수식
규정
– 확률변수는 알파벳 대문자 사용. 예) $X, Y, D$
– 관측값은 알파벳 소문자 사용. 예) $x, y, d$
– i번째 관측값은 알파벳 소문자의 아래첨자로 표시. 예) $x_1, x_2, \cdots , x_i$
– 행렬로의 확장성을 고려해서 관측값을 앞에 표시하고 집단을 뒤에 표시.
– j집단에 속한 i번째 관측값은 알파벳 소문자의 아래첨자로 표시. 예) $x_{11}, x_{21}, x_{31}, \cdots , x_{ij}$
– 평균은 문자위에 bar( ̅ )로 표시. 예) $\bar {X}, \bar{Y}, \bar{D}$
– 예측값은 문자 위에 hat( ̂ )으로 표시. 예) $\hat{X}, \hat{Y}, \hat{D}$
인디자인 수식입력
1. Hypatia에서 작성 후 인디자인에 수식 이미지 입력
– 구글슬라이드를 실행합니다.
– 확장 프로그램 > Hypatia Create > Insert/Edit Math를 클릭 합니다.
– 수식을 편집 할 수 있는 창이 나타납니다.
– 사용하고자 하는 수식의 코드를 복사하여 수식 입력창에 붙여 넣습니다.
– 수식을 직접 입력 하셔도 됩니다.
– 입력 한 수식이 맞는 지 확인 하고 insert버튼을 클릭합니다.
– 구글슬라이드 페이지에 수식이 보입니다.
– 해당 수식을 적당한 위치로 이동합니다.
– 필요한 수식을 위와 같은 방식으로 입력합니다.
– 수식 입력이 완료 되면 파일 > 다운로드 > Microsoft PowerPoint(.pptx)를 클릭하여 pptx 파일로 다운로드 합니다.
– 파워포인트로 해당 파일을 엽니다.
– 수식에서 마우스 우측버튼을 클릭 후 그림으로 저장(.png)합니다.
– 저장 된 수식 이미지를 인디자인 편집시에 이용합니다.
웹페이지 수식입력
1. 웹 에디터에서 코드로 작성
– 사용하고자 하는 수식의 코드를 복사합니다.
– 수식을 사용하기 위해 \$ \$를 입력후 그 사이에 복사한 수식 코드를 붙여 넣습니다
– 수식을 가운데 정렬로 단독 표기 할 경우애는 \$\$ \$\$룰 입력하고 그 사이에 복사한 수식 코드를 붙여 넣습니다.
입력단위
인라인(Inline) : 앞뒤로 $ 표기. \displaystyle을 추가하면, 인라인에 있는 수식이 크게 표시됨.
블럭(Block) : $$로 표기. 태그달기
멀티라인(multiline) : 특정기호(=, ~)의 위치를 기준으로 가로 위치 맞춤
문장 : <pre>내용</pre>로 작성. 예, <pre>This fraction $\frac{5}{4}$ is some regular inline math.</pre>
뷰어
MathJax (Javascript lib for browsers)
2. Wikipedia에서 수식을 복사
Wikipedia는 수식을 뷰어를 통해서 보여주는 방식이 아니고, 수식을 이미지로 보여주고, 수식 코드는 Tag로 되어있음.
수식 예제 1
$f_{n}(\mathbf {y} \, ;\theta )=\prod _{k=1}^{n}\,f_{k}^{\mathsf {univar}}(y_{k} \, ;\theta )$ | f_{n}(\mathbf {y} \, ;\theta )=\prod _{k=1}^{n}\,f_{k}^{\mathsf {univar}}(y_{k} \, ;\theta ) |
$\hat {\theta }={\underset {\theta \in \Theta}{\operatorname {arg\;max} }}\,{\mathcal {L}}_{n}(\theta \,;\mathbf {y})$ | \hat {\theta }={\underset {\theta \in \Theta}{\operatorname {arg\;max} }}\,{\mathcal {L}}_{n}(\theta \,;\mathbf {y}) |
${\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )$ | {\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta ) |
$P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ | P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} |
수식 예제 2
$\widehat{E(y \mid x)}=\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x_1+\hat{\beta}_2 x_2$ | \widehat{E(y \mid x)}=\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x_1+\hat{\beta}_2 x_2 |
$\nabla f=\nabla f(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \\ \dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\end{bmatrix}$ |
\nabla f=\nabla f(x_1,x_2)=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1} \\ |
$f_X(x) =\begin{cases} \dfrac{1}{(b-a)}, & x\in[a,b] \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}=\dfrac{1}{b-a}I_{a,b}(x)$ |
f_X(x) =\begin{cases} |
$F_X(x) =\begin{cases} 0, & x \lt a \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 1, & x \geq b \end{cases}$ |
F_X(x) =\begin{cases} |
$\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}Y_1 \\Y_2 \\\vdots \\Y_n\end{bmatrix},\ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_1^{\prime} \\x_2^{\prime} \\\vdots \\x_n^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1,p-1} \\1 & X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2,p-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{n,p-1}\end{bmatrix},\ \varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_1 \\\varepsilon_2 \\\vdots \\\varepsilon_n\end{bmatrix}$ | \boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}Y_1 \\Y_2 \\\vdots \\Y_n\end{bmatrix},\ \boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_1^{\prime} \\x_2^{\prime} \\\vdots \\x_n^{\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1,p-1} \\1 & X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2,p-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{n,p-1}\end{bmatrix},\ \varepsilon=\begin{bmatrix}\varepsilon_1 \\\varepsilon_2 \\\vdots \\\varepsilon_n\end{bmatrix} |
$X$, $X^2$의 대표값
$\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})$ | \mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}}) |
