2.1. 이항분포

확률변수인 성공횟수($K$)가 시행횟수($N$)와 성공확률($P$)을 매개변수(parameter, 모수)로 가지는 이항분포를 따르면

$$K\sim B\left({n,p}\right)$$

$n$번 시행중에 $k$번 성공할 확률은 다음과 같이 확률질량함수로 주어집니다.

$$Pr\left({{K}{=}{k}}\right){=}{f}\left({k\,;n,p}\right){=}\left({\frac{n}{k}}\right){p}^{k}{\left({{1}{-}{p}}\right)}^{{n}{-}{k}}$$

확률변수 $X$가 이항분포를 따른다고 하면 다음과 같이 표현합니다.

$$X \sim B\left({n,p}\right)$$

$X$의 기대값은 다음과 같습니다.

$$\mathrm{E}\left[{X}\right]=np$$

분산은 다음과 같습니다.

$$\mathrm{Var}\left(X\right)=np\left({1-p}\right)$$

기대값은

$$\mathrm{E}\left[{X}\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}\cdot p_{i}}$$

분산은

$${\rm Var}\left({X}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{\left({x_{i}-\mathrm{E}[X]}\right)}^{2}}\cdot p_{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{x_{i}^{2}\cdot p_{i}}}-{\mathrm{E}[X]}^{2}$$

여기서,  $\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 \cdot p_i={\rm E}[X^2]$

분산등식은

분산 = 제곱의 평균 – 평균의 제곱

분산등식을 수식으로 표현하면

$$\rm{Var}\left({X}\right)=\mathrm{E}\left[{X^{2}}\right]-\mathrm{E}{\left[{X}\right]}^{2}$$

2.2. 이항분포 ~ 정규분포

$X\sim B\left({n,p}\right)$ 에서 $n$이 충분히 클 때 $X\sim N\left({np,\sqrt{np\left({1-p}\right)}}\right)$로 근사합니다.

$X\sim N\left({\mu ,\sigma^{2}}\right)$

이항분포 ANIMATION : 0과 1의 시행과 확률p를 갖는 시행을 n번하여 그 합을 확률변수로 합니다. 무한번 시행하고 확률을  막대그래프로 표현할 수 있습니다. 이 때 확률변수는양의 정수가 됩니다.

n이 점점 커질때 ( 동전의 개수, 갈톤의 분기점의 개수) -> 이항분포가 정규분포로 근사합니다.

확률변수 단위를 1로하고 범위를 100으로 하여 n을 1에서 100까지  animation, 막대그래프의 범위는 가로축은 0~100, 세로축은 0.5

$B\left({1\sim100,\ 0.5}\right)$

범위를 1로 고정시키고 단위를 1/n 으로 함. n을 1에서 100까지 animation, 막대그래프의 범위는 가로축은 0~1, 세로축은 0.5

$B\left({1\sim{{1}\over{100}},\ 0.5}\right)$

2.3. 정규분포

표준정규분포는 다음과 같습니다.

$y={1\over \sqrt{2\pi}}e^{-{1\over 2}x^2}$

평균 $\mu$와 분산 $\sigma^{2}$ 를 모수로 하고 정규분포를 가지는 모집단의  확률밀도함수입니다.

$f\left({X}\right)={{1}\over{\sqrt{2\pi}\sigma}}e^{-{{{\left({x-\mu}\right)}^{2}}\over{2\sigma^{2}}}},\ -\infty\leq X\leq+\infty$

3.2. 함수

=FACT(A3) : 숫자의 계승. A3에 있는 숫자의 계승을 계산함. 예를 들어, A3에 있는 숫자가 2이면, 2×1(2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함. A3에 있는 숫자가 3이면, 3×2×1(3곱하기2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함.

=POWER(C3,B3) : 거듭제곱. C3의 값을 B3의 값만큼 거듭제곱한 값을 계산해서 표시함.

=SQRT(D3) : 제곱근. D3에 있는 값의 제곱근을 계산해서 표시함.

=NORMDIST(F3,C3,E3,FALSE) : 정규분포 확률밀도. C3가 평균, E3가 표준편차인 정규분포에서 F3가 확률변수일때의 확률밀도를 계산해서 표시함. FALSE를 TRUE로 변경하면 누적확률밀도를 계산해서 표시함.

4.1. 참조

Reference

Normal distribution