2.1. 기준과 단위

기준으로서 0

0은 “없음”을 나타냅니다. 0은 정수, 유리수, 실수, 복소수 등의 수체계에서 기준으로 사용됩니다. 어떤 수를 0으로 더하거나 빼도 그 수는 변하지 않습니다. 또한, 어떤 수를 0으로 곱하면 결과는 항상 0입니다. 분수에서 0은 분모가 될 수 없습니다. 즉, 0으로 나누는 것은 정의되지 않은 연산입니다. 0은 양수와 음수의 경계이며 더하기와 빼기의 항등원이 됩니다.

단위로서 1

1은 0과 대비되어 “있음”을 의미합니다. 1은 정수, 유리수, 실수 등의 수체계에서 단위로 사용됩니다. 어떤 수에 1을 곱하거나 나누어도 그 수는 변하지 않습니다. 그래서  “1”은 곱하기의 기준이 되고 더하기의 단위가 됩니다. 1은 진분수 (proper fraction; 분자가 분모보다 작은 분수로, 그 값이 1보다 작음)와 가분수(improper fraction; 분자가 분모보다 큰 분수로, 그 값이 1보다 큼)의 경계이며 1은 곱하기와 나누기의 항등원이 됩니다.

점(point)은 크기가 없는 개체(object)입니다. 점의 위치는 공간에서 점 자체입니다. 점(point)의 크기는 0입니다.

선(line)은 셀수 없는 많은 점이 모여서 됩니다. 공간에서 선의 위치는 두 점으로 결정됩니다. 선의 단위는 크기가 1인 선분(line segment)입니다.

면(plane)은 셀수 없는 많은 선(line)이 모여서 됩니다. 공간에서 면의 위치는 세 점으로 결정됩니다. 면의 단위는 크기가 1×1인 면적(area)입니다.

공간(space)은 셀수 없는 많은 면(plane)이 모여서 됩니다. 공간의 단위는 크기가 1×1×1인 부피(volume)입니다.

물리적 기준과 단위에 0과 1을 적용

0에 물리적인 기준이 붙으면 우리가 인지할 수 있는 기준이 됩니다. 예를 들어, 절대온도 0K에서는 분자의 운동이 없는 상태로 온도의 기준이 됩니다. 그리고 1에 물리적인 단위가 붙으면 우리가 인지할 수 있는 단위가 됩니다. 예를 들어, 길이의 단위로는 1m, 질량의 단위로는 1kg이 있습니다. 측정값(데이터)에 단위를 붙일 때는 ‘1’을 생략하고 기호만 측정값에 붙여 사용합니다.

2.2. 척도에서의 기준

비율척도에서의 기준 : 절대적인 기준으로서의 0과 비율의 기준인 1

비율척도에서의 0은 ‘완전한 부재’ 또는 ‘없음’을 의미합니다. 예를 들어, 무게나 길이에서 0은 실제로 아무것도 없음을 나타냅니다. 예를 들어, 절대적인 0은 온도에서의 절대영도(absolute zero)를 의미합니다. 이는 온도가 이론적으로 도달할 수 있는 최저점으로, 모든 분자 운동이 정지하는 지점입니다. 절대영도는 켈빈(K) 온도 척도에서 0K, 섭씨(C) 척도에서는 약 -273.15°C, 화씨(F) 척도에서는 약 -459.67°F에 해당합니다.

비율척도에서 비율의 기준은 양(quantity)으로 1을 사용합니다.

간격척도에서의 기준 : 상대적인 기준으로서의 0과 등간격의 기준인 1

상대적인 0은 간격척도에서 사용되는 0을 의미합니다. 이는 절대적인 ‘없음’을 나타내지 않고, 단지 특정한 기준점 또는 시작점을 나타냅니다. 예를 들어, 섭씨온도척도에서의 0도는 물이 얼기 시작하는 지점을 나타내지만, 이는 온도가 ‘없다’는 것을 의미하지 않습니다. 또 다른 예로는 년도에서의 기원이 있습니다. 기원은 기원전(BCE, before common era)과 기원후(CE, common era)를 나누는 서기 0년입니다. 따라서, 상대적인 0은 특정한 상황이나 상태의 정의라고 할 수 있으며, 절대적인 없음의 의미는 없습니다. 따라서 간격척도의 기준으로서의 0은 관측 대상이나 상황에 따라 다르게 설정될 수 있습니다.

