자연로그 ln(x)의 도함수와 그 도함수의 적분 기준점은?
목차 도함수는 $dfrac{1}{x}$이고 그 적분의 기준점은 $x=1$입니다. 자연로그 $ln{x}$의 도함수는 변화율, 즉 기울기를 나타냅니다. 도함수 $dfrac{1}{x}$은 $x>0$에서 정의됩니다. $$dfrac{d}{dx} ln x = dfrac{1}{x}$$ 도함수 $dfrac{1}{x}$의 적분 기준점 (reference point for the integral)은 1입니다. $$ln x = int_1^x dfrac{1}{t} , dt$$ 이 기준점은 다음 조건을 만족시킵니다. $$ln 1 = int_1^1 frac{1}{t} , dt = 0$$ 즉, […]
지수함수의 밑인 a를 자연상수 e로 표현하면 지수함수는?
목차 a의 자연로그를 증가율로 하는 지수함수입니다. $$a^x=left(e^{ln(a)}right)^x=e^{xln(a)}$$ 여기서, $ln(a)$는 증가율(growth rate) 어떤 양의 실수 $a$에 대해서도 지수함수 $a^x$는 $e$를 밑으로 하는 지수함수 $e^{xln(a)}$로 나타낼 수 있습니다. 1. 밑의 구간에 따른 지수함수의 성질 Table1. 지수함수의 밑 a의 구간에 따른 지수함수의 성질 밑 a의 구간 ln(a)의 부호 지수형태 표현 도함수 및 적분함수 지수함수 성질 ( 0 < […]
여러 범주형 확률변수가 생성하는 항목 간 조건부 확률분포 비교: 연관분석 카이제곱검정
애니메이션 그림 목차 요약영상 1 Videos 준비중 0:03 Author Detail Publication Histroy DOI Citation Download Print 구글문서 Print 구글문서 요약 통계량을 통한 모수 추정에서, 확률변수의 모평균, 모분산, 모표준편차는 각각 표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 통해 추정됩니다. 상관분석은 두 변수 간의 선형적 관계를 측정하며, 피어슨상관계수는 이 관계의 강도와 방향을 수치화합니다. 공분산은 두 변수 간의 변동성을 나타내며, 상관계수는 공분산을 […]
단순선형회귀에서 오차의 분산이 작아지면 종속변수와 독립변수의 분산의 비는 무엇과 같아지나?
목차 기울기의 제곱과 같아집니다. 오차가 거의 없어진다면, 종속변수 $Y$ 의 변동성은 거의 전적으로 독립변수 $X$에 의해 설명됩니다. 이때 분산의 비는 바로 기울기의 제곱과 같아집니다. [dfrac{mathrm{Var}(Y)}{mathrm{Var}(X)} to beta_1^2 quad text{as } sigma^2 to 0] 단순선형회귀에서 오차항의 표준편차가 작아지면 종속변수와 독립변수의 표준편차의 비는 기울기와 같아집니다. [frac{mathrm{SD}(Y)}{mathrm{SD}(X)} to |beta_1| quad text{as } sigma to 0] 1. 단순선형회귀모델의 분산 관계 […]
두 연속형 확률변수의 회귀계수 비교: 회귀분석 t검정
애니메이션 그림 목차 요약영상 1 Videos 준비중 0:03 Author Detail Publication Histroy DOI Citation Download Print 구글문서 Print 구글문서 요약 통계량을 통한 모수 추정에서, 확률변수의 모평균, 모분산, 모표준편차는 각각 표본평균, 표본분산, 표본표준편차를 통해 추정됩니다. 상관분석은 두 변수 간의 선형적 관계를 측정하며, 피어슨상관계수는 이 관계의 강도와 방향을 수치화합니다. 공분산은 두 변수 간의 변동성을 나타내며, 상관계수는 공분산을 […]
지수함수에서 밑이 양의 실수 a이고 지수가 0일 때의 변화율은?
목차 a의 자연로그값, ln(a)입니다. 밑(base)이 $a$인 지수함수(exponential function), $f(x)=a^x$에서 $x=0$일 때의 변화율은 $ln(a)$입니다. 변화율은 미분계수(derivative)입니다. $$f'(0) = lim_{h to 0} frac{f(0+h) – f(0)}{h}= lim_{h to 0} frac{a^h – 1}{h}= ln(a)$$ 여기서, $f(0) = a^0 = 1$ $f(0+h) = a^h$ Fig.1 지수가 0이고, 밑이 2, e, 5일 때 변화율(접선의 기울기) 비교 1. 지수함수를 자연상수(e)로 표현 지수함수 […]
지수함수에서 지수가 0일 때, 변화율이 1이 되는 밑의 값은?
목차 자연상수 e(약 2.71828…)입니다. 지수함수에서 밑을 아무 번도 곱하진 않은, 즉 지수가 0인 지수함수의 함수값은 항상 1입니다. $$a^0=1$$ 여기서, $a$는 양의 실수 지수가 0인 지점에서 함수값처럼 변화율(기울기)마저 정확히 1이 되는 특별한 밑이 자연상수 e입니다. $$e^0 = 1 quad (text{함수값}), quad left. frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} = 1 quad (text{기울기})$$ 여기서, $left.frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} =left.limlimits_{Delta x to 0} frac{e^x( […]
결합확률분포는 조건부분포들의 집합인가요?
목차 네. 결합확률분포는 한 방향으로의 모든 단면(조건부분포)들의 집합입니다. 결합확률분포에서 조건부분포는 조건확률변수의 값이 정해졌을 때 모든 가능한 분포입니다. 연속결합확률분포에서 조건부분포는 특정 조건변수의 값이 주어졌을 때 얻어지는 결합확률분포의 단면입니다. 다만, 단면 자체는 아직 확률분포가 아니며, 이를 확률분포로 만들기 위해서는 그 단면을 얻기 위한 조건변수의 확률밀도를 정규화상수로 사용하여 분포의 적분값이 1이 되도록 합니다. 조건부분포를 확률분포의 조건을 만족하게 조정하여 […]
n개 확률분포의 결합확률분포를 분해할 수 있나요?
목차 네, 연쇄법칙에 따라 n개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $n$개의 확률변수 $X_1, X_2, cdots, X_n$의 결합확률분포는 $n$개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $$P(X_1, X_2, dots, X_n);=;P(X_1 mid varnothing), P(X_2 mid X_1), P(X_3 mid X_1, X_2), cdots , P(X_n mid X_1, dots, X_{n-1})$$ 여기서, $P(X_1 mid varnothing)$는 조건이 없는 $X_1$의 확률분포, 즉, 주변확률분포: $P(X_1 mid […]
집합에 수학적 구조를 추가한 것은 무엇?
목차 공간(space)이라고 부릅니다. 확률공간(probability space)은 “표본공간”이라는 근원사건(elementary)의 집합(set)에 수학적 구조인 “사건들의 대수($sigma$-algebra)”와 이 대수에 정의된 “확률측도(probability measuer)”를 추가합니다. 사건(event)은 근원사건을 원소로 하는 표본공간의 부분집합입니다. “$sigma$-대수”는 사건들의 유한 합집합에 대해 닫혀 있습니다. 확률공간에서 시그마-대수(代數)는 사건공간이라고도 부르며 사건들에 대해 합, 교, 여집합 등 집합 연산을 수행해도 그 결과가 항상 포함되는 체계입니다. 1. 확률공간 확률공간(probability space)은 표본공간을 정의하고, […]