QA : 5
DATA SCIENCE : 26
TABLE : 6
TERM : 3
eISSN 2280-2211

[ DATA SCIENCE ]

대표값

[Q&A]

  1. 딸기의 가치는 당도인가?
  2. 저온숙성은 딸기의 당도를 향상시키는가?
  3. 당도 측정도구에 적용된 척도는?
  4. 대응표본과 독립표본은 무엇이 다른가?
  5. 대응표본과 독립표본에서 새로운 확률변수를 확률변수값의 차이라고 할 때 어느 표본의 분산이 더 큰가?
  6. 차이평균의 귀무가설과 원점의 관계는?
  7. 표준편차는 단위가 될 수 있는가?
  8. t검정?

[Q&A]

ARTICLE CONTENTS

Measure of central tendency

0000-0002-3121-1113
박근철, 양윤원
31 March 2023,
30 April 2023,
04 May 2023,
19 May 2023,
DocuHut Co. Ltd., Seoul, Republic of Korea
24711-D
24711-C

Abstract

데이터의 중심경향성을 나타내는 대표값으로는 평균, 중앙값, 최빈값이 있습니다. 평균은 모든 값의 합을 데이터 개수로 나눈 값으로, 극단적인 값에 의해 왜곡될 수 있습니다. 중앙값은 데이터를 순서대로 나열했을 때 중앙에 위치하는 값으로, 특이값의 영향을 덜 받습니다. 최빈값은 가장 빈번하게 나타나는 값으로, 모든 데이터 유형에 적용됩니다. 분포가 편향될 경우, 이 대표값들은 서로 다른 값을 가질 수 있으며, 각각 데이터의 다른 측면을 반영합니다. 절사 평균은 극단값의 영향을 줄이기 위해 일부 데이터를 제외하고 계산합니다. 이러한 대표값들은 데이터의 분포와 중심 경향을 이해하는 데 필수적입니다.

Key Word

데이터, 범주, 중심경향성, 평균, 중앙값, 최빈값, 편향, 극단값, 절사평균

범주의 대표값

범주의 대표값은 한 범주안의 값들의 무리(데이터)를 대표하는 값(representative value)입니다. 그리고 대표값은 데이터의 퍼짐정도를 나타내는 분포값(measure of dispersion)의 원점위치(measure of location)로 사용됩니다. 대표값에는 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode)이 있습니다.

중앙값(median)은 데이터를 크기 순서로 나열할 때 중앙에 놓이는 값입니다. 중앙값은 특별히 크거나 작은 변수값이 있는 경우에 왜곡이 심하지 않아 데이터의 대표값으로 많이 쓰입니다.

최빈값(mode)은 변수값 중 가장 빈도수가 큰 변수값입니다.

평균에는 산술평균, 가중평균 등이 있습니다. 평균은 중앙값과 비교하여 어느 한 변수값이 아주 크거나 작은 경우 왜곡이 나타납니다. 보통 평균이라고 하면 산술평균을 의미합니다. 가중평균(weighted mean)은 산술평균의 다른 변형형태로 각 변수값에 가중치를 곱하여 평균을 구합니다. 특별히 변수가 확률변수이고 가중치의 합이 1이 되면 가중평균은 기대값이 됩니다. 여기서 각 확률변수의 가중치는 그 확률변수의 확률이 됩니다.

애니메이션에서 가로축은 확률변수를, 세로축은 확률밀도함수값을 표시합니다. 애니메이션처럼 확률밀도함수가 정규분포를 이루면 평균, 중앙값, 최빈값은 같은 확률변수값을 가집니다. 그러나 편향이 일어날 경우 다른값을 가집니다.

평균은 무게중심을 나타내는 확률변수값입니다. 중앙값은 지나는 직선의 양쪽 면의 면적이 같은 확률변수값입니다. 최빈값은 확률밀도함수의 정점을 나타내는 확률변수값입니다.

중심 위치의 측도

흩어진 데이터의 중심이 필요할 때 중심 위치의 측도(measure of location)로 평균, 중앙값, 최빈값 등을 사용합니다.

평균(mean)

평균(mean)의 식은 아래와 같습니다.

$$\bar{X}=\dfrac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

중앙값(median)

중앙값(median)은 전체 데이터들을 가장 작은 값부터 크기 순으로 배열했을 때 가장 가운데에 위치하는 값이고 Q2 와 동일한 값을 가집니다. 예를 들어  1, 2, 3, 4, 5로 5개의 데이터일 때는 다음식을 통하여 중앙값은 3입니다. 데이터의 갯수인 $n$이 홀수일때의 식입니다.

$$x_{\frac{n+1}{2}}$$

여기서,  데이터의 갯수인 $n$은 홀수
 

1, 2, 3, 4, 5, 6로 6개의 데이터일 때는 데이터의 갯수인 $n$이 짝수 일 때입니다.  이 때는 중앙값이 2개인 경우인데 두 중앙값의 평균을 내어 하나의 중앙값으로 표현합니다. $\dfrac{(3+4)}{2}$의 계산 과정으로 중앙값은 3.5가 됩니다.

$$\dfrac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}\right)$$

여기서,  데이터의 갯수인 $n$은 짝수

최빈값(mode)

최빈값(mode)은 발생빈도가 가장 높은 값, 즉 분포의 중심에 있진 않을 수 있지만 가장 빈번하게 나타나는 값입니다.