$\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})=\begin{cases} \text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}e^{tx}\cdot f(x) \\ \text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx \end{cases}$ |
\mathrm{M_X}(t)=\mathrm{E}(e^{t\mathrm{X}})=\begin{cases} |
$\text{관성모멘트 } \mathrm{I}=\sum\limits_{i=1}^{n}m_i \cdot (x_i-\mu)^2$ | \text{관성모멘트 } \mathrm{I}=\sum\limits_{i=1}^{n}m_i \cdot (x_i-\mu)^2 |
${\dfrac{d^n}{dt^n}\mathrm{M_X}(t)}_{t=0}=\mathrm{M_X}^{(n)}(0)=\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\mu_n$ | {\dfrac{d^n}{dt^n}\mathrm{M_X}(t)}_{t=0}=\mathrm{M_X}^{(n)}(0)=\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\mu_n |
$\mathrm{X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}m_i x_i}{\mathrm{M}}$ | \mathrm{X}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}m_i x_i}{\mathrm{M}} |
$\mathrm{Var(X)}=\sum\limits_{i=1}^{n}P_i \cdot (x_i-\mathrm{E(X)})^2$ | \mathrm{Var(X)}=\sum\limits_{i=1}^{n}P_i \cdot (x_i-\mathrm{E(X)})^2 |
$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i}{\mathrm{P}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i=\mathrm{E(X)}=\mu$ | \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i}{\mathrm{P}}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i p_i=\mathrm{E(X)}=\mu |
$\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\begin{cases} \text{이산확률변수: }\sum\limits_{x}x^n f(x) \\ \text{연속확률변수: }\int_{-\infty}^{\infty}x^n f(x)dx \end{cases}$ |
\mathrm{E}(\mathrm{X}^n)=\begin{cases} |
모멘트 방법 (Method of Moments)
$\mathrm{E}(X_k)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k}{n}$ | \mathrm{E}(X_k)=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k}{n} |
$P(A_k \mid B)=\dfrac{P(B \mid A_k)P(A_k)}{P(B \mid A_1)P(A_1)+\cdots+P(B \mid A_n)P(A_n)}$ | P(A_k \mid B)=\dfrac{P(B \mid A_k)P(A_k)}{P(B \mid A_1)P(A_1)+\cdots+P(B \mid A_n)P(A_n)} |
$g(y \mid \theta)$ | g(y \mid \theta) |
$h(\theta)$ | h(\theta) |
$f(y, \theta)=g(y \mid \theta)h(\theta)$ | f(y, \theta)=g(y \mid \theta)h(\theta) |
$f(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(y, \theta)d(\theta)$ | f(y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(y, \theta)d(\theta) |
$k(\theta \mid y)=\dfrac{f(y, \theta)}{f(y)}$ | k(\theta \mid y)=\dfrac{f(y, \theta)}{f(y)} |
$E(\theta \mid y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \theta k(\theta \mid y)d\theta$ | E(\theta \mid y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \theta k(\theta \mid y)d\theta |
t분포
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$ | \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1) |
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2$ | \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{(n-1)}^2 |
$\mathrm{T}=\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}\sim t_{(n-1)}$ | \mathrm{T}=\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}\sim t_{(n-1)} |
$\dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}$ | \dfrac{\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}}{\sqrt{\dfrac{\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}}{(n-1)}}}=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}} |
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)}$ | \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{n}}}\sim t_{(n-1)} |
F분포
$\mathrm{V} \sim \chi_{{k}}^2$ | \mathrm{V} \sim \chi_{{k}}^2 |
$\mathrm{U} \sim \chi_{{m}}^2$ | \mathrm{U} \sim \chi_{{m}}^2 |
$\mathrm{F}=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}}$ | \mathrm{F}=\dfrac{\dfrac{V}{k}}{\dfrac{U}{m}} |
$\mathrm{F} \sim F_{k,m}$ | \mathrm{F} \sim F_{k,m} |
$\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi_{(n_{1}-1)}^2$ | \dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi_{(n_{1}-1)}^2 |
$\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi_{(n_{2}-1)}^2$ | \dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi_{(n_{2}-1)}^2 |
$F_{1-a,k,m}=\dfrac{1}{F_{a,m,k}}$ | F_{1-a,k,m}=\dfrac{1}{F_{a,m,k}} |
