수체계

2.1. 물리에서 사용하는 척도와 단위

물리적인 양을 측정할 때, 관측도구를 사용합니다. 관측도구에는 척도(scale)와 단위(unit)가 적용됩니다. 척도는 특정한 속성을 측정하기 위해 사용합니다. 척도에 따르는 단위는 측정의 기본적인 ‘양(quantity)’을 나타냅니다. 단위는 보통 국제적으로 표준화되어 있습니다. 예를 들어, 온도를 측정할 때 ‘도(°)’는 단위이며, 섭씨나 화씨는 이 온도를 표현하는 척도입니다.

기본 물리량의 척도와 단위

주요 물리량의 보편적인 척도와 단위

2.2. 경제에서 사용하는 척도와 단위

경제에서 나타나는 개념을 양으로 표현할 때 그 양을 표현하기 위해 척도와 그에 따른 단위를 사용합니다.

경제에서의 주요 척도와 단위

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

리커트 척도

리커트 척도는 그 발명자인 미국의 사회심리학자 Rensis Likert의 이름을 딴 심리측정 척도입니다. 이 척도는 연구 설문지에서 흔히 사용됩니다. 설문 연구에서 응답을 척도화하는 방식으로 가장 널리 사용되며, 때문에 ‘리커트 유형 척도(Likert-type scale)’라는 용어는 평가 척도(rating scale)와 종종 동의어로 사용되기도 하지만, 평가 척도에는 다른 유형들도 있습니다.

리커트는 척도 자체와 응답이 점수화되는 형식 사이를 구분하였습니다. 엄밀히 말하면, 리커트 척도는 전자만을 가리킵니다. 이 두 개념 사이의 차이는 리커트가 조사하려는 기본 현상과 그 현상을 나타내는 변동을 포착하는 방법 사이의 구분에서 나옵니다.

리커트 항목에 응답할 때, 응답자들은 일련의 진술에 대한 동의 또는 불일치의 수준을 대칭적인 동의-불일치 척도에서 지정합니다. 따라서, 척도는 주어진 항목에 대한 그들의 감정의 강도를 포착합니다.

척도는 개별 항목(질문) 세트에 대한 설문지 응답의 단순한 합계나 평균으로 생성될 수 있습니다. 이렇게 하면, 리커트 척도는 각 선택 사이의 거리가 동일하다고 가정합니다. 많은 연구자들은 높은 내적 일관성을 보이는 항목 세트를 사용하며, 동시에 연구 대상 전체 영역을 포착할 것이라고 가정합니다. 다른 연구자들은 “모든 항목이 서로의 복제본이라고 가정하거나 다시 말해 항목들이 병렬 도구로 간주된다”는 기준을 고수합니다. 반면, 현대의 시험 이론은 각 항목의 난이도를 항목 척도화에 포함시킬 정보로 간주합니다.

리커트 척도의 등간성에 대한 논의는 연구자들 사이에서 여전히 진행 중인 토론의 주제입니다. 일부 연구자들은 리커트 척도를 등간척도로 간주하여 적절한 통계 분석을 수행하며, 다른 연구자들은 그렇지 않다고 주장합니다.

특히 리커트 척도의 등간성을 수학적으로 증명한 구체적인 참고문헌을 제공하기는 어렵습니다. 이는 대부분의 연구가 통계적 또는 실증적인 근거를 기반으로 하는데, 수학적 증명 방식과는 다르기 때문입니다. 리커트 척도의 성질과 사용에 대한 더 깊은 연구나 이해를 원한다면, 측정 이론 (measurement theory) 또는 척도 이론 (scale theory) 관련 문헌을 참조하는 것이 좋습니다.

Reference

Likert scale – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Wikipedia “Measure”

Wikipedia “Scale”

Wikipedia “Scale analysis(statistics)”

나무위키 “척도”

Britannica “measurement scale” 

2.1. 기준과 단위

기준으로서 0

0은 “없음”을 나타냅니다. 0은 정수, 유리수, 실수, 복소수 등의 수체계에서 기준으로 사용됩니다. 어떤 수를 0으로 더하거나 빼도 그 수는 변하지 않습니다. 또한, 어떤 수를 0으로 곱하면 결과는 항상 0입니다. 분수에서 0은 분모가 될 수 없습니다. 즉, 0으로 나누는 것은 정의되지 않은 연산입니다. 0은 양수와 음수의 경계이며 더하기와 빼기의 항등원이 됩니다.

단위로서 1

1은 0과 대비되어 “있음”을 의미합니다. 1은 정수, 유리수, 실수 등의 수체계에서 단위로 사용됩니다. 어떤 수에 1을 곱하거나 나누어도 그 수는 변하지 않습니다. 그래서  “1”은 곱하기의 기준이 되고 더하기의 단위가 됩니다. 1은 진분수 (proper fraction; 분자가 분모보다 작은 분수로, 그 값이 1보다 작음)와 가분수(improper fraction; 분자가 분모보다 큰 분수로, 그 값이 1보다 큼)의 경계이며 1은 곱하기와 나누기의 항등원이 됩니다.

점(point)은 크기가 없는 개체(object)입니다. 점의 위치는 공간에서 점 자체입니다. 점(point)의 크기는 0입니다.

선(line)은 셀수 없는 많은 점이 모여서 됩니다. 공간에서 선의 위치는 두 점으로 결정됩니다. 선의 단위는 크기가 1인 선분(line segment)입니다.

면(plane)은 셀수 없는 많은 선(line)이 모여서 됩니다. 공간에서 면의 위치는 세 점으로 결정됩니다. 면의 단위는 크기가 1×1인 면적(area)입니다.

공간(space)은 셀수 없는 많은 면(plane)이 모여서 됩니다. 공간의 단위는 크기가 1×1×1인 부피(volume)입니다.

