정규분포를 따르는 확률변수의 벡터가 생성하는 표현공간에서의 결합확률분포는 무엇?
목차 다변량 정규분포(multivariate normal distribution)입니다. 변량은 확률변수의 실제 관측값을 의미합니다. 어떤 확률공간 $(Omega, mathcal{F}, P)$ 위에 정의된 정규분포 확률변수 벡터 $ mathbf{X} = (X_1, ldots, X_n)^top $가 있을 때, 그 벡터가 표현공간 $ mathbb{R}^n $에서 따르는 결합확률분포 $ P_{mathbf{X}} $는 다변량 정규분포 $mathcal{N}(boldsymbol{mu}, boldsymbol{Sigma})$입니다. 확률변수는 항상 어떤 확률공간 ($Omega$, $mathcal{F}$, $P$) 상에 정의됩니다. 정규분포를 나타내는 […]
다변량 정규분포는 여러 개의 정규분포를 합친 것인가?
목차 아니요, 변량(확률변수값) 간의 상관이 있어야 합니다. 다변량 정규분포는 정규성과 상관이 있는 확률변수들을 원소로 하는 벡터의 확률분포입니다. 개체의 속성이 정규분포를 나타내고 개체의 속성이 서로 상관을 가질 때 개체가 이루는 집단의 속성의 분포는 확률변수 벡터로 표현되며 그 벡터는 다변량 정규분포를 나타냅니다. 다변량 정규분포를 나타내는 대표적인 확률변수 벡터로는 집단의 육종가 벡터가 있습니다. [mathbf{a} = begin{pmatrix}a_1 \a_2 \vdots […]
정규분포는 표본의 평균과 분산이 독립인 유일한 확률분포인가요?
목차 네, 정규분포의 표본평균과 표본분산은 확률변수이고 독립입니다. 정규분포 $mathcal{N}(mu, sigma^2)$ 에서 추출된 모든 $n geq 2$의 표본에서 표본평균($ bar{X}$)과 표본분산$(S^2)$은 독립입니다. $$bar{X} perp S^2$$ 표본의 평균과 분산이 독립이라는 것은 어느 표본의 평균값을 알아도 분산값을 예측할 수 없고 반대도 마찬가지라는 것입니다. 1. 정규분포 정규분포 $X sim mathcal{N}(mu, sigma^2)$의 확률밀도함수는 다음식으로 표현됩니다.$$f(x) = frac{1}{sqrt{2pi sigma^2}} expleft( -frac{(x […]
자연로그 ln(x)의 도함수와 그 도함수의 적분 기준점은?
목차 도함수는 $dfrac{1}{x}$이고 그 적분의 기준점은 $x=1$입니다. 자연로그 $ln{x}$의 도함수는 변화율, 즉 기울기를 나타냅니다. 도함수 $dfrac{1}{x}$은 $x>0$에서 정의됩니다. $$dfrac{d}{dx} ln x = dfrac{1}{x}$$ 도함수 $dfrac{1}{x}$의 적분 기준점 (reference point for the integral)은 1입니다. $$ln x = int_1^x dfrac{1}{t} , dt$$ 이 기준점은 다음 조건을 만족시킵니다. $$ln 1 = int_1^1 frac{1}{t} , dt = 0$$ 즉, […]
지수함수의 밑인 a를 자연상수 e로 표현하면 지수함수는?
목차 a의 자연로그를 증가율로 하는 지수함수입니다. $$a^x=left(e^{ln(a)}right)^x=e^{xln(a)}$$ 여기서, $ln(a)$는 증가율(growth rate) 어떤 양의 실수 $a$에 대해서도 지수함수 $a^x$는 $e$를 밑으로 하는 지수함수 $e^{xln(a)}$로 나타낼 수 있습니다. 1. 밑의 구간에 따른 지수함수의 성질 Table1. 지수함수의 밑 a의 구간에 따른 지수함수의 성질 밑 a의 구간 ln(a)의 부호 지수형태 표현 도함수 및 적분함수 지수함수 성질 ( 0 < […]
지수함수에서 밑이 양의 실수 a이고 지수가 0일 때의 변화율은?