절사 평균(trimmed mean)

절사 평균(trimmed mean)은 자료를 크기 순으로 나열한 후, 상위 및 하위 몇 % 자료를 제외하고 계산한 평균입니다.
예를 들면, 10% 절사평균이라함은 상위 10%, 하위 10% 데이터를 제외하고 계산한 평균입니다. 예를 들면 다음 문제를 해결하는 과정에서 절사평균이 나옵니다.

문제 : 표본에 한 개의 큰 값(특이값)이 포함되어 있다면 대표값을 어떻게 표현해야 합리적일까?
해결 1 : 한 개의 큰 값이 들어가게 되면 평균이 크게 달라지는 평균의 단점이 있는데, 반면 중앙값은 크게 바뀌지 않는다. 그래서 평균만 보지 말고 중앙값도 같이 보아야 합니다.
해결 2 : 이 특이값을 절사하여 절사평균을 사용합니다.

Terminology

데이터

데이터는 질적 또는 양적 변수값의 집합입니다. 데이터와 정보 또는 지식은 종종 같은 의미로 사용하지만 데이터를 분석하면 정보가 된다고 볼 수 있습니다. 데이터는 일반적으로 연구의 결과물로 얻어집니다. 한편, 데이터는 경제(매출, 수익, 주가 등), 정부(예 : 범죄율, 실업률, 문맹율)와  비정부기구(예 : 노숙자 인구 조사)등 다양한 분야에서도 나타납니다. 그리고 데이터를 수집 및 분석하고 시각화할 수 있습니다.

일반적인 개념의 데이터는 응용이나 처리에 적합한 형태로 표현되거나 코딩됩니다. 원시 데이터 (“정리되지 않은 데이터”)는  “정리”되기 전의 숫자 또는 문자의 모음입니다. 따라서 데이터의 오류를 제거하려면 원시 데이터에서 데이터를 수정해야 합니다. 데이터 정리는 일반적으로 단계별로 이루어지며 한 단계의 “정리 된 데이터”는 다음 단계의 “원시 데이터”가 됩니다. 현장 데이터는 자연적인  “현장”에서 수집되는 원시 데이터입니다. 실험 데이터는 관찰 및 기록을 통한 과학적 조사에서 생성되는 데이터입니다. 데이터는 디지털 경제의 새로운 자원입니다.

출처

Data – Wikipedia

기대값

확률에서 임의 변수의 기대값은 직관적으로는 동일한 실험을 무한 반복했을 때 나온 값들의 평균값입니다. 예를 들어, 6면 주사위를 던지는 시행의 기대값은던진 횟수가 무한대에 가까워졌을 때의 결과값들의 평균값(이경우는 3.5)이 됩니다. 다시 말해, 큰 수의 법칙은 반복 횟수가 무한대에 가까워질수록 값의 산술평균은 기대값에 점점 수렴한다는 것을 의미합니다. 이 기대값은 기대치, 수학적 기대치, EV, 평균, 평균값이라고도 불립니다.

보다 현실적으로, 이산확률변수의 기대값은 모든 가능한 값의 가중평균입니다. 즉, 기대값은 확률변수가 취할 수 있는 각 값에 발생확률을 곱한 결과값들의 합이 됩니다. 연속적인 확률변수에 대해서는 합계 대신에 변수의 적분이 들어간다는 것 외에는 동일한 원칙이 적용됩니다. 공식적인 정의는 이 둘을 모두 포함해 이산적이거나 완전히 연속적이지 않은 분포에서도 같게 작용되어, 확률변수의 기대값은 간단히 “확률 측정값에 대한 변수의 적분 값”으로도 말할 수 있습니다.

기대값은 큰 꼬리가 있는 분포(예를 들어 Caushy 분포)에서는 존재하지 않습니다. 이런 무작위 변수의 경우에는 분포의 긴 꼬리가 합이나 적분값이 수렴하지 못하도록 합니다. 기대값은 위치 매개 변수의 한 유형으로 사용할 수 있기 때문에 확률 분포를 특징 짓는데 중요한 역할을 합니다. 그에 반해, 분산은 기대값 주위의 확률변수의 가능한 값들이 얼마나 퍼져 있는 지를 나타내는 값입니다. 분산은 크게 2가지 방법으로 구할 수 있습니다. 모든 값에 평균을 빼고 제곱을 해 평균을 구하거나, 모든 값의 제곱의 평균에 평균의 제곱을 빼서 구할 수 있습니다.