물리적 기준과 단위에 0과 1을 적용

0에 물리적인 기준이 붙으면 우리가 인지할 수 있는 기준이 됩니다. 예를 들어, 절대온도 0K에서는 분자의 운동이 없는 상태로 온도의 기준이 됩니다. 그리고 1에 물리적인 단위가 붙으면 우리가 인지할 수 있는 단위가 됩니다. 예를 들어, 길이의 단위로는 1m, 질량의 단위로는 1kg이 있습니다. 측정값(데이터)에 단위를 붙일 때는 ‘1’을 생략하고 기호만 측정값에 붙여 사용합니다.

2.2. 척도에서의 기준

비율척도에서의 기준 : 절대적인 기준으로서의 0과 비율의 기준인 1

비율척도에서의 0은 ‘완전한 부재’ 또는 ‘없음’을 의미합니다. 예를 들어, 무게나 길이에서 0은 실제로 아무것도 없음을 나타냅니다. 예를 들어, 절대적인 0은 온도에서의 절대영도(absolute zero)를 의미합니다. 이는 온도가 이론적으로 도달할 수 있는 최저점으로, 모든 분자 운동이 정지하는 지점입니다. 절대영도는 켈빈(K) 온도 척도에서 0K, 섭씨(C) 척도에서는 약 -273.15°C, 화씨(F) 척도에서는 약 -459.67°F에 해당합니다.

비율척도에서 비율의 기준은 양(quantity)으로 1을 사용합니다.

간격척도에서의 기준 : 상대적인 기준으로서의 0과 등간격의 기준인 1

상대적인 0은 간격척도에서 사용되는 0을 의미합니다. 이는 절대적인 ‘없음’을 나타내지 않고, 단지 특정한 기준점 또는 시작점을 나타냅니다. 예를 들어, 섭씨온도척도에서의 0도는 물이 얼기 시작하는 지점을 나타내지만, 이는 온도가 ‘없다’는 것을 의미하지 않습니다. 또 다른 예로는 년도에서의 기원이 있습니다. 기원은 기원전(BCE, before common era)과 기원후(CE, common era)를 나누는 서기 0년입니다. 따라서, 상대적인 0은 특정한 상황이나 상태의 정의라고 할 수 있으며, 절대적인 없음의 의미는 없습니다. 따라서 간격척도의 기준으로서의 0은 관측 대상이나 상황에 따라 다르게 설정될 수 있습니다.

간격척도에서 간격의 기준은 두 위치 사이의 거리로 1을 사용합니다. 따라서 간격척도는 등간격의 단위로 이루어집니다.

간격척도에서 기준 원점에서의 거리는 상대적인 방향을 가질 수 있습니다. 이 때 상대적인 방향은 양과 음의 기호로 구분하여 표현할 수 있습니다.

순서척도에서의 기준

순서척도에서 척도점들 중에서 한 척도점을 0으로 정하는 것은 척도점 사이에 간격을 주기 위한 과정이라고 볼 수 있습니다. 예를 들어 3개이상의 척도를 가지는 경우, 척도점을 “좋아한다”, “보통이다”, “싫어한다”로 하는 순서척도로 정한 경우, “보통이다”를 원점인 0으로 볼 수 있는가는 일반적으로 응답자마다 “보통이다”라는 느낌의 정의가 다를 것이라 추정할 수 있기 때문에 원점으로 보기가 어렵습니다. 또 다른 예를 들어 보면, 척도점을 “좋아한다”, “싫어한다”, “관심이 없다”로 하는 순서척도로 정한 경우, “관심이 없다”를 원점인 0으로 볼 수 있는가는 생각해 볼 수 있지만 문항과 검사환경에 많은 조건과 설명을 필요로 합니다.

명목척도에서의 기준

명목척도에서는 어떠한 기준도 없다고 할 수 있습니다. 하지만 명목(척도점)이 2개만 있는 경우, 하나를 기준으로 한다면 다른 하나가 값이 될 수 있습니다. 특히, 하나를 “없다”는 0으로 정하고 다른 하나를 “있다”는 1로 정할 수 있다면 “없다”를 기준으로 정하고 순서(order)와 간격(interval)과 양(quantity)을 모두 정할 수 있습니다.

2.3. 척도에서의 단위

간격척도에서의 단위

간격척도는 등간격으로 구성되며 그 등간격은 간격척도의 단위를 의미합니다. 간격척도는 두 관측대상의 위치간의 차이를 측정하는 데 사용되며, 차이는 단위의 배수로 표현되며 어느 위치를 기준으로 하는가에 따라 양과 음의 부호를 가지게 됩니다. 간격척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정됩니다. 예를 들어 온도를 관측하는 경우, 단위는 도(degree)로 같지만 섭씨, 화씨,  절대온도 3가지의 온도척도를 사용할 수 있습니다. 섭씨와 절대온도라는 온도척도에서 1°는 일정한 온도간격을 나타내며 단위입니다. 시간을 나타내는 척도는 초, 분, 시 등이 있으며 대응하는 단위는 s, min, hour입니다. 단위를 표기할 때 “1”은 생략합니다.

비율척도에서의 단위

비율척도(ratio scale)에서의 “단위”는 간격척도에서와 같이 측정값 간의 간격을 나타내지만 간격척도에는 없는 절대적인 0을 기준으로 합니다. 따라서 비율척도에서의 단위는 측정값 간의 차이뿐만아니라 비율의 의미도 가집니다. 비율척도에서의 단위는 측정대상과 측정의 목적에 따라 결정되며, 측정값 간의 일정한 간격과 비율을 표현하는 데 사용됩니다. 이러한 단위를 통해 측정대상 간의 차이와 비율을 정확하게 비교하고 해석할 수 있습니다. 예를 들면, 길이에서 1미터(m)는 특정시간동안 빛이 이동한 거리를 말합니다. 그리고 무게에서 1킬로그램(kg)은 물 1리터(liter)의 무게를 말합니다.

