2.1.히스토그램(histogram)

히스토그램

히스토그램은 구간(범주)에 속한 개체의 도수(빈도수)를 직사각형의 높이로 표현한 것입니다. 이 때 직사각형의 밑변의 길이는 등간격을 가지는 구간이 됩니다. 그리고 히스토그램을 이루는 각 구간의 직사각형은 서로 붙여서 그립니다. 따라서 히스토그램은 구간에 따른 개체의  도수분포를 나타낸다고 볼 수 있습니다.

한편, 순서가 없는 범주로 구분된 개체의 도수는 막대그래프로 표현합니다. 막대그래프에서는 범주의 위치를 표현할 수 없지만 히스토그램에서는 범주의 위치를 구간의 길이와 순서로 나타낼 수 있습니다. 히스토그램에서는 구간이 만드는 직사각형을 붙여서 그리므로 범주의 위치가 있음을 시각화합니다. 정리하면, 범주에 속하는 개체의 도수는 막대그래프로 표현할 수 있습니다. 이 때, 범주의 위치를 실수로 표현하고자 하는 경우 히스토그램을 사용합니다.

히스토그램 작성

히스토그램을 그리기 위해서는 데이터(변수값)의 범위(range)가 정해져야 합니다. 데이터의 범위는 데이터의 최대값과 최소값의 차로 구합니다. 그리고 동일한 간격을 가지는 구간(계급, bin, bucket)을 정합니다. 각 구간에 속하는 개체(object)의 개수를 그 구간의 도수(빈도수, frequency)라고 합니다. 도수는 자연수이며 각 구간을 밑변으로 하는 직사각형의 높이로 표현됩니다. 각 구간의 간격이 같기 때문에  히스토그램의 면적은 각 구간의 도수와 비례합니다. 즉, 히스토그램을 이루는 각 직사각형의 면적과 그 직사각형이 의미하는 범주에 속하는 개체의 도수는 선형관계입니다. 

‘범위를 몇 개의 등간격인 구간으로 나눌 것인가?’는 히스토그램을 그리기 위한 중요한 결정사항입니다. 구간의 개수를 정하는 방법은 데이터 개수의 제곱근에 근사한 정수로 하는 방법 등 여러가지가 제시되고 있습니다. 구간의 개수가 정해지면 연속형 변수의 범위(최대값-최소값)를 구간의 개수로 나누어 구간을 구합니다. 각 구간의 시작점과 끝점은 보통  ‘~ 이상($≥$)에서 ~ 미만($<$)’으로 정합니다.

2.2. 히스토그램의 활용

히스토그램은 관심있는 확률변수가 나타내는 확률분포를 유추하는 방법으로 활용됩니다. 히스토그램은 확률변수가 실현된 개체의 분포를 시각화하여 확률분포를 유추합니다. 히스토그램은 관심있는 확률변수의 확률분포를 닮은 모양을 보여줌으로 확률변수에 적합한 확률분포함수를 찾기 위한 탐색에 사용됩니다. 확률변수를 수식으로 모델링할 때 확률변수를 관측한 데이터로 히스토그램을 작성하여 모양을 살펴봅니다. 히스토그램의 도수를 상대도수로 변환하고 간격을 범위와 간격의 비로 변환하면 불연속적인 확률밀도함수를 그려볼 수 있습니다. 변환한 히스토그램의 직각사각형들의 면적의 합은 1이 됩니다.

히스토그램의 중요한 점은 면적의 크기로 도수를 표현한다는 것입니다. 이는 면적으로 데이터의 빈도를 표현한다는 점에서 면적으로 확률을 표현하는 확률밀도함수와 같습니다. 관측한 범주(구간)에서의 개체의 도수(빈도수)는 확률로 모델링됩니다. 연속형 확률변수를 모델링하는 확률밀도함수를 정하기 위해 관측 데이터를 탐색하는 매우 유용한 데이터시각화 방법입니다.

한편, 개체가 가지는 연속형 변수의 관측값(데이터)을 1차원 산점도로 시각화하면 점이 중첩되어 개체의 분포를 표현하기 어려운 경우가 많이 발생합니다. 이 때는 구간을 나누어야 하는 과정이 필요하지만 히스토그램이나 점그래프를 사용하여 개체의 분포를 표현합니다.

3.2. 구글시트 함수

=COUNT(B3:B22) : 데이터 개수. B3에서 B22에 있는 숫자로 표시된 데이터의 개수.

=AVERAGE(B3:B22) : 평균. B3에서 B22에 있는 데이터의 평균.

=VAR.S(B3:B22) : 표본분산. B3에서 B22에 있는 데이터의 표본분산. 편차제곱합을 데이터 개수 -1로 나눔.

=STDEV.S(B3:B22) : 표본표준편차. B3에서 B22에 있는 데이터의 표본표준편차. 표본분산의 제곱근.

=MIN(B3:B22) : 최소값. B3에서 B22에 있는 데이터 중에서 최소값을 표시함.

=MAX(B3:B22) : 최대값. B3에서 B22에 있는 데이터 중에서 최대값을 표시함.

=SQRT(D3) : 제곱근. D3값의 제곱근.

=ROUNDUP(SQRT(