출처

Expected value – Wikipedia

산술평균

확률과 통계에서 데이터의 평균은 보통 산술평균을 의미합니다. 산술평균 (기대값)은 중심값으로서 데이터 값의 합을 데이터 수로 나눈 값입니다. 숫자 집합 x1, x2, …, xn의 산술평균은 일반적으로 “엑스 바(X bar)”라고 발음되는 $\bar {X}$로 표시됩니다. 집단의 모평균($\mu$ 또는 $\mu_{X}$로 표시)은 “뮤”라고 발음합니다. 집단에서 추출하여 얻은 여러 개의 표본의 산술평균을 집단의 표본평균 ($\bar {X}$)의 표집(Sample distribution)이라고 부릅니다.

확률 및 통계에서 집단의 모평균(기대값)은 확률분포 또는 그 분포로 특정되는 확률변수의 중심을 표현하는 대표적인 척도입니다. 확률변수 $X$의 이산확률분포의 경우, 평균은 그 값의 확률로 가중치화된 모든 값의 합과 동일합니다. 즉, $X$의 가능한 값 $x$와 그 확률$p (x)$의 곱을 취한 다음 이들을 모두 합하여 구합니다. $ \mu = \sum xp(x)$. 연속확률 분포의 경우에도 유사한 공식이 적용됩니다. 예를 들어, 구성원의 평균 키는 모든 구성원의 키를 합하여 전체 개체 수로 나눈 값과 같습니다. 모든 확률분포에 정의된 평균이 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 Cauchy 분포입니다.

집단의 표본평균은 집단의 모평균과 다를 수 있으며, 특히 표본크기가 작을수록 집단의 표본평균과 모평균은 다를 가능성이 높아집니다. 큰 수의 법칙은 표본의 크기가 클수록 집단의 표본평균이 집단의 모평균에 가까울 확률이 높다는 것을 나타냅니다.

출처

Mean – Wikipedia

가중평균

가중평균은 일반적인 산술평균(가장 일반적인 유형의 평균)과 비슷하지만 각 데이터 값이 평균에 동등하게 기여하지 않고 일부 데이터 값이 다른 값보다 더 많은 기여를 한다는 점이 다릅니다. 가중평균의 개념은 설명통계(기술통계)에서 사용되며 수학의 다른 영역보다 더 일반적인 형태로도 사용됩니다.

모든 가중치가 같다면 가중평균과 산술평균은 같습니다. 가중평균은 보통 산술평균과 비슷하게 작동하지만 Simpson의 역설에서 보이는 것과 같이 직관적이지 않은 속성도 있습니다.

출처

weighted arithmetic mean – Wikipedia

증앙값

중앙값은 데이터세트(유한집단 또는 표본 또는 이산확률분포)의 하반부와 상반부를 분리하는 값이며 “중간”값으로 간주 될 수 있습니다. 예를 들어, 데이터세트 {1, 3, 6, 7, 8, 9}에서 중앙값은 데이터 집합에서 네 번째로 크고 네 번째로 작은 숫자입니다. 연속적인 확률분포의 경우, 중앙값은 숫자가 상반부 또는 하반부로 정해질 가능성이 같은 값입니다. 중앙값은 통계 및 확률 이론에서 데이터 집합의 속성에 일반적으로 사용되는 척도입니다.

데이터를 요약하거나 설명할 때, 평균에 비해 중앙값의 좋은 점은 매우 크거나 작은 값으로 데이터의 대표값이 왜곡되지 않으므로 더 나은 대표성을 제공 할 수 있습니다, 예를 들어, 평균가계소득이나 평균자산과 같은 통계량을 이해할 때 적은 수의 매우 크거나 작은 데이터로 인해 평균은 극단적으로 왜곡 될 수 있습니다.반면에 가계소득의 중앙값은 “전형적인”수입이 무엇인지를 제시하는 더 좋은 방법 일 수 있습니다.이 때문에 중앙값은 중요한 통계에서 가장 신뢰할 만한 대표값이며 50 %의 분해점을 갖는 가장 믿을 만한 통계량이므로 데이터의 절반 이상이 실제와 다르지 않는 한 중앙값은 크게 달라지지 않습니다.

출처

Median – Wikipedia

가중중앙값

통계에서 표본(Sample)의 가중중앙값은 50% 가중 백분위 수입니다. 이것은 1988년에 F.Y.Edgeworth에 의해 처음 만들어졌습니다. 중앙값과 마찬가지로 중심 경향을 예상하는데 유용하며, 이상치에 더욱 근접합니다. 이것은 균일적이지 않은 통계적 무게(표본에서의 다양한 정밀도 측정)를 표현 가능하게 합니다.

출처

weighted median – Wikipedia

Reference

  1.