비례척도에서의 단위

비례척도(proportion scale)에서의 “단위”는 백분율(%, 퍼센트)를 많이 사용합니다. 0이상 1이하의 실수 ([0, 1])를 사용할 수도 있습니다. 비례척도는 주로 범주를 관측할 때 사용합니다. 이 경우 관측값은 이산형데이터(discret data)입니다.

3.2. 함수

=TRANSPOSE(C3:C5) : 지정한 범위에 있는 데이터의 행과 열을 바뀜. C3와 C5에 있는 데이터는 열로 구성이 되는데, 이를 행으로 바꿈. 전치행렬을 만들 때 사용할 수 있음.

=MMULT(C3:C5,E3:G3) : 범위로 지정한 두 행렬의 곱. C3에서 C5에 있는 행렬과 E3에서 G3에 있는 행렬의 곱을 계산해서 구함.

4.1 용어

Dimension – Wikipedia

2.1. 복제(複製)와 자연상수

은행A는 예금자와 합의한 기간 동안 예금액을 복제해주는(2배로 불려 주는) 은행입니다. 다르게 표현하면 예금액에 더해 예금액과 같은 금액의 이자를 주는 은행입니다. 

$$Y=I+I\dfrac{T}{T}=2I$$

여기서 $Y$는 출금액

$I$는 예금액

$T$는 합의한 기간

예를 들어, 예금자와 은행이 합의한 예치기간을 1년으로하고 에금액을 1억으로 하면 합의한 기간인 1년 후에 예금자는 예금액의 2배인 2억을 출금할 수 있습니다. 다르게 표현하면 예금액 1억과 불려진 금액(이자)인 1억의 합이 출금액 2억원이 됩니다.

$$Y=1+1\dfrac{1}{1}=2 \,\, \text{억원}$$

은행B는 은행A와 마찬가지로 합의된 기간 동안 예금액을 2배로 불려주는데, 은행A와 다른 점은 합의된 예치기간내라도 출금을 할 수 있고 출금시 원금과 예치기간에 비례한 이자를 주는 은행입니다.

$$Y=I+I\dfrac{t}{T}$$

여기서 $Y$는 출금액

$I$는 예금액

$T$는 합의한 기간

$t$는 예치한 기간 ; $t  ≤ T$

예를 들어, 예금자와 은행이 합의한 예치기간을 1년으로 하고 1억을 예금하고 반년 후에 출금하면 예금 1억과 이자 0.5억원을 받습니다. 이를 다시 남은 반년간 예치하면 입금 1.5억과 이자 0.75억원을 받습니다. 정리하면, 합의한 기간을 반으로 나누어 입금과 출금을 연속적으로 진행하면 합의한 기간인 1년 후에 2.25억원을 받습니다.

$$Y=\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right) +\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{1}{2}=\left(1+1\cdot\dfrac{1}{2}\right)^2 \text{억원}$$

위식을 일반화하면

$$Y=\left(I+I\cdot\dfrac{1}{n}\right)^n$$

여기서,  $Y$는 합의기간 후의 출금액

$I$는 처음 입금액

$n$은 1기간(표준화된 합의기간) 동안 “입금하고 출금하기” 회수

위 두가지 결과로 추론하면 예금자는 은행B를 선택하고 입금과 출금을 많이 하면 할수록 합의된 기간이 지난 후 더 많은 금액을 받을 수 있습니다. 또한, 입금과 출금을 연속적으로 반복하면 합의된 기간 후의 출금액은 수렴하며 최대출금액이 됩니다. 이를 다음식과 같이 일반화할 수 있습니다.  첫 입금액($I$)가 1이고 합의한 기간을 1로하면 출금액은 수렴하는 데 이 수렴값을 자연상수(Euler’s number, natural constant, $e$)라고 합니다. 자연상수($e$)는 무리수이며 정수, 2와 반복하지 않는 무한소수,  $0.718\cdots$의 합입니다.

$$Y=\lim_{n \to \infty} (I+I\cdot\dfrac{1}{n})^n=I^n e$$

여기서 $Y$는 합의기간 후 출금액

$I$는 처음 입금액

$n$은 “입금하고 출금하기” 횟수

위의 결과를 종합하면 정해진 1단위금액을 합의된 1단위시간동안 복제하는(2배로 만들어 주는) 은행이 있다면 1단위시간동안 입출금을 무한번 반복하면 1단위시간 후의 출금액은 수렴하며 가능한 최대출금액이 됩니다.

2.2. 붕괴(崩壞, decay)와 자연상수

방사성물질 A는 일정기간이 지나면 붕괴하는(질량이 반으로 주는) 물질입니다.

$$Y=I-\dfrac{I}{2}\dfrac{T}{T}=\dfrac{1}{2}I$$

여기서 $Y$는 반감기가 지난 후의 질량

$I$는 처음 질량

$T$는 반감기

예를 들어, 방사성물질 A가 반감기가 1년이고 처음 질량을 1g으로 하면 1년 후에 질량은 $\dfrac{1}{2}\mathrm{g}$이 됩니다.

$$Y=1-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{2}\mathrm{g}$$

방사성물질A가 연속적으로 붕괴하도록 하는 환경이 조성된다면 방사성물질A의 질량은 다음식으로 표현할 수 있습니다.

$$Y=\left(I-I\cdot\dfrac{1}{n}\right)^n$$

여기서 $Y$는 반감기가 지난 후의 질량

$I$는 처음 질량

$n$은 1기간(반감기) 동안 붕괴회수

붕괴회수를 극대화하면 다음과 같습니다.

$$Y=\lim_{n \to \infty} (I-I\cdot\dfrac{1}{n})^n=I^n e^{-1}$$

여기서 $Y$는 남은 질량

$I$는 처음질량 : $I$가 1이면 $Y$는 $e$로 수렴

$n$은 붕괴회수

위의 결과를 종합하면 처음 질량이 일정기간 동안 반이 되는 방사성원소가 있다면 그 기간동안 붕괴를 연속적으로 진행하면 붕괴 후의 질량은 수렴합니다. 이 때의 수렴된 값의 역수를 자연상수라 합니다. 자연상수는 무리수이며 $2.718\cdots$입니다.

