2.1. 확률실험과 표본공간

확률실험(probability experiment)에서 나올 수 있는 모든 결과를 모은 집합이 표본공간(sample space)입니다. 표본공간의 원소를 특별히 기저사건(elementary event)이라고 합니다.

확률실험과 표본공간의 예는 다음과 같습니다.

확률실험: 동전던지기 -> 표본공간={앞면, 뒷면}

확률실험: 6면 주사위 던지기 -> 표본공간={1면, 2면, 3면, 4면, 5면, 6면}

확률실험: 무한대 반복측정 후 평균 -> 표본공간은 -무한대에서 +무한대이며 확률분포는 실제값을 평균으로 하는 정규분포

확률실험의 결과인 표본공간은 연속적인 구간이나 면, 초평면으로 표현되는 무한대 개수의 원소를 가질 수 있습니다.

2.2. 확률공간의 3요소

확률공간(probability space)은 확률이 나타나는 공간입니다. 따라서 확률공간은 확률을 시각화하는 데 있어 기본적인 개념을 제공합니다. 확률론에서 확률공간은 확률이 사건의 결과로서 구현되는 사건들이 이루는 공간입니다. 확률공간은 사건들과 그 사건들에 할당된 확률을 포함하는 수학적 모델입니다. 확률공간은 이러한 확률적 사건들을 체계적으로 다루는 데 사용되며, 확률적 현상을 수학적으로 모델링하고 분석하는 데 필수적인 개념입니다. 확률공간의 세 가지 주요 요소로 “표본공간”과 “사건들의 집합”과 “확률측도”가 있습니다. 예를 들어 주사위 던지기의 확률공간은 모든 가능한 결과와 그 결과들에 할당된 확률을 표현합니다.

표본공간(sample space, S)

표본공간(sample space, S)은 확률실험(시행, try)의 모든 가능한 결과의 집합입니다. 다른 말로는 실험 또는 관찰에서 발생할 수 있는 모든 결과입니다. 표분공간을 이루는 결과를 “기저사건”이라고 합니다. 표본공간의 예시로는 동전던지기와 주사위던지기의 결과가 있습니다.

– 동전 던지기의 표본공간 :  표본공간은 집합으로 표현되며 {앞면, 뒷면}으로 표기합니다. 동전던지기의 표본공간의 원소에는 “앞면”과 “뒷면”이 있습니다.

S={앞면, 뒷면}

– 주사위 던지기의 표본공간 : 6면 주사위를 던질 때, 표본공간은 주사위의 각면이며 각 면을 숫자로 명명하였다면 해당하는 숫자들의 집합으로 표현할 수 있습니다.

S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

사건공간(사건의 집합, $\sigma$-algebra, F)

사건은 표본공간의 부분집합입니다. 사건공간은 사건이 원소인 집합입니다. 따라서 사건공간은 표본공간의 부분집합들의 집합입니다. 사건공간을 이루는 사건은 기저사건의 합사건이라고 볼 수 있습니다. 사건공간은 모든 가능한 일어날 수 있는 사건들로 이루어져 있다고 할 수 있습니다. 각 사건에는 확률이 할당될 수 있습니다. 사건들의 집합(사건공간)은 “σ-algebra”이라고 부릅니다. 사건들의 집합의 예시로는 다음과 같이 동전 던지기와 주사위 던지기의 사건공간이 있습니다.

– 동전 던지기의 사건의 집합 : 공집합을 포함하며, 집합의 원소의 개수가 1개인 경우,  2개인 경우, 3개인 경우, 4개인 경우, 5개인 경우, 6개인 경우이고 6개인 경우에는 표본공간과 같습니다.

F = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

– 주사위 던지기의 사건의 집합 : 공집합을 포함하며, 집합의 원소의 개수가 1개인 경우,  2개인 경우, 3개인 경우, 4개인 경우, 5개인 경우, 6개인 경우가 있습니다. 원소의 개수가 6개인 경우의 사건의 집합은 표본공간과 같습니다.

F = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5},{4, 6}, {5, 6}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {1, 4, 6}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {2, 4, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

확률측도 (probability measure, P)

확률측도는 사건공간의 각 사건에 대해 확률을 할당하는 함수입니다. 각 사건은 집합으로 표시할 수 있습니다. 그리고 함수는 각 사건에 0과 1 사이의 값을 할당합니다. 한편, 표본공간의 원소에 해당하는 기저사건에 할당한 확률의 합은 1입니다. 확률측도의 예시로는 다음과 같이 동전 던지기와 주사위 던지기의 확률측도가 있습니다.

– 동전 던지기 : 완벽한 대칭 모양의 이론적 동전이라고 가정하면 앞면과 뒤면의 확률은 같고 확률의 값은 $\dfrac{1}{2}$ 입니다. 정리하면, 동전 던지기의 표본공간의 기저사건에 할당된 확률의 합은 1이고 이상적인 동전이면 같은 값인 $\dfrac{1}{2}$을 가집니다.

P({앞면}) = 0.5, P({뒷면}) = 0.5

– 주사위 던지기 : 완벽한 대칭 모양의 이론적인 6면 주사위라고 하면 모든 면의 확률은 같고 기저사건에 할당된 확률의 값은  $\dfrac{1}{6}$입니다. 

P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =$\dfrac{1}{6}$