수체계

2.1. 수체계

수체계(system of numbers)란 수학에서 사용되는 숫자들의 집합과 그들 간의 연산들의 규칙이 결정되어 있는 체계를 말합니다. 대표적으로 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등이 있습니다. 여기서, 복소수는 실수를 실수는 유리수를 유리수는 정수를 정수는 자연수를 포함합니다. 다르게 말하면, 자연수는 정수의 부분집합이고 정수는 유리수의 부분집합이고 유리수는 실수의 부분집합이고 실수는 복소수의 부분집합입니다. 수체계는 속성을 표현하는 변수를 모델링하기 때문에 속성이 반응하여 현상을 분석하여 문제를 해결하는 방법의 기반을 제공합니다. 

자연수

자연수(自然數, natural numbers)는 1, 2, 3, 4, 5, … 와 같이 기준의 양인 1과 그 기준의 합의 양으로 이루어진 집합입니다. 자연수 체계에서는 덧셈과 곱셈이 정의되어 있습니다. 즉, 두 자연수를 더하거나 곱할 때에는 반드시 자연수가 나옵니다. 하지만 자연수에서 자연수를 빼는 뺄샘과 자연수를 자연수로 나누는 나눗셈의 결과는 자연수가 아닐 수도 있습니다.

정수

정수(正數, integers)는 자연수에 0과 음의 자연수를 추가한 것입니다. 어떤 자연수의 음의 자연수는 그 자연수에 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되는 수입니다.  이러한 정수에서는 덧셈과 곱셈 외에 뺄셈도 정의되어 있습니다. 즉, 두 정수를 더하거나 빼거나 곱하면 반드시 정수가 나옵니다. 단, 정수를 정수로 나누는 나눗셈의 결과는 정수가 아닐 수도 있습니다.

유리수

유리수(有理數, rational numbers)는 정수에 분수의 형태로 나타낼 수 있는 수를 추가한 것입니다. 분수는 정수를 0을 제외한 정수로 나눈 것입니다. 유리수에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 모두 정의되어 있습니다. 즉, 두 유리수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나눈 결과도 모두 유리수가 됩니다. 유리수는 정수와 소수(小數, decimal)의 합으로 표현합니다. 여기서 소수(小數)는 0과 1사이의 값을 의미하며 십진법으로 표현합니다. 그리고 소수점(小數點, decimal point)은 십진법에서 정수(正數)와 소수(小數)를 구분하는 점입니다. 따라서 유리수를 십진법으로 표현하면 정수(正數)와 소수(小數)의 합이라고 할 수 있습니다. 유리수는 소수점이하 자리수가 유한한 유한소수(有限小數, finite decimal)와 무한한 무한소수(無限小數, infinite decimal, infinite series)로 표현할 수 있습니다. 한편, 제곱해서 2가 되는 수(2의 제곱근)와 원의 반지름과 면적의 비율을 나타내는 수(원주율)는 분수의 형태로 표현할 수 없는 데 이를 무리수(無理數, irrational numbers)라고 합니다.

실수

실수는 유리수에 무리수를 추가한 것입니다. 실수는 무한소수나 극한값을 이용하여 나타낼 수 있으며, 실수에서는 덧셈과 곱셈, 나눗셈, 제곱근, 거듭제곱근 등이 정의되어 있습니다.

복소수

복소수는 실수에 허수를 추가한 것입니다. 허수는 제곱하면 음수가 되는 수입니다. 허수의 양의 기준은 i로 표현합니다. 복소수는 실수와 허수를 더한 형태로  a와 b가 실수일 때, a+bi와 같은 형태로 나타냅니다. 복소수에서는 사칙연산이 정의되어 있습니다. 실수는 시각적으로 직선상의 점으로 표현할 수 있지만 복소수는 2차원 평면인 복소평면에서 원점을 시작으로 하는 벡터로 표현합니다.

2.2. 척도에 따른 수체계

비례척도에 따른 데이터의 수체계

척도에 따라 데이터(관측값)의 수체계가 결정됩니다. 비례척도가 적용된 관측도구로 구한 관측값(데이터는) 0과 양의 실수입니다. 실수를 정의역으로하는 정규분포와 같은 확률변수의 분포모델을 사용하여 범주간의 속성을 비교분석하거나 표본으로 모집단을 추론하거나 생성될 표본을 예측할 수 있습니다. 간격척도로 구한 데이터의 기준을 관측대상의 속성이 없어지는 절대영점으로 0으로 하고 기준으로부터의 간격척도의 각 간격의 값을 알면 실수에서 정립된 통계모델을 사용할 수 있습니다. 정리하면 명목척도로 관측된 데이터에 순서를 부여하고 간격을 부여하고 데이터가 표현하는 속성이 없어지는 0점을 찾으면 실수체계에서 정립된 통계모델을 사용하여 데이터분석을 수행할 수 있습니다. 반대로 비례척도와 간격척도를 인간과 친화적인 명목척도, 순서척도로 변화하기도 합니다.

통계적 분석을 위해서 명목척도와 순서척도를 간격척도나 비례척도로 변환

개체의 속성에 대한 분석을 하기 위해서는 우선 속성을 나타내는 변수를 관측하여야 합니다. 변수를 관측함에 있어 비례척도를 적용할 수 있도록 변수를 정의하는 것이 매우 중요합니다. 그 이유는 개체의 속성을 나타내는 변수가 확률변수이면 통계적인 분석을 시도할 수 있기 때문입니다. 그리고 대다수를 차지하는 속성인 정규분포를 분석하기 위해서는 평균과 분산이 필요합니다. 정규분포를 가지는 개체의 속성은 매개변수인 평균과 분산으로 표현됩니다. 여기서, 평균과 분산은 비례척도로 얻은 데이터로부터 추정할 수 있다는 점에서 비례척도의 효용성이 크다고 할 수 있습니다. 비례척도로 구한 데이터로는 높은 수준의 통계적 분석을 행 할 수 있습니다. 또한 시공간에서 모델링한 범주의 확률적 속성을 통한 예측을 행할 수도 있습니다. 한편, 간격척도를 비례척도화하는 방법의 예로는 다음 두 과정이 있습니다. 첫번째로 간격척도의 간격을 등간격으로 하고 등간격과 비례척도의 1과의 관계를 수식으로 표현합니다. 두번째로 간격척도의 위치의 원점과 비례척도의 0의 위치와의 관계를 수식으로 표현합니다. 분포의 위치를 표현하는 측도는 평균이 있고 분포의 크기를 표현하는 측도는 분산이 있습니다. 따라서 평균과 분산을 모두 구하기 위한 데이터(관측값)를 얻기 위해서는 비례척도를 가진 관측도구(측정도구)가 필요합니다.

2.3. 유한수체

유한수체(유한체, finite field, Galois field)는 원소의 개수가 유한한 체(field)를 말합니다. 유한수체의 특징은 그 크기가 항상 소수의 거듭제곱 형태로 나타납니다.

$$p^n$$

여기서, $p$는 소수(prime number)

$n$은 자연수

유한수의 체(field)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 것 제외)에 대해 닫혀 있는 대수적 구조를 의미하며, 이러한 연산에 대해 다음과 같은 공리를 만족합니다.

닫힘: 체의 모든 원소에 대해 덧셈과 곱셈 연산을 수행해도 결과는 항상 체 내의 원소입니다.

결합 법칙: 덧셈과 곱셈 모두에 대해 결합 법칙이 성립합니다.

가환 법칙: 덧셈과 곱셈 모두에 대해 가환 법칙이 성립합니다.

항등원의 존재: 덧셈에 대한 항등원(0)과 곱셈에 대한 항등원(1)이 존재합니다.

역원의 존재: 체의 모든 원소, a에 대해 덧셈 역원(-a)과 곱셈 역원(1/a, a ≠ 0)이 존재합니다.

분배 법칙: 곱셈과 덧셈에 대해 분배 법칙을 만족합니다.

유한수체의 예

유한수체의 간단한 예는 2진수와 5진수가 있습니다. 7진수가 있습니다. 모두 크기가 소수(素數)입니다. 2진수는 0과 1의 두 개의 수의 집합입니다. 2진수는 이분척도(binomial scale)인 “있음과 없음” 또는 “성공과 실패” 라는 개념으로 바꿀 수 있습니다. 5진수는 등간격인 숫자로 이루어진 {0,1,2,3,4}이고 집합의 크기인 5는 소수(素數)입니다. 10진수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9라는 10개의 숫자기호로 나타냅니다. 10진수의 개수는 10으로 소수(素數)가 아닙니다. 

2.4. 척도에 유한수체를 적용

척도가 유한수체를 나타내면 관측결과를 수치화하여 산술연산하더라도 서로 다른 정도를 나타냄을 보장합니다. 그리고 범주의 속성을 결정하는 척도의 각 항목은 명시적으로 구분할 수 있어야 합니다. 즉, 범주형 속성의 값은 서로 이질적이고 상호 배타적이어야 합니다.

명목척도에 유한수체를 적용

유한수체를 명목척도에 적용하기 위해 명목척도의 명목의 수를 소수(素數)로 합니다. 그리고 개체의 범주형 속성에 명목과 순서를 부여하여 각 범주를 순서대로 나열합니다. 순서대로 나열된 범주 사이에 수치를 가지는 간격을 부여하여 질적데이터를 양적데이터로 모델링합니다. 간격이 부여된 범주형 데이터는 데이터를 분석하여 위치를 나타내는 속성을 분석할 수 있습니다. 여기서 범주의 개수가 소수이면 범주의 위치 속성을 연속으로 모델링할 수 있습니다. 또한,  범주의 속성이 무(無)가 되는 0을 모델링하여 절대기준으로하고  양의 크기의 기준인 1과 그 단위를 모델링하면 범주의 명목을 범주형 확률변수에서 연속형 확률변수로 변환할 수 있습니다. 즉, 범주의 위치의 속성과 범주내의 개체의 퍼짐의 속성을 동시에 분석할 수 있습니다. 연속형 확률분포를 가지는 통계모델의 확률분포 모수(parameter)를 구하면 궁극적으로 개체의 속성을 생성하는 확률모델을 추정할 수 있습니다.  

2.5. 리커트척도

5점척도, 7점척도

 리커트척도(Likert scale)의 첫 단계를 속성이 존재하지 않는 상태로 하고 마지막 단계를 속성이 모두 있는 상태로 하는 순서척도(ordinal scale)입니다. 각 단계의 개수를 5단계, 7단계인 소수로 하고 각 단계에 간격을 부여하여 간격척도로 변환합니다. 리커트척도의 예를 보면,  “매우 그렇다”, “다소 그렇다”, “보통이다”, “다소 그렇지 않다”, “매우 그렇지 않다”와 같이 5단계를 텍스트로 표현합니다.  텍스트로 표현된 단계를 각각 0, 1, 2, 3, 4와 같은 5진수로 하여 리커트척도를 유한수체로 만듭니다. 이 리커트척도로 구한 데이터(관측값)를 연산한 결과는 유한수체의 공리를 만족합니다.

리커트척도를 적용한 관측도구

척도는 관측대상을 관측하는 관측도구에 적용됩니다. 그리고 척도는 관측대상인 개체의 속성을 표현합니다. 척도는 명목척도, 순서척도, 간격척도, 비례척도로 분류할 수 있습니다. 일반적인 리커트척도는 순서척도입니다. 관측도구는 적절한 척도를 포함하고 있어야 하고 정확하고 효율적이어야 합니다. 리커트척도가 적용된 관측도구는 범주형 속성을 가지는 개체의 속성의 범주와 그 범주의 순서를 관측합니다. 순서척도인 리커트척도에 간격을 부여하여 간격척도로 변환할 수 있습니다. 더 나아가 속성을 양(quantity, 量)으로 모델링하고 양의 기준(“0” 과 “1”)을 정의하여 리커트척도를 비례척도로 변환할 수 있습니다. 사회과학에서 리커트척도를 가지는 대표적인 관측도구는 설문이 있습니다.  

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

리커트 척도

리커트 척도는 그 발명자인 미국의 사회심리학자 Rensis Likert의 이름을 딴 심리측정 척도입니다. 이 척도는 연구 설문지에서 흔히 사용됩니다. 설문 연구에서 응답을 척도화하는 방식으로 가장 널리 사용되며, 때문에 ‘리커트 유형 척도(Likert-type scale)’라는 용어는 평가 척도(rating scale)와 종종 동의어로 사용되기도 하지만, 평가 척도에는 다른 유형들도 있습니다.

리커트는 척도 자체와 응답이 점수화되는 형식 사이를 구분하였습니다. 엄밀히 말하면, 리커트 척도는 전자만을 가리킵니다. 이 두 개념 사이의 차이는 리커트가 조사하려는 기본 현상과 그 현상을 나타내는 변동을 포착하는 방법 사이의 구분에서 나옵니다.

리커트 항목에 응답할 때, 응답자들은 일련의 진술에 대한 동의 또는 불일치의 수준을 대칭적인 동의-불일치 척도에서 지정합니다. 따라서, 척도는 주어진 항목에 대한 그들의 감정의 강도를 포착합니다.

척도는 개별 항목(질문) 세트에 대한 설문지 응답의 단순한 합계나 평균으로 생성될 수 있습니다. 이렇게 하면, 리커트 척도는 각 선택 사이의 거리가 동일하다고 가정합니다. 많은 연구자들은 높은 내적 일관성을 보이는 항목 세트를 사용하며, 동시에 연구 대상 전체 영역을 포착할 것이라고 가정합니다. 다른 연구자들은 “모든 항목이 서로의 복제본이라고 가정하거나 다시 말해 항목들이 병렬 도구로 간주된다”는 기준을 고수합니다. 반면, 현대의 시험 이론은 각 항목의 난이도를 항목 척도화에 포함시킬 정보로 간주합니다.

리커트 척도의 등간성에 대한 논의는 연구자들 사이에서 여전히 진행 중인 토론의 주제입니다. 일부 연구자들은 리커트 척도를 등간척도로 간주하여 적절한 통계 분석을 수행하며, 다른 연구자들은 그렇지 않다고 주장합니다.

특히 리커트 척도의 등간성을 수학적으로 증명한 구체적인 참고문헌을 제공하기는 어렵습니다. 이는 대부분의 연구가 통계적 또는 실증적인 근거를 기반으로 하는데, 수학적 증명 방식과는 다르기 때문입니다. 리커트 척도의 성질과 사용에 대한 더 깊은 연구나 이해를 원한다면, 측정 이론 (measurement theory) 또는 척도 이론 (scale theory) 관련 문헌을 참조하는 것이 좋습니다.

Reference

Likert scale – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Wikipedia “Measure”

Wikipedia “Scale”

Wikipedia “Scale analysis(statistics)”

나무위키 “척도”

Britannica “measurement scale”