2.3. 재귀식(recursive formula)과 자연상수

팩토리얼(factorial)은 다음과 같이 정의됩니다.

$$n!=n\times(n-1)\times, \ldots , \times 1$$

여기서, $n$은 0과 자연수이며 $0!=1$ 이고 $1!=1$

팩토리얼을 재귀식(recursive formula)으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$f(0)=1$$

$$f(n)=n \times f(n-1) \,\, \text{for} \,\, n \gt 0$$

자연상수를 재귀식으로 표현하면 다음과 같고 $n$이 증가하면 자연상수에 가까워집니다.

$$e(0)=1$$

$$e(n)=e(n-1) \times \dfrac{1}{f(n)} \,\, \text{for} \,\, n \gt 0$$

자연상수를 무한급수형태의 재귀함수로 표현하면 다음과 같습니다.

$$e=\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{1}{n!}$$

2.3. 미분방정식과 자연상수

다음 미분방정식은 미분값이 값의 배수와 같음을 나타내는 방정식입니다. 즉, $x$에 대한 $y$의 변화율이 $y$자신에 비례하는 모델입니다. 이러한 유형의 방정식은 자연 세계에서 많이 발견되며, 예를 들어 방사성붕괴나 인구성장 모델이 있습니다.

$$\dfrac{dy}{dx}=ky$$

여기서, $y$는 종속변수

$x$는 독립변수

$k$는 상수

이 미분방정식을 만족시키는 함수는 다음과 같습니다

$$y=Ce^{kx}$$

여기서, $e$는 자연상수

$C$는 초기 조건에 따라 결정되는 상수

$k$는 상수

자연상수는 이러한 유형의 미분방정식을 만족하는 지수함수에서 나타나며, 지수적 성장이나 감소를 모델링하는 데 중요한 역할을 합니다.

2.4. 지수함수와 자연상수

자신을 $x$번 곱해도 자신이 되는 수를 1로 정의하며 지수함수의 밑의 기준이 됩니다. 

$$1^x = 1$$

모든 실수는 자신을 0번 곱하는 것을 1로 정의하며 0은 지수함수의 지수의 기준이 됩니다.

$$a^0 \equiv 1$$

지수함수는 다음과 같이 표현합니다.

$$y=f(x)=a^x$$

여기서, $a$는 양의 실수

$x$가 0일 때의 $x$에 대한 $y$의 변화율(기울기)을 표현하면

$$f^{\prime}(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{0+\Delta x}-a^0}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^0(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=a^0\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

여기서,  $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$는 수렴

$a=2$이면 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=0.6931472\cdots$

$a=3$이면 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1.0986123\cdots$

$f^{\prime}(0)=a^0\cdot \ln a=1$일 때의 $a$를 구하면 $a$는 $2.718\cdots$인 무리수이며 이를 자연상수 $e$라고 합니다.

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$$

여기서,  $a$는 $2.718\cdots$인 무리수이며 자연상수

지수함수의 미분함수(도함수)를 일반화하면

$$f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=f(x)\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\right)=f(x)g(a)$$

여기서, $a^{x+\Delta x}=a^{x} a^{\Delta x}$

$0 < a$

$g(a)$는 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$이며 $a$에 따라 다른 값으로 수렴하는 함수

2.5. 자연상수 (Natural constant, $e$) 성질

자신을 $x$번 곱해서 나오는 값이 $x$에서의 기울기인 수가 자연상수 $e$입니다. 자연상수($e=2.718\cdots$)는 무리수입니다. $e$를 $x$번 곱해서 나오는 값인  $e^x$을 두 변수, $x$와 $y$가 이루는 직교좌표계에서 함수로 표현하면

$$y=f(x)=e^x$$

원함수를 미분하여 표현하면

$$\dfrac{dy}{dx}=f^{\prime}(x) =\dfrac{d(e^x)}{dx} = e^x$$

원함수를 적분하여 표현하면

$$\int ydx=F(x)=\int_{-\infty}^{x}e^tdt= e^x$$

여기서,  $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0$

원함수와 미분함수와 적분함수가 모두 같습니다. 모두 자연상수가 밑이 되는 지수함수입니다. 자연상수를 밑으로 하는 지수함수, 즉, 자연 지수함수는 정의역에 따라 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$$f(x)=e^x$$

여기서,  $x < 0$ 이면  $f(x)=\left(\dfrac{1}{e}\right)^{ㅣxㅣ}$

$x = 0 $ 이면  $f(x)= 1$

$x > 0$ 이면  $f(x)=e^x$

단위기간을 나눈 무한횟수($n$)로 표현하면

$$e=\lim_{n \to \infty} \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)^{n}$$

단위기간의 나누어진 극소시간($t$)로 표현하면

$$e=\lim_{t \to 0} \left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}=e$$

자연상수를 급수(series)로 표현하면

$$\eqalign{e=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!} &= \dfrac{1}{0!} + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots \cr&= \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1\cdot 2} + \dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots}$$

자연로그와의 관계는 

$${\rm ln}\left(e^x\right) = x \,\, , \,\, e^{{\rm ln} (x)} = x$$

가우스 적분

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$

임의의 가우스적분(arbitrary Gaussian function)

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx=\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}$$

베르누이 시행

$$\binom {n}{k}\left({\dfrac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)^{n-k}$$

베르누이 시행에서 $k$가 0이고 $n$이 무한대이면

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(1-{\dfrac {1}{n}}\right)^{n}=\dfrac{1}{e}$$

