두 확률변수가 독립이면 두 확률변수의 사건간 모든 조합도 독립인가?
CONTENTS 네 그렇습니다. 그 역도 성립합니다. 두 확률변수가 독립이면 결합확률분포는 주위확률분포의 곱으로 표현됩니다. 두 확률변수 사이의 관계 두 확률변수 사이의 관계는 확률변수 간의 종속성(dependency), 독립성(independence), 상관성(correlation), 조건부 관계(conditional relationship) 등을 통해 설명됩니다. 독립 관계 두 확률변수가 독립(independent)이라면, 하나의 확률변수 값이 다른 확률변수 값에 영향을 미치지 않습니다. 종속 관계 두 확률변수가 독립이 아니라면, 하나의 확률변수 값이 […]
관계는 대응을 전제로 하나?
CONTENTS 네, 관계는 대응의 형태를 필요로 합니다. 대응의 대상에는 개체 또는 집단의 속성이 있습니다. 대응시키는 연결고리를 대응요소라고 합니다. 개체 또는 집단의 속성을 변수로 표현 개체 또는 집단은 대응의 대상입니다. 개체 또는 집단의 속성(attribute)은 변수함수로 표현되며 실현된 변수값은 데이터입니다. 속성을 수치적 또는 범주형 데이터로 변환하여 모델이나 분석에 활용할 수 있도록 만듭니다. Table 1. 대응 대상의 속성을 […]
조건부기대값의 분산과 조건부분산의 기대값의 합은?
CONTENTS 종속변수의 전체분산입니다. 전체분산법칙(Law of total variance) $$text{Var}left[Yright]=text{Var}left[text{E}[Y|X]right]+text{E}left[text{Var}[Y|X]right]$$ 전체분산법칙 전체분산법칙(Law of total variance)은 다음과 같이 표현됩니다. $$text{Var}left[Yright]=text{Var}left[text{E}[Y|X]right]+text{E}left[text{Var}[Y|X]right]$$ 여기서, $text{Var}[Y]$는 종속변수($Y$)의 전체분산 $text{Var}left[text{E}[Y|X]right]$는 독립변수($X$)로 인한 종속변수($Y$)의 기대값 변동 $text{E}left[text{Var}[Y|X]right]$는 독립변수($X$)로 인한 종속변수($Y$)의 분산의 기대값: 모델이 설명하지 못하는 변동 선형회귀모델에서의 전체분산법칙 선형회귀모델은 다음과 같습니다. $$Y=beta_0+beta_1X+epsilon$$ 여기서 $Y$는 종속변수 $X$는 독립변수 $beta_0$는 기울기(회귀계수) $epsilon$은 오차항 : $epsilon sim […]
배타적 사건은 독립사건인가, 종속사건인가?
CONTENTS 일반적으로, 배타적 사건은 종속사건입니다. 배타적 사건은 한 사건이 일어나면 또 다른 사건은 일어나지 않도록 영향을 주므로 종속사건입니다. 특별히, 적어도 하나의 사건의 확률이 0이면 배타적 사건은 독립사건입니다. 배타적 사건 배타적 사건 (mutually exclusive events)이란 동시에 발생할 수 없는 사건을 말합니다. 즉, 한 사건이 발생하면 다른 사건은 반드시 발생하지 않습니다. 확률로 표현 두 사건 $A$와 $B$가 […]
연속형 확률변수가 유리수로 실현될 확률은?
CONTENTS 연속형 확률변수가 유리수로 실현될 확률은 0입니다. 연속형 확률변수가 무리수로 실현될 확률은 1입니다. 실수의 확률공간 실수는 유리수와 무리수로 구성됩니다. $$mathbb{R} = mathbb{Q} cup (mathbb{R} setminus mathbb{Q})$$ 여기서, $mathbb{R}$은 실수 $mathbb{Q}$는 유리수 $(mathbb{R} setminus mathbb{Q})$은 무리수: $mathbb{R}$집합에서 $ mathbb{Q}$집합을 뺀 집합 유리수와 무리수는 서로소(disjoint) 관계인 배타적인 집합입니다. $$mathbb{Q} cap (mathbb{R} setminus mathbb{Q}) = emptyset$$ 여기서, $emptyset$은 […]
확률이론에서 표본공간과 벡터공간을 연결하는 함수는?