$\dfrac{\dfrac{\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2}}{(n_{1}-1)}}{\dfrac{\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2}}{(n_{2}-1)}} =\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}}\sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ | \dfrac{\dfrac{\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2}{\sigma_1^2}}{(n_{1}-1)}}{\dfrac{\dfrac{(n_{2}-1)S_2^2}{\sigma_2^2}}{(n_{2}-1)}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1} |
$\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ | \dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1,n_{2}-1} |
점추정과 관련된 확률분포
$\bar{X} \sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ | \bar{X} \sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right) |
$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2$ | \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi_{n-1}^2 |
$\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1)$ | \dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}} \sim N(0,1) |
$\dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-(p_1-p_2)}{\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N(0,1)$ | \dfrac{(\hat{p_1}-\hat{p_2})-(p_1-p_2)}{\sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}} \sim N(0,1) |
$\overline{X_1}-\overline{X_2} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$ | \overline{X_1}-\overline{X_2} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right) |
$\bar{D} \sim N\left(\mu_D, \dfrac{\sigma_D^2}{n}\right)$ | \bar{D} \sim N\left(\mu_D, \dfrac{\sigma_D^2}{n}\right) |
$\dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1, n_{2}-1}$ | \dfrac{\dfrac{S_1^2}{\sigma_1^2}}{\dfrac{S_2^2}{\sigma_2^2}} \sim F_{n_{1}-1, n_{2}-1} |
추정과 관련된 확률분포
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{N}}} \sim N(0,1)$ | \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{N}}} \sim N(0,1) |
$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{N}}} \sim t_{n-1}$ | \dfrac{\bar{X}-\mu}{\dfrac{S}{\sqrt{N}}} \sim t_{n-1} |
$\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$ | \dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1) |
$\dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} \sim t_{n_{1}+n_{2}-2}$ | \dfrac{\overline{X_1}-\overline{X_2}-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}} \sim t_{n_{1}+n_{2}-2} |
$S_p^2=\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2+(n_{2}-1)S_2^2}{n_{1}+n_{2}-2}$ | S_p^2=\dfrac{(n_{1}-1)S_1^2+(n_{2}-1)S_2^2}{n_{1}+n_{2}-2} |
최대우도추정
$L(\theta)=f(\theta ;\ x_1,x_2,\cdots\ \cdot,x_n)=f(x_1;\theta)f(x_2,\theta) \cdots f(x_n;\theta)$ | L(\theta)=f(\theta ;\ x_1,x_2,\cdots\ \cdot,x_n)=f(x_1;\theta)f(x_2,\theta) \cdots f(x_n;\theta) |
$\dfrac{dL(\theta)}{d\theta}=0$ | \dfrac{dL(\theta)}{d\theta}=0 |
$X_1, X_2, \cdots\ \cdots\ \cdot\ \cdot ,X_n \sim \mathrm{Ber}(p)$ | X_1, X_2, \cdots\ \cdots\ \cdot\ \cdot ,X_n \sim \mathrm{Ber}(p) |
퓨리에변환과 적률생성함수(mgf)
$F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \cdot e^{-j{\omega}t}dt$ | F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(t) \cdot e^{-j{\omega}t}dt |
$F(k)=\mathcal{F}[f(n)]=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}f(n) \cdot e^{-\frac{j2{\pi}kn}{N}}dt$ | F(k)=\mathcal{F}[f(n)]=\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}f(n) \cdot e^{-\frac{j2{\pi}kn}{N}}dt |
$f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{j{\omega}t}dw$ | f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\cdot e^{j{\omega}t}dw |
$f(n)=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}F(k)\cdot e^{\frac{j2{\pi}kn}{N}}$ | f(n)=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}F(k)\cdot e^{\frac{j2{\pi}kn}{N}} |
$M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx$ | M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{tx}\cdot f(x)dx |
$M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}e^{tx_i}p_i$ | M_X(t)=E[e^{tX}]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}e^{tx_i}p_i |
$E[X^n]=\left.\dfrac{d^n M_X (t)}{dt^n}\right\vert_{t=0}$ | E[X^n]=\left.\dfrac{d^n M_X (t)}{dt^n}\right\vert_{t=0} |