로그함수 미분

$$\dfrac {d}{dt}\log _{e}t=\dfrac {1}{t}$$

로그함수 적분

$$\int _{1}^{e}{\dfrac {1}{t}}\,dt=1$$

자연 지수함수의 생성상수가 $\tau$일 때

$$\tau =\dfrac{f(t)}{f'(t)}$$

$$f(t+\tau )=ef(t)$$

2.6. 자연상수 시각화

극좌표계

극좌표계에서 원점에서의 거리, $r$이 시간($t$)에 따라 지수함수적으로 작아지고 각속도($\dot{\theta}$)가 상수인 $2\pi$로 등속일 때 2차원 평면에서 점의 움직임을 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\dfrac{dr}{dt}= \left(\dfrac{1}{e}\right)^t$$

여기서, 시간($t$)는 0에서 시작하여 커지는 실수

점의 각속도

$$\dfrac{d\theta}{dt}=2\pi$$

여기서, 시간($t$)는 0에서 시작하여 커지는 실수. 그리고 $\theta$는 직각좌표계의 $x$축 방향에서 시작

직각좌표계

점의 $x$축에서의 출현 횟수는 단위시간 1당 1번

$$\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}e^t$$

여기서,  $\dfrac{dl}{dt}=2{\pi}\dfrac{dr}{dt}$

모든 각도에서 점이 무한대로 있고 운동하면

2.7. 자연상수 적용

복리 적금

복리 적금의 원금과 이자의 합계(원리 합계)는 다음의 식과 같이 계산할 수 있습니다.

원리합계 = 원금 × (1 + 이자율)^기간

원리합계는 원금과 이자율과 기간이 결정한다는 것을 알 수 있습니다. 기간이 무한하게 커져도 원리합계가 수렴하는 경우는 이자율과 기간이 서로 반 비례하는 경우입니다. 

미분방정식으로 표현하면

$$\dfrac{dM}{dt}=(1+r)M$$

여기서,  $M$은 $t$의 함수이며 $M(t)$는 $t$시간이 흐른 후 찾을 수 있는 금액

$r$은 이자율

미분방정식을 풀면

$$M(t)=e^{(1+r)t}$$

여기서,  $M$은 $t$의 함수이며 $M(t)$는 $t$시간이 흐른 후 찾을 수 있는 금액

$r$은 이자율

자기복제

우선, 이산적(discrete)인 경우의 자기복제를 생각해 봅니다. 초기량를 1이라 하고 단위 복제 기간을 1이라고 한다면 1기간 후에는 자신의 초기량의 2배인 2가 됩니다.  복제가 연속적(continuous)으로 진행되는 경우는 복제가 진행되는 기간을 1 이라고 한다면 1기간 후에는 다음식과 같이 총량이 만들어 집니다.  총량은 초기량과 복제된 량의 합입니다.

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}$$

이 값의 최대값은 단위 1기간을 무한개의 기간으로 나누면  $e$로 수렴합니다.

$$\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}=e$$

정리하면, 크기 1이 1기간 동안 생성률(미분계수) 1로 시작하여  무한 자기복제를 하면 수렴하게 되는데  그 값이 자연상수($e$)입니다. 자연상수($e$)는 무리수 입니다. 

$e = 2.71828…$

$${e}{=}\mathop{\lim}\limits_{{t}\rightarrow{o}}{\left({{1}{+}{t}}\right)}^{\frac{1}{t}}{=}\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow\infty}{\left({{1}{+}\frac{1}{n}}\right)}^{n}$$

온도평형

방안의 온도와 방안에 있는 찻잔 속의 뜨거운 물의 온도차이를 $\Delta T$라 하면 온도차이의 시간이 지남에 따라 줄어드는 속도는 온도차이에 비례합니다.

$$\dfrac{d\Delta T}{dt}=-k\Delta T$$

여기서,  $\Delta T$는 방안의 온도와 뜨거운 물의 온도차

자연에서 온도차($\Delta T$)는 다음식과 같이 관찰됩니다.

$$f^{\prime}(t)= -k f(t)$$

여기서, $f(t)=\Delta T$

$t$는 시간

$k$는 주어지는 상수

위의 함수  $f(t)$를 지수함수($a^t$)로 모델링할 수 있습니다.

$$f^{\prime}(t)=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{t+\Delta t}-a^t}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^x(a^{\Delta t}-1)}{\Delta t}=f(t)\left(\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{\Delta t}-1}{\Delta t}\right)=-kf(t)$$

여기서,  $0<a≤1$

$k=-\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{a^{\Delta t}-1}{\Delta t}$이며 $a$에 대한 함수

 $a$를 $e^{\ln a}$로 대치하면

$$f(t)=\Delta T(t)=e^{-kt}$$

3.2. 구글시트 함수

=EXP(1) : 자연상수 e의 거듭제곱. 괄호안의 숫자는 거듭제곱할 지수. 

=FACT(A3) : 계승. A3에 있는 값보다 작거나 같은 모든 양의 정수의 곱. 예를 들어, A3가 3이라면, 3의 계승은 3, 2, 1의 곱, 즉, $(3\times 2\times 1)$이 됨.

=2^2 : 거듭제곱. 2를 2번 곱함.

=LN(2) : 자연로그. 자연상수 e를 밑으로 하는 자연로그 값. e를 몇 제곱해야 2가 되는지 계산함. 따라서, =LN(EXP(1))의 값은 1이 됨.

4.1 용어

e (자연상수, mathematical constant)

오일러 수(Euler’s number)라고도 하는 상수 $e$는 대략 2.71828과 같은 수학적 상수로 여러 측면에서 규정될 수 있습니다. 자연로그의 밑입니다. $n$이 무한대에 가까워질 때의  $(1 + \dfrac{1}{n})^n$의 극한값입니다. 복리계산에서 보이는 표현입니다. 무한급수의 합으로 계산할 수도 있습니다.

