_{k} \, ;\theta )$ f_{n}(\mathbf {y} \, ;\theta )=\prod _{k=1}^{n}\,f_{k}^{\mathsf {univar}}(y_{k} \, ;\theta )
$\hat {\theta }={\underset {\theta \in \Theta}{\operatorname {arg\;max} }}\,{\mathcal {L}}_{n}(\theta \,;\mathbf {y})$ \hat {\theta }={\underset {\theta \in \Theta}{\operatorname {arg\;max} }}\,{\mathcal {L}}_{n}(\theta \,;\mathbf {y})
${\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )$ {\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )
$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

수식 예제 2

$\widehat{E(y \mid x)}=\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x_1+\hat{\beta}_2 x_2$ \widehat{E(y \mid x)}=\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x_1+\hat{\beta}_2 x_2
$\nabla f=\nabla f(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \\
\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\end{bmatrix}$
\nabla f=\nabla f(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \\
\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\end{bmatrix}
$f_X(x) =\begin{cases}
\dfrac{1}{(b-a)}, & x\in[a,b] \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}=\dfrac{1}{b-a}I_{a,b}(x)$
f_X(x) =\begin{cases}
\dfrac{1}{(b-a)}, & x\in[a,b] \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}=\dfrac{1}{b-a}I_{a,b}(x)
$F_X(x) =\begin{cases}
0, & x \lt a \\
\dfrac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
1, & x \geq b
\end{cases}$
F_X(x) =\begin{cases}
0, & x \lt a \\
\dfrac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
1, & x \geq b
\end{cases}
$\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}Y_1 \\Y_2 \\\vdots \\Y_n\end{bmatrix},\ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_1^{\prime} \\x_2^{\prime} \\\vdots \\x_n^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1,p-1} \\1 & X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2,p-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{n,p-1}\end{bmatrix},\ \varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_1 \\\varepsilon_2 \\\vdots \\\varepsilon_n\end{bmatrix}$ \boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}Y_1 \\Y_2 \\\vdots \\Y_n\end{bmatrix},\ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_1^{\prime} \\x_2^{\prime} \\\vdots \\x_n^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1,p-1} \\1 & X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2,p-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{n,p-1}\end{bmatrix},\ \varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_1 \\\varepsilon_2 \\\vdots \\\varepsilon_n\end{bmatrix}

$X$, $X^2$의 대표값

$\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})$ \mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})
$\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})=\begin{cases}
\text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}e^{tx}\cdot f(x) \\
\text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx
\end{cases}$
\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})=\begin{cases}
\text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}e^{tx}\cdot f(x) \\
\text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx
\end{cases}
$\text{관성모멘트 } \mathrm{I}=\sum\limits_{i=1}^{n}m_i \cdot (x_i-\mu)^2$ \text{관성모멘트 } \mathrm{I}=\sum\limits_{i=1}^{n}m_i \cdot (x_i-\mu)^2
${\dfrac{d^n}{dt^n}\mathrm{M_X}(t)}_{t=0}=\mathrm{M_X}^{(n)}(0)=\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\mu_n$ {\dfrac{d^n}{dt^n}\mathrm{M_X}(t)}_{t=0}=\mathrm{M_X}^{(n)}(0)=\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\mu_n
$\mathrm{X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}m_i x_i}{\mathrm{M}}$ \mathrm{X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}m_i x_i}{\mathrm{M}}
$\mathrm{Var(X)}=\sum\limits_{i=1}^{n}P_i \cdot (x_i-\mathrm{E(X)})^2$ \mathrm{Var(X)}=\sum\limits_{i=1}^{n}P_i \cdot (x_i-\mathrm{E(X)})^2
$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i}{\mathrm{P}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i=\mathrm{E(X)}=\mu$ \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i}{\mathrm{P}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i=\mathrm{E(X)}=\mu
$\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\begin{cases}
\text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}x^n f(x) \\
\text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}x^n f(x)dx
\end{cases}$
\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\begin{cases}
\text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}x^n f(x) \\
\text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}x^n f(x)dx
\end{cases}

모멘트 방법 (Method of Moments)

$\mathrm{E}(X_k)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k}{n}$ \mathrm{E}(X_k)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k}{n}
$P(A_k \mid B)=\dfrac{P(B \mid A_k)P(A_k)}{P(B \mid A_1)P(A_1)+\cdots+P(B \mid A_n)P(A_n)}$ P(A_k \mid B)=\dfrac{P(B \mid A_k)P(A_k)}{P(B \mid A_1)P(A_1)+\cdots+P(B \mid A_n)P(A_n)}
$g(y \mid \theta)$ g(y \mid \theta)
$h(\theta)$ h(\theta)
$f(y, \theta)=g(y \mid \theta)h(\theta)$ f(y, \theta)=g(y \mid \theta)h(\theta)
$f(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(y, \theta)d(\theta)$ f(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(y, \theta)d(\theta)
$k(\theta \mid y)=\dfrac{f(y, \theta)}{f(y)}$ k(\theta \mid y)=\dfrac{f(y, \theta)}{f(y)}
$E(\theta \mid y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \theta k(\theta \mid y)d\theta$ E(\theta \mid y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \theta k(\theta \mid y)d\theta

t분포

$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2$ \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2
$\mathrm{T}=\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}\sim t_{(n-1)}$ \mathrm{T}=\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}\sim t_{(n-1)}
$\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}$ \dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}$ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}