CONTENTS 양적 확률변수(quantitative random variable) 또는 양적 확률벡터(quantitative random vector)입니다. 확률변수 또는 확률벡터를 함수라고 하는 이유는 표본공간의 원소를 벡터공간의 점 또는 점의 집합으로 변환하는 기능을 하기 때문입니다. 확률변수를 기호로 표현하면 다음과 같습니다. $$X : Omega to mathbb{R}$$ 여기서, $X$는 양적(수치형) 확률변수 $Omega$는 표본공간 $mathbb{R}$는 $1$차원 벡터공간 확률벡터를 기호로 표현하면 다음과 같습니다. $$X : Omega to […]
확률이론에서의 표본과 통계학에서의 표본은 의미가 같은가?
[ Q&A ] CONTENTS 아니오, 용어는 같지만 의미는 다릅니다. 확률이론에서의 표본은 표본공간의 원소로서 더 이상 나눌 수 없는 사건의 결과입니다. 통계학에서의 표본은 모집단의 부분집합으로서 모집단의 특성을 추정합니다. 확률이론에서의 표본 확률이론(probability theory)에서는 확률공간(probability space)으로 확률(probability)을 설명합니다. 확률공간의 3요소는 표본공간(sample space), 시그마대수($sigma$-algebra), 확률측도(probility measure) 입니다. 표본공간에서 나올 수 있는 단일 결과를 표본(sample)이라고 합니다. 이는 더 이상 나눌 […]
모든 집단의 평균이 같을 때, 모집단내 “집단간분산”과 “집단내분산”이 같은 이유는?
[ QA ] CONTENTS “집단내변동”만으로 두 분산이 정해지기 때문입니다. 모든 집단의 평균이 같다면 “집단간변동”은 없습니다. 분산분석(ANOVA)의 기본 개념 총변동($SS_T$)은 전체 데이터의 변동성을 나타내며, 집단간변동($SS_B$)과 집단내변동($SS_W$)의 합으로 표현됩니다. $$SS_T=SS_B+SS_W$$ $MS_B$은 집단간분산이며 집단평균의 변동입니다. 집단간변동과의 관계는 다음식으로 표현됩니다 $$MS_B = dfrac{SS_B}{text{집단간 자유도}}$$ $MS_W$은 집단내분산이며 각 집단내에서 데이터의 변동입니다. 집단내변동과의 관계는 다음식으로 표현됩니다. $$MS_W = dfrac{SS_W}{text{집단내 자유도}}$$ 등분산 […]
모집단에서 집단간분산과 집단내분산이 동일해지는 경우는?
[ QA ] CONTENTS 모집단내 각 집단의 모평균이 같을 때 입니다. 이 경우, 집단간분산과 집단내분산은 모집단의 분산을 추정합니다. 무한 모집단(population) 내 각 집단(group)의 크기도 무한대입니다. 모집단내 집단의 변동 모집단에서 무작위로 표본을 추출할 때, 그 표본이 충분히 크면, 즉, 표본의 크기가 무한대에 가까워지면, 그 표본은 모집단의 특성을 정확하게 반영합니다. 아찬가지로 모집단내 집단 간의 평균이 같을 때 […]
일원분산분석에서 F통계량, F검정통계량, F검정통계값의 관계는?
[ QA ] CONTENTS 귀무가설을 통해 , F통계량의 변수의 수를 줄여 F검정통계량을 구합니다. 여기서, 귀무가설은 알 지 못하는 모수에 대한 가설입니다. F검정통계량은 확률변수이며 정의된 확률분포함수로 표현합니다. 표본데이터를 통해, F검정통계량의 함수값인 F검정통계값을 구합니다. 일원분산분석에서 F통계량 일원분산분석에서의 F통계량을 함수로 보면 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $$F(chi^2_B, df_B, chi^2_W, df_W) = dfrac{dfrac{chi^2_B}{df_B}}{dfrac{chi^2_W}{df_W}}= dfrac{dfrac{S_{B}^2}{sigma_{B}^2}}{dfrac{S_{W}^2}{sigma_{W}^2}}$$ 여기서, $chi^2_B$는 표본내 집단의 카이제곱: […]