또한 $e$는 함수 $y = ax$의 그래프가 $x = 0$에서 기울기가 1이 되도록 하는 고유한 양의 상수입니다. (자연)지수 함수 $f(x) = e^x$는 고유한 함수 $f$가 도함수와 동일하고 방정식 $f(0) = 1$을 충족합니다. 따라서 $e$를 $f(1)$로 정의할 수도 있습니다. 자연로그 또는 밑이 e인 로그는 자연 지수 함수의 역함수입니다. 숫자$k > 1$의 자연로그는 $x = 1$과 $x = k$사이의 곡선 $y = \dfrac{1}{x}$ 아래의 면적으로 직접 정의할 수 있습니다. 이 경우 $e$는 이 면적이 1일 때의  $k$의 값입니다.

상수 $e$는 수학자 Leonhard Euler의 이름을 따서 Euler’s number 또는 John Napier의 이름에서 Napier의 상수라고 합니다. 이 상수는 복리를 연구하던 중 스위스 수학자 Jacob Bernoulli가 발견했습니다. 상수 $e$는 $0$, $1$, $\pi$ 및 $i$와 함께 수학에서 매우 중요한 수입니다. 숫자 5개 모두 오일러의 항등식 $e^{i\pi }+1=0$에 나타나며 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 상수 ${\pi}$와 마찬가지로 $e$는 무리수(정수 비율로 나타낼 수 없음)이고 초월적(유리계수가 있는 0이 아닌 다항식의 근이 아님)수입니다. 소수점 이하 50자리까지 $e$의 값은 다음과 같습니다.

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Reference

e (mathematical constant)

Product Integral

곱의 적분(product integral)은 미적분학의 일반적인 합의 적분과 상대되는 적분입니다. 곱의  적분은 1887년 수학자 Vito Volterra가 선형 미분 방정식 시스템을 풀기 위해 개발했습니다. 곱의 적분은 유행병학, 통계역학, 양자역학에 이르는 영역에서 사용됩니다. Geometirc 적분은  Geometric 도함수와 함께 이미지 분석 및 성장(growth)/쇠퇴(decay) 현상(예: 경제 성장, 박테리아 성장 및 방사성 붕괴) 연구에 유용합니다.Bigeometric 적분은 Bigeometric  도함수와 함께 프랙탈의 일부 응용과 경제학의 탄력성 이론에서 사용합니다.

Reference

Product integral – Wikpedia

Gausian Integral

오일러-푸아송 적분으로도 알려진 가우시안 적분은 가우시안 함수인 $f(x)=e^{-x^{2}}$의 실수에서의 적분입니다. 이 적분은 독일 수학자 칼 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었습니다.

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\sqrt {\pi}$$

Abraham de Moivre는 1733년에 이러한 유형의 적분을 발견했으며, Gauss는 1809년에 이 적분을 발표했습니다. 이 적분에는 광범위한 응용 분야가 있습니다. 예를 들어, 약간의 변수 변경으로 정규 분포의 정규화 상수를 계산하는 데 사용됩니다. 정적분은 정규분포와 누적분포함수의 오류함수와 밀접한 관련이 있습니다. 예를 들어, 물리학에서 이러한 적분은 양자역학에서 조화 발진기의 기저 상태의 확률 밀도를 표현할 때 나타납니다. 이 적분은 또한 경로 적분 공식에서 고조파 발진기의 전파자를 찾기 위해, 그리고 통계역학에서 분할함수를 찾을 때 사용됩니다. 임의의 가우스 함수의 정적분은 다음과 같습니다.

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx=\sqrt {\dfrac {\pi }{a}}$$

Reference

Gaussian integral – Wikipedia

4.2. 참조

https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es

로그함수 나무위키

회전단위 원주율 파이(pi, π)

2.1. 회전단위 원주율

원주율($\pi$)

원주(원의 둘레, circumference)와 지름(diameter)의 비는 항상 일정합니다. 또한 원의 면적과 반지름(radius)의 제곱의 비도 항상 일정합니다. 그 비를 원주율이라고 부르며 상수입니다. 원주율은 그리스문자, $\pi$(pi)로 표기합니다. $\pi$는 무리수이며 십진법으로 표현하면, 정수인 3과 반복하지 않는 무한소수(無限小數, infinite decimal)인 0.141592..의 합입니다. 원주의 길이는 지름의 길이의 3배에서 4배사이라고 고대부터 알고 있었습니다. 이 지식은 수레바퀴의 회전수로 수레가 이동한 거리를 구할 때 사용하였습니다.

원주율($\pi$)은

$$\pi=\dfrac{l}{2r}$$

여기서,  $l$은 원주

$r$은 원의 반지름

원주($l$)는

$$l=2\pi r$$

여기서,  $l$은 원주

$\pi$는 원주율

$r$은 원의 반지름

지름 1인 원의 원주는 $\pi$이고 반지름이 1인 원의 원주는 $2\pi$입니다.

각도의 단위 : radian(라디안)

호(arc)는 원주(원의 둘레, circumference)의 일부분으로, 원주상의 두 점 사이 곡선입니다. 호는 원주상의 두 점과 원(circle)의 중심에 의해 정의됩니다. 이 두 점은 호의 끝점이라고 하며, 원의 중심에서 이 두 점을 잇는 선분들은 각도(angle)를 형성합니다. 호의 길이는 원의 반지름과 중심각(호를 둘러싸는 각도)에 의해 결정됩니다. radian은 호(원주의 부분, arc)를 반지름으로 표준화한 값이며 각도를 표현할 수 있습니다.

$$\text{radian}=\dfrac{a}{r}$$

여기서,  $a$은 호(arc)

$r$은 원의 반지름

1 radian은 호(각도가 차지하는 원주)와 반지름의 길이가 같을 때 값입니다. radian은 각도의 단위로 사용되며 rad로 표기합니다. 중심각이 라디안 단위로 주어진 경우, 호의 길이는 반지름과 중심각의 곱입니다. 예를 들어, 반지름이 $r$이고 중심각이 $\theta$ rad인 원의 호의 길이는 $r\cdot\theta$입니다. 원주를 이루는 모든 점의 회전각을 모두 더하면 한 회전이 됩니다. 그리고 호의 radian은 호를 이루는 점들의 회전의 적분값이라고 할 수 있습니다.