F분포

$\mathrm{V} \sim \chi_{{k}}^2$ \mathrm{V} \sim \chi_{{k}}^2
$\mathrm{U} \sim \chi_{{m}}^2$ \mathrm{U} \sim \chi_{{m}}^2
$\mathrm{F}=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}}$ \mathrm{F}=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}}
$\mathrm{F} \sim F_{k,m}$ \mathrm{F} \sim F_{k,m}
$\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi_{(n_{1}-1)}^2$ \dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi_{(n_{1}-1)}^2
$\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi_{(n_{2}-1)}^2$ \dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi_{(n_{2}-1)}^2
$F_{1-a,k,m}=\dfrac{1}{F_{a,m,k}}$ F_{1-a,k,m}=\dfrac{1}{F_{a,m,k}}
$\dfrac{\dfrac{\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2}}{(n_{1}-1)}}{\dfrac{\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2}}{(n_{2}-1)}} =\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}\sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ \dfrac{\dfrac{\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2}}{(n_{1}-1)}}{\dfrac{\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2}}{(n_{2}-1)}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}
$\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ \dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}

점추정과 관련된 확률분포

$\bar{X} \sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ \bar{X} \sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2$ \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2
$\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)$ \dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)
$\dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-(p_1-p_2)}{\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N(0,1)$ \dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-(p_1-p_2)}{\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N(0,1)
$\overline{X_1}-\overline{X_2} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$ \overline{X_1}-\overline{X_2} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)
$\bar{D} \sim N\left(\mu_D, \dfrac{\sigma_D^2}{n}\right)$ \bar{D} \sim N\left(\mu_D, \dfrac{\sigma_D^2}{n}\right)
$\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1, n_{2}-1}$ \dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1, n_{2}-1}

추정과 관련된 확률분포

$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{N}}} \sim N(0,1)$ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{N}}} \sim N(0,1)
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{N}}} \sim t_{n-1}$ \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{N}}} \sim t_{n-1}
$\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$ \dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)
$\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} \sim t_{n_{1}+n_{2}-2}$ \dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} \sim t_{n_{1}+n_{2}-2}
$S_p^2=\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2+(n_{2}-1)S_2^2}{n_{1}+n_{2}-2}$ S_p^2=\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2+(n_{2}-1)S_2^2}{n_{1}+n_{2}-2}

최대우도추정

$L(\theta)=f(\theta ;\ x_1,x_2,\cdots\ \cdot,x_n)=f(x_1;\theta)f(x_2,\theta) \cdots f(x_n;\theta)$ L(\theta)=f(\theta ;\ x_1,x_2,\cdots\ \cdot,x_n)=f(x_1;\theta)f(x_2,\theta) \cdots f(x_n;\theta)
$\dfrac{dL(\theta)}{d\theta}=0$ \dfrac{dL(\theta)}{d\theta}=0
$X_1, X_2, \cdots\ \cdots\ \cdot\ \cdot ,X_n \sim \mathrm{Ber}(p)$ X_1, X_2, \cdots\ \cdots\ \cdot\ \cdot ,X_n \sim \mathrm{Ber}(p)

퓨리에변환과 적률생성함수(mgf)

$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \cdot e^{-j{\omega}t}dt$ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \cdot e^{-j{\omega}t}dt
$F(k)=\mathcal{F}[f(n)]=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}f(n) \cdot e^{-\frac{j2{\pi}kn}{N}}dt$ F(k)=\mathcal{F}[f(n)]=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}f(n) \cdot e^{-\frac{j2{\pi}kn}{N}}dt
$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{j{\omega}t}dw$ f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{j{\omega}t}dw
$f(n)=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}F(k)\cdot e^{\frac{j2{\pi}kn}{N}}$ f(n)=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}F(k)\cdot e^{\frac{j2{\pi}kn}{N}}
$M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx$ M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx
$M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}e^{tx_i}p_i$ M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}e^{tx_i}p_i
$E[X^n]=\left.\dfrac{d^n M_X (t)}{dt^n}\right\vert_{t=0}$ E[X^n]=\left.\dfrac{d^n M_X (t)}{dt^n}\right\vert_{t=0}