역함수 관계입니다.
분위수(Quantile, $Q(p)$)는 주어진 누적확률값($p$) 보다 큰 누적확률을 가지는 확률변수값 중 가장 작은 값($x$)을 변환하는 함수입니다. $ x=Q(p)$
누적분포함수(CDF, $F(x)$)는 $-\infty$에서 주어진 확률변수값($x$)까지의 누적확률($p$)을 반환하는 함수입니다. $p=F(x)$
분위수 $Q(p)$는 누적확률 $p$에 해당하는 확률변수값 $x$를 반환합니다. 즉, 분위수는 분위수(Quantile, $Q(p)$)는 주어진 누적확률값($p$) 보다 큰 누적확률을 가지는 확률변수값 중 가장 작은 값($x$)을 변환하는 함수입니다.
$$Q(p) = \inf \{ x \in \mathbb{R} : F(x) \geq p \}$$
분위수는 $x$까지의 누적확률을 반환하는 함수라고도 할 수 있습니다 입력은 누적확률 $p$이고 출력은 누적확률 $p$이상이 되는 최소값 $x$입니다. 즉, 분위수 함수는 특정 확률 $p$가 주어지면, 그 확률을 만족하는 $x$값을 반환하는 함수입니다.
누적분포함수 $F(x)$는 확률변수 $X$가 $x$보다 작거나 같을 확률을 반환합니다.
$$F(x) = P(X \leq x)$$
누적분포함수는 특정값 $x$가 주어지면, 그 값까지의 누적확률을 변환하는 함수입니다. 입력은 확률변수 $X$의 실현값 $x$이고 출력은 $x$이하의 누적확률 $p$입니다. 즉, $x$까지의 누적확률을 반환하는 함수입니다.
분위수함수($x=Q(p)$)와 누적분포함수($p=F(x)$)는 역함수 관계이며 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$Q(F(x)) = x \,\,\, \text{and} \,\,\, F(Q(p)) = p $$
$$Q(p) = F^{-1}(p)
\quad\Longleftrightarrow\quad
F(Q(p)) = p$$
$$x=Q(p) \rightarrow F(x)=p$$
$$p=F(x) \rightarrow Q(p)=x$$
표준정규분포에서 $p$=0.975에 해당하는 분위수는 약 1.96입니다.
Fig 1. 표분정규분포의 누적분포함수와 분위수함수