각속도의 단위

회전(rotation)은 점의 방향이 변하여 처음과 같은 방향으로 돌아오는 것을 말합니다. 한 회전의 각도는 2$\pi$ rad 입니다.

$$\text{1회전}=2\pi \mathrm{rad}$$

회전량의 단위는 각도의 단위와 같으며 1회전을 360진법으로 나타내는 degree(도)와 2$\pi$ 로 나타내는 radian이 있습니다. 360 degree는 2$\pi$ rad에 해당합니다. 회전속도(각속도)의 단위는 rad/sec입니다. $\pi$와 각도의 단위, radian은 회전의 속도인 주파수에 사용됩니다. 예를 들면, 1초 동안 한 번 회전하면 2$\pi$ rad/sec입니다. 한편, 1초 동안 1번 회전하면 1 Hz(헤르츠)입니다.  따라서 2$\pi$ rad/sec는 1Hz입니다.

2.2. 확률분포에서의 원주율($\pi$)

확률모델에서는 개체를 점(point)으로 표현합니다. 개체의 속성을 확률변수로 하여 생성되는 점의 위치를 확률변수값으로 모델링합니다. 그리고 속성이 출현하는 빈도의 비를 확률로 표현하는 데 그 위치에서의 회전속도로 모델링합니다. 개체의 속성이 이산적인 경우는 그 위치에서의 점의 회전속도를 확률질량으로 모델링하고 개체의 속성이 연속형인 경우에는 확률밀도로 모델링합니다. 다르게 표현하면 확률모델에서는 확률변수(위치)에서의 개체(object)의 출현주기의 비(확률질량비 또는 확률밀도 비)는 각 위치에서의 회전속도와 비례한다는 모델을 만들 수 있습니다. 한편, 통계모델에서는 개체를 표집(sampling)하는 주기(sampling frequency)가 개체가 생성되는 주기와 같다고 모델링할 수 있습니다.

원주로 표현되는 기하학적인 양

원형균등분포(circular uniform distribution)

총 확률질량 1을 원의 면적으로 모델링합니다. 평균은 원의 중심점의 위치입니다. 원형균등분포에서 각 점의 확률밀도는 원의 면적에 반비례합니다. 따라서 확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(r, \theta)=\dfrac{1}{\pi R^2}$$

여기서, $r$은 반지름이며 실수인 연속형 확률변수

$\theta$는 각도이며 실수인 연속형 확률변수

$R$은 반지름이며 실수인 주어진 값(상수)

지지집합(support)인 확률이 존재하는 구간은 $0 \leq R$ 이고 $0 \leq \theta \lt 2\pi$

분산이 1인 2차 원형균등분포(circular uniform distribution)

2차원 원형균등분포의 경우, 서로 독립인 $x$축(가로축)과 $y$축(세로축)에 대한 분산은 $\left(\dfrac{1}{2}r\right)^2$입니다. 따라서 분산이 1이 되려면 $r$은 2가 되어야 합니다. 확률밀도함수는 다음과 같습니다.

$$f(x, y)=\dfrac{1}{4\pi}$$

지지집합(support)인 확률이 존재하는 구간은 $x^2+y^2 \leq 2^2$을 만족하는 $(x, y)$ 

1차원 표준정규분포

1차원 표준정규분포에서 원주율($\pi$)은 확률밀도함수(probability density function, pdf)에서 정규화 요소 $\sqrt{2\pi}$에 포함되어 있습니다. 정규화요소는 확률밀도함수를 확률변수의 모든 실수에 대해 적분했을 때 그 결과가 1이 되도록 보장합니다. 1차원 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같습니다. 

$$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}​e^{-\frac{1}{2}x^2}$$

여기서, $x$는 확률변수

$e$는 자연상수

$\pi$는 원주율

2차원 표준정규분포

2차원 표준정규분포는 두 독립적인 1차원 표준정규분포의 곱으로 표현될 수 있습니다. 2차원 표준정규분포에서 원주율($\pi$)은 확률밀도함수(probability density function, pdf)에서 정규화 요소 ${2\pi}$에 포함되어 있습니다. 정규화요소는 확률밀도함수를 두 확률변수의 모든 실수에 대해 적분했을 때 그 결과가 1이 되도록 보장합니다. 2차원 표준정규분포의 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같습니다. 

$$f(x, y)=\dfrac{1}{2\pi}​e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)}$$

여기서, $x$와 $y$는 서로 독립인 확률변수

$e$는 자연상수

$\pi$는 원주율

$x^2+y^2$은 $r^2$

3.2. 구글시트 함수

=PI() : 파이(pi) 값. 소수점 이하 14자리까지의 파이(pi)값을 표시.

=RADIANS(180/100) : 360도 중 도 단위를 라디안으로 변환. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환.

=SIN(RADIANS(180/100)) : 라디안으로 입력된 각도의 사인. 180/100, 즉 1.8도를 라디안으로 변환 후, 사인값을 표시.

=SUM(C:C) : 합계. C열에 있는 모든 데이터의 합계를 표시.

=SQRT(6*SUM(C:C)) : 제곱근. C열에 있는 모든 데이터를 더한 값에 6을 곱한 후, 제곱근을 구함.

