조건부사건과 곱사건은 표본공간이 다릅니다.
조건부사건(A|B)의 표본공간은 조건이 되는 사건(B)입니다.
곱사건(A$\cap$ B)의 표본공간은 전체 표본공간($\Omega$)입니다.
조건부사건 $A|B$는 어떤 기준 사건 $B$가 이미 발생했음을 전제로 합니다. 즉, 조건부사건 $A|B$는 원래의 표본공간 $\Omega$가 아니라, 조건이 되는 사건 $B$에 의해 제한되어 새로운 표본공간 $B$에서 정의됩니다. 즉, 조건부사건 $A|B$의 표본공간은 원래의 전체 표본공간 $\Omega$에서 부분집합인 $B$로 축소됩니다.
조건부확률은 사건 $A$가 사건 $B$가 일어난 것을 전체로 할 떄의 조건부 확률입니다.
$$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \,\, , \,\, P(B)\gt 0$$
조건부사건에서는 전체 표본공간($\Omega$)이 아니라 전체 표본공간이 축소된 사건 $B$를 표본공간으로 하여 조건부사건에 확률을 부여합니다. 단, 이 떄의 표본공간인 사건 $B$의 확률은 0이 아니어야 합니다.
곱사건 $A\cap B$는 사건 $A$와 사건 $B$가 동시에 발생하는 사건입니다.
$$A\cap B=\{ \omega \in \Omega \mid \omega \in A \,\, \text {and} \,\, \omega \in B\}$$
곱사건 $A\cap B$는 전체 표본공간 $\Omega$를 기반으로 한 부분집합으로 정의됩니다. 따라서 곱사건의 표본공간은 전체 표본공간입니다.
한편, 합사건 $A\cup B$도 전체 표본공간 $\Omega$를 기반으로 한 부분집합으로 정의됩니다. 따라서 합사건의 표본공간은 전체 표본공간입니다.
특정 조건이 발생하였을 때의 상황에 집중하여 분석할 수 있도록 합니다. 불필요한 경우를 제거하여 문제를 단순화합니다.
조건부사건의 표본공간 축소는 전체 상황에서 조건을 만족하지 않는 경우를 배제하고 조건을 만족하는 경우만을 중심으로 새로운 관점을 제공합니다. 조건부사건의 표본공간 축소는 베이즈 정리와 같은 확률 갱신 기법의 기초를 이룹니다.
활용예) 온라인 플랫폼 분석
모든 방문자를 추적하기 어렵더라도, 특정 페이지에 방문한 사용자(조건 $B$) 데이터를 기반으로 구매 전환율(사건 $A$)을 분석합니다. 이를 통해 특정 캠페인의 효과를 평가하거나 향후 전략을 개선할 수 있습니다.
Fig 1. 조건에 따른 표본공간 축소