혼합선형모델에서 랜덤효과는 회귀식의 기울기와 절편 모두에 영향을 줄 수 있나?

랜덤기울기모델 (Random intercept model)에서는 집단 $j$마다 기울기만 달라지고, 절편은 공통이기 때문에 각 집단의 회귀선은 평행하지 않고 전체절편을 중심으로 회전합니다.

이 모델은 “어떤 공변량 $W$”에 대해서 집단별로 반응 기울기가 다르다는 것을 허용합니다. 예를 들어 교육 연구에서는 “공부시간($W$)이 성적($Y$)에 미치는 효과가 학교마다 다르다.”가 있고, 유전육종학에서는 “온도 스트레스 지수(THI, $W$)가 산유량($Y$)에 미치는 민감도가 목장마다 다르다.”가 있습니다.

랜덤 기울기 모델은 종속변수의 벡터를 집단에 공통된 고정효과($\beta_0, \beta_1$)와 집단마다 다른 기울기($u_{1j}$와 개체마다 다른 잔차 변동($\epsilon_{ij}$로 표현합니다.

공변량 $W_{ij}$대한 집단별 기울기를 허용하며 실무에서는 $W$를 센터링($\widetilde{W} = W – \overline{W}$)하여 식별성과 해석력을 높입니다. 즉, 센터 기준점에서 절편과 기울기를 분리합니다.

\[
Y_{ij} = \beta_0 + \beta_1 X_{ij} + (\beta_W + u_{1j}) W_{ij} + \varepsilon_{ij},
\quad \operatorname{E}[u_{1j}] = 0,\;
\operatorname{Var}(u_{1j}) = \sigma_{u1}^2
\]

여기서, $Y_{ij}$는 $j$번째 집단에 속한 $i$번째 개체의 관측값(반응값): 예 학교의 학생의 시험점수, 목장의 소의 체중

$\beta_0$는 전체평균(절편, intercepti): 모든 집단에 적용되는 기저수준

$\beta_1$는 설명변수 $X_{ij}$에 대한 공통기울기

$\beta_W$는 설명변수 $W_{ij}$에 대한 공통기울기(평균적 효과)

$X_{ij}$는 $j$번째 집단의 $i$번째 개체의 설명변수값: 예, 학생의 공부시간, 소의 연령

$W_{ij}$는 $j$번째 집단의 $i$번째 개체의 집단마다 다른 랜덤 기울기를 허용하는 공변량(설명변수값): 예, 학생의 민감도, 소의 민감도

$u_{1j}$는 $j$번째 집단의 기울기 (randdom slope): 예 학교별 민감도, 목장별 민감도

$\epsilon_{ij}$는 개체수준의 잔차: 예 집단내에서 개체별 변동

유전평가에서의 예로는 반응규범(Reactin norm) PBLUP/GBLUP가 있습니다. 환경지표(THI=온열스트레스지수, 사료에너지 수준, 고도 등)를 $W$로 두고 개체별 민감도(기울기)를 랜덤화 합니다.

\[
\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}
+ \mathbf{Z} \mathbf{u}
+ \mathbf{Z}_b (\mathbf{b} \odot \widetilde{\mathbf{W}})
+ \mathbf{e}
\]

\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{a} \\
\mathbf{b}
\end{bmatrix}
\sim \mathcal{N}\!\left(
\mathbf{0},\;
\begin{bmatrix}
\sigma_u^2 \mathbf{u} & \sigma_{ub}\mathbf{A} \\
\sigma_{ub}\mathbf{A} & \sigma_b^2 \mathbf{A}
\end{bmatrix}
\right)
\quad (\text{PBLUP})
\quad \text{또는} \quad
\mathbf{A} \;\to\; \mathbf{G}\; (\text{GBLUP})
\]

여기서, $\mathbf{b}W$는 환경 변화에 대한 개체별 반응 기울기

$\sigma_{ub}$는 기저수준과 민감도의 공분산: 기저 생산수준이 높은 개체가 스트레스에 더/덜 민감한가?

같은 개체라도 환경에 따라 증감 폭이 다름을 포착하며 이는 $\mathbf{G}\times \mathbf{E}$로 모델링합니다.