4.1 용어

원주율

숫자에서 무리수인 π(원주율, 파이로 읽음)는 원의 둘레($l$)와 지름($r$)의 비율인 수학 상수로 대략 $3.14159\cdots$와 같습니다. 무리수 π는 수학과 물리학 전반에 걸쳐 많은 공식에 나타납니다. 22/7과 같은 분수로 일반적으로 근사화하여 사용하지만 이는 무리수입니다. 즉, 두 정수의 비율로 정확하게 표현할 수 없습니다. 결과적으로 십진수로 표현할 때 자리수가 끝나지 않고 영구적으로 반복되는 패턴입니다. 원주율은 초월수로서 합, 곱, 거듭제곱, 정수만을 포함하는 방정식의 해가 될 수 없음을 의미합니다. π의 초월은 나침반과 직선자로 원을 제곱하는 고대의 과제를 해결하는 것이 불가능하다는 것을 의미합니다. π의 십진수는 무작위로 분포된 것으로 보이지만 이 추측에 대한 증거는 아직 발견되지 않았습니다.

수천 년 동안 수학자들은 π의 값을 높은 정확도로 계산함으로써 π에 대한 이해를 넓히려는 시도를 해왔습니다. 이집트와 바빌로니아를 포함한 고대 문명은 실제 계산을 위해 상당히 정확한 π의 근사값을 필요로 했습니다. 기원전 250년경에 그리스 수학자 아르키메데스는 임의의 정확도로 π를 근사하는 알고리즘을 만들었습니다. 서기 5세기에 중국 수학자들은 π를 7자리로 근사하였고 인도 수학자들은 기하학 기술을 사용하여 5자리의 근사값을 구했습니다. 무한급수를 기반으로 하는 π에 대한 첫 번째 계산 공식은 천년 후에 발견되었습니다. 원의 둘레와 지름의 비율을 나타내기 위해 그리스 문자인 π의 최초의 사용은 1706년 웨일스의 수학자 William Jones가 사용한 것으로 알려져 있습니다.

미적분학의 발전은 모든 실용적인 계산에 충분한 π의 수백 자리의 계산으로 이어졌습니다. 그럼에도 불구하고, 20세기와 21세기에 수학자와 컴퓨터 과학자들은 증가하는 계산 능력과 결합하여 π의 십진법 표현을 수조 자릿수로 확장하는 새로운 접근 방식을 찾았습니다. 이러한 시도는 급수를 계산하기 위한 효율적인 알고리즘의 개발과 자리수 기록을 깨려는 인간의 탐구에 의해 동기가 부여되었습니다. 슈퍼컴퓨터를 테스트하는 데에도 사용되었습니다.

원주율의 정의는 원과 관련이 있기 때문에 π는 삼각법 및 기하학의 많은 공식, 특히 원, 타원 및 구와 관련된 공식에서 발견됩니다. 또한, 우주론, 프랙탈, 열역학, 역학, 전자기학과 같은 과학의 여러주제의 공식에서도 발견됩니다. 현대의 수학적 분석에서는 기하학에 대한 참조 없이 대신 정의되는 경우가 많습니다. 따라서 정수론이나 통계와 같이 기하학과 거의 관련이 없는 영역에서도 나타납니다. π의 넓은 효용성은 π를 과학 안팎에서 가장 널리 알려진 수학 상수 중 하나로 만듭니다. π에 관한 많은 책이 출판되었으며 최대기록의  π의 자릿수 계산은 종종 뉴스 헤드라인을 장식합니다.

Reference

Pi – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Pi – Wikipedia

2.1. 기준(0)과 단위(1)

0은 아무것도 없다는 관념적인 기준입니다. 현실에서도 아무것도 존재하지 않는 상태를 기준으로 사용하는 경우가 많이 있습니다. 0은 자신을 아무리 더해도 자신이 됩니다.

0과 대비되어 나온 1은  “있다”라는 의미입니다. 역시 관념적인 단위입니다. 1은 자신을 아무리 곱해도 자신이 되지만 더하면 더하는 횟수만큼 값이 늘어나게 됩니다. 그래서  “1”은 곱하기의 기준이 되고 더하기의 단위가 됩니다. 그리고  0과 1사이의 값과 1이상의 값의 경계인 1은 곱하기와 나누기의 경계가 됩니다.

한편, 0은 양수와 음수의 경계, 즉 더하기와 뺴기의 경계가 됩니다.

0과 1에 물리적인 단위가 붙으면 우리가 인지할 수 있는 단위가 됩니다.

길이 단위로는 meter, 질량단위로는 gram등이 있습니다. 이것은 합의하여 정한 것입니다. 단위가 있으면 기준이 있어야 하는데 이 또한  단위를 사용하는 주체의 합의가 있어야 합니다.

점(point)이 모여서 선(line)이 됩니다.

점(point)의 길이는 0입니다.

선은 단위(unit)가 있습니다.

선은 1차원(dimension)입니다.

선의 단위는 1 하나로 이루어 집니다.

선(line)이 모여서 면적(area)가 됩니다.

선(line)의 면적은 0입니다.

면적은 단위(unit)가 있습니다.

면적은 2차원(dimension)입니다.

면적의 단위는 1, 1 두개로 이루어 집니다.

면적(area)이 모여서 부피(volume)가 됩니다.

면적(area)의 부피는 0입니다.

부피는 단위(unit)가 있습니다.

부피는 3차원(dimension)입니다.

부피의 단위는 1, 1, 1 세개로 이루어 집니다.

3.2. 함수

=TRANSPOSE(C3:C5) : 지정한 범위에 있는 데이터의 행과 열을 바뀜. C3와 C5에 있는 데이터는 열로 구성이 되는데, 이를 행으로 바꿈. 전치행렬을 만들 때 사용할 수 있음.

=MMULT(C3:C5,E3:G3) : 범위로 지정한 두 행렬의 곱. C3에서 C5에 있는 행렬과 E3에서 G3에 있는 행렬의 곱을 계산해서 구함.

4.1. 용어

Dimension – Wikipedia