위치와 양을 비교하는 가설의 검정은?
목차 평균은 위치이고 분산은 양이며, 평균의 비교는 t검정으로 분산의 비교는 F검정으로 행합니다. 1. 위치와 양의 가설검정 위치(位置, position)를 다루는 학문은 기원전 3000년경에 시작된 기하학(geometry)입니다. 양(量, quantity)을 다루는 학문은 기원전 2000년경 이후 성립된 산술(arithmetic)입니다. 이산형(discrete type) 데이터인 경우에도 평균/분산이라는 모수 개념이 성립하지만, 본질적으로 연속형(continuous type) 데이터에서 의미가 명확합니다. 연속형 데이터인 경우에 “평균”, “분산” 이라는 모수(parameter)를 부여하는 […]
자연로그 ln(x)의 도함수와 그 도함수의 적분 기준점은?
목차 도함수는 $dfrac{1}{x}$이고 그 적분의 기준점은 $x=1$입니다. 자연로그 $ln{x}$의 도함수는 변화율, 즉 기울기를 나타냅니다. 도함수 $dfrac{1}{x}$은 $x>0$에서 정의됩니다. $$dfrac{d}{dx} ln x = dfrac{1}{x}$$ 도함수 $dfrac{1}{x}$의 적분 기준점 (reference point for the integral)은 1입니다. $$ln x = int_1^x dfrac{1}{t} , dt$$ 이 기준점은 다음 조건을 만족시킵니다. $$ln 1 = int_1^1 frac{1}{t} , dt = 0$$ 즉, […]
지수함수의 밑인 a를 자연상수 e로 표현하면 지수함수는?
목차 a의 자연로그를 증가율로 하는 지수함수입니다. $$a^x=left(e^{ln(a)}right)^x=e^{xln(a)}$$ 여기서, $ln(a)$는 증가율(growth rate) 어떤 양의 실수 $a$에 대해서도 지수함수 $a^x$는 $e$를 밑으로 하는 지수함수 $e^{xln(a)}$로 나타낼 수 있습니다. 1. 밑의 구간에 따른 지수함수의 성질 Table1. 지수함수의 밑 a의 구간에 따른 지수함수의 성질 밑 a의 구간 ln(a)의 부호 지수형태 표현 도함수 및 적분함수 지수함수 성질 ( 0 < […]
단순선형회귀에서 오차의 분산이 작아지면 종속변수와 독립변수의 분산의 비는 무엇과 같아지나?
목차 기울기의 제곱과 같아집니다. 오차가 거의 없어진다면, 종속변수 $Y$ 의 변동성은 거의 전적으로 독립변수 $X$에 의해 설명됩니다. 이때 분산의 비는 바로 기울기의 제곱과 같아집니다. [dfrac{mathrm{Var}(Y)}{mathrm{Var}(X)} to beta_1^2 quad text{as } sigma^2 to 0] 단순선형회귀에서 오차항의 표준편차가 작아지면 종속변수와 독립변수의 표준편차의 비는 기울기와 같아집니다. [frac{mathrm{SD}(Y)}{mathrm{SD}(X)} to |beta_1| quad text{as } sigma to 0] 1. 단순선형회귀모델의 분산 관계 […]
지수함수에서 밑이 양의 실수 a이고 지수가 0일 때의 변화율은?
목차 a의 자연로그값, ln(a)입니다. 밑(base)이 $a$인 지수함수(exponential function), $f(x)=a^x$에서 $x=0$일 때의 변화율은 $ln(a)$입니다. 변화율은 미분계수(derivative)입니다. $$f'(0) = lim_{h to 0} frac{f(0+h) – f(0)}{h}= lim_{h to 0} frac{a^h – 1}{h}= ln(a)$$ 여기서, $f(0) = a^0 = 1$ $f(0+h) = a^h$ Fig.1 지수가 0이고, 밑이 2, e, 5일 때 변화율(접선의 기울기) 비교 1. 지수함수를 자연상수(e)로 표현 지수함수 […]
지수함수에서 지수가 0일 때, 변화율이 1이 되는 밑의 값은?
목차 자연상수 e(약 2.71828…)입니다. 지수함수에서 밑을 아무 번도 곱하진 않은, 즉 지수가 0인 지수함수의 함수값은 항상 1입니다. $$a^0=1$$ 여기서, $a$는 양의 실수 지수가 0인 지점에서 함수값처럼 변화율(기울기)마저 정확히 1이 되는 특별한 밑이 자연상수 e입니다. $$e^0 = 1 quad (text{함수값}), quad left. frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} = 1 quad (text{기울기})$$ 여기서, $left.frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} =left.limlimits_{Delta x to 0} frac{e^x( […]
결합확률분포는 조건부분포들의 집합인가요?
목차 네. 결합확률분포는 한 방향으로의 모든 단면(조건부분포)들의 집합입니다. 결합확률분포에서 조건부분포는 조건확률변수의 값이 정해졌을 때 모든 가능한 분포입니다. 연속결합확률분포에서 조건부분포는 특정 조건변수의 값이 주어졌을 때 얻어지는 결합확률분포의 단면입니다. 다만, 단면 자체는 아직 확률분포가 아니며, 이를 확률분포로 만들기 위해서는 그 단면을 얻기 위한 조건변수의 확률밀도를 정규화상수로 사용하여 분포의 적분값이 1이 되도록 합니다. 조건부분포를 확률분포의 조건을 만족하게 조정하여 […]
n개 확률분포의 결합확률분포를 분해할 수 있나요?
목차 네, 연쇄법칙에 따라 n개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $n$개의 확률변수 $X_1, X_2, cdots, X_n$의 결합확률분포는 $n$개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $$P(X_1, X_2, dots, X_n);=;P(X_1 mid varnothing), P(X_2 mid X_1), P(X_3 mid X_1, X_2), cdots , P(X_n mid X_1, dots, X_{n-1})$$ 여기서, $P(X_1 mid varnothing)$는 조건이 없는 $X_1$의 확률분포, 즉, 주변확률분포: $P(X_1 mid […]
집합에 수학적 구조를 추가한 것은 무엇?
목차 공간(space)이라고 부릅니다. 확률공간(probability space)은 “표본공간”이라는 근원사건(elementary)의 집합(set)에 수학적 구조인 “사건들의 대수($sigma$-algebra)”와 이 대수에 정의된 “확률측도(probability measuer)”를 추가합니다. 사건(event)은 근원사건을 원소로 하는 표본공간의 부분집합입니다. “$sigma$-대수”는 사건들의 유한 합집합에 대해 닫혀 있습니다. 확률공간에서 시그마-대수(代數)는 사건공간이라고도 부르며 사건들에 대해 합, 교, 여집합 등 집합 연산을 수행해도 그 결과가 항상 포함되는 체계입니다. 1. 확률공간 확률공간(probability space)은 표본공간을 정의하고, […]
독립적인 두 확률밀도함수의 곱과 합은 확률분포인가?
CONTENTS 곱(product)은 확률밀도함수가 되나 합(sum)은 정규화가 필요합니다. 1. 독립적인 두 확률밀도함수의 곱 확률변수 X와 Y가 독립(independent)일 때,그들의 공동확률밀도함수(Joint PDF) 는 개별 확률밀도함수의 곱으로 표현됩니다. $$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$$ (1) 비음수 조건$$f_X(x) geq 0, quad f_Y(y) geq 0 Rightarrow f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) f_Y(y) geq 0$$ (y)≥0 이므로 곱도 항상 0 이상입니다.(2) 정규화 조건확률밀도함수는 다음 […]