간격척도에서 간격의 기준은 두 위치 사이의 거리로 1을 사용합니다. 따라서 간격척도는 등간격의 단위로 이루어집니다.

간격척도에서 기준 원점에서의 거리는 상대적인 방향을 가질 수 있습니다. 이 때 상대적인 방향은 양과 음의 기호로 구분하여 표현할 수 있습니다.

순서척도에서의 기준

순서척도에서 척도점들 중에서 한 척도점을 0으로 정하는 것은 척도점 사이에 간격을 주기 위한 과정이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어 3개이상의 척도를 가지는 경우, 척도점을 “좋아한다”, “보통이다”, “싫어한다”로 하는 순서척도로 정한 경우, “보통이다”를 원점인 0으로 볼 수 있는가는 일반적으로 응답자마다 “보통이다”라는 느낌의 정의가 다를 것이라 추정할 수 있기 때문에 원점으로 보기가 어렵습니다. 또 다른 예를 들어 보면, 척도점을 “좋아한다”, “싫어한다”, “관심이 없다”로 하는 순서척도로 정한 경우, “관심이 없다”를 원점인 0으로 볼 수 있는가는 생각해 볼 수 있지만 문항과 검사환경에 많은 조건과 설명을 필요로 합니다.

명목척도에서의 기준

명목척도에서는 어떠한 기준도 없다고 할 수 있습니다. 하지만 명목(척도점)이 2개만 있는 경우, 하나를 기준으로 한다면 다른 하나가 값이 될 수 있습니다. 특히, 하나를 “없다”는 0으로 정하고 다른 하나를 “있다”는 1로 정할 수 있다면 “없다”를 기준으로 정하고 순서(order)와 간격(interval)과 양(quantity)을 모두 정할 수 있습니다.

2.3. 척도에서의 단위

간격척도에서의 단위

간격척도는 등간격으로 구성되며 그 등간격은 간격척도의 단위를 의미합니다. 간격척도는 두 관측대상의 위치간의 차이를 측정하는 데 사용되며, 차이는 단위의 배수로 표현되며 어느 위치를 기준으로 하는가에 따라 양과 음의 부호를 가지게 됩니다. 간격척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정됩니다. 예를 들어 온도를 관측하는 경우, 단위는 도(degree)로 같지만 섭씨, 화씨,  절대온도 3가지의 온도척도를 사용할 수 있습니다. 섭씨와 절대온도라는 온도척도에서 1°는 일정한 온도간격을 나타내며 단위입니다. 시간을 나타내는 척도는 초, 분, 시 등이 있으며 대응하는 단위는 s, min, hour입니다. 단위를 표기할 때 “1”은 생략합니다.

비율척도에서의 단위

비율척도(ratio scale)에서의 “단위”는 간격척도에서와 같이 측정값 간의 간격을 나타내지만 간격척도에는 없는 절대적인 0을 기준으로 합니다. 따라서 비율척도에서의 단위는 측정값 간의 차이뿐만아니라 비율의 의미도 가집니다. 비율척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정되며, 측정값 간의 일정한 간격과 비율을 표현하는 데 사용됩니다. 이러한 단위를 통해 측정대상 간의 차이와 비율을 정확하게 비교하고 해석할 수 있습니다. 예를 들면, 길이에서 1미터(m)는 특정시간동안 빛이 이동한 거리를 말합니다. 그리고 무게에서 1킬로그램(kg)은 물 1리터(liter)의 무게를 말합니다.

비례척도에서의 단위

비례척도(proportion scale)에서의 “단위”는 백분율(%, 퍼센트)를 많이 사용합니다. 0이상 1이하의 실수 ([0, 1])를 사용할 수도 있습니다. 비례척도는 주로 범주를 관측할 때 사용합니다. 이 경우 관측값은 이산형데이터(discret data)입니다.

3.2. 함수

=TRANSPOSE(C3:C5) : 지정한 범위에 있는 데이터의 행과 열을 바뀜. C3와 C5에 있는 데이터는 열로 구성이 되는데, 이를 행으로 바꿈. 전치행렬을 만들 때 사용할 수 있음.

=MMULT(C3:C5,E3:G3) : 범위로 지정한 두 행렬의 곱. C3에서 C5에 있는 행렬과 E3에서 G3에 있는 행렬의 곱을 계산해서 구함.

4.1 용어

Dimension – Wikipedia