목차 a의 자연로그값, ln(a)입니다. 밑(base)이 $a$인 지수함수(exponential function), $f(x)=a^x$에서 $x=0$일 때의 변화율은 $ln(a)$입니다. 변화율은 미분계수(derivative)입니다. $$f'(0) = lim_{h to 0} frac{f(0+h) – f(0)}{h}= lim_{h to 0} frac{a^h – 1}{h}= ln(a)$$ 여기서, $f(0) = a^0 = 1$ $f(0+h) = a^h$ Fig.1 지수가 0이고, 밑이 2, e, 5일 때 변화율(접선의 기울기) 비교 1. 지수함수를 자연상수(e)로 표현 지수함수 […]
지수함수에서 지수가 0일 때, 변화율이 1이 되는 밑의 값은?
목차 자연상수 e(약 2.71828…)입니다. 지수함수에서 밑을 아무 번도 곱하진 않은, 즉 지수가 0인 지수함수의 함수값은 항상 1입니다. $$a^0=1$$ 여기서, $a$는 양의 실수 지수가 0인 지점에서 함수값처럼 변화율(기울기)마저 정확히 1이 되는 특별한 밑이 자연상수 e입니다. $$e^0 = 1 quad (text{함수값}), quad left. frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} = 1 quad (text{기울기})$$ 여기서, $left.frac{d}{dx}e^x right|_{x=0} =left.limlimits_{Delta x to 0} frac{e^x( […]
결합확률분포는 조건부분포들의 집합인가요?
목차 네. 결합확률분포는 한 방향으로의 모든 단면(조건부분포)들의 집합입니다. 결합확률분포에서 조건부분포는 조건확률변수의 값이 정해졌을 때 모든 가능한 분포입니다. 연속결합확률분포에서 조건부분포는 특정 조건변수의 값이 주어졌을 때 얻어지는 결합확률분포의 단면입니다. 다만, 단면 자체는 아직 확률분포가 아니며, 이를 확률분포로 만들기 위해서는 그 단면을 얻기 위한 조건변수의 확률밀도를 정규화상수로 사용하여 분포의 적분값이 1이 되도록 합니다. 조건부분포를 확률분포의 조건을 만족하게 조정하여 […]
n개 확률분포의 결합확률분포를 분해할 수 있나요?
목차 네, 연쇄법칙에 따라 n개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $n$개의 확률변수 $X_1, X_2, cdots, X_n$의 결합확률분포는 $n$개의 조건부확률분포의 곱으로 분해할 수 있습니다. $$P(X_1, X_2, dots, X_n);=;P(X_1 mid varnothing), P(X_2 mid X_1), P(X_3 mid X_1, X_2), cdots , P(X_n mid X_1, dots, X_{n-1})$$ 여기서, $P(X_1 mid varnothing)$는 조건이 없는 $X_1$의 확률분포, 즉, 주변확률분포: $P(X_1 mid […]
집합에 수학적 구조를 추가한 것은 무엇?
목차 공간(space)이라고 부릅니다. 확률공간(probability space)은 “표본공간”이라는 근원사건(elementary)의 집합(set)에 수학적 구조인 “사건들의 대수($sigma$-algebra)”와 이 대수에 정의된 “확률측도(probability measuer)”를 추가합니다. 사건(event)은 근원사건을 원소로 하는 표본공간의 부분집합입니다. “$sigma$-대수”는 사건들의 유한 합집합에 대해 닫혀 있습니다. 확률공간에서 시그마-대수(代數)는 사건공간이라고도 부르며 사건들에 대해 합, 교, 여집합 등 집합 연산을 수행해도 그 결과가 항상 포함되는 체계입니다. 1. 확률공간 확률공간(probability space)은 표본공간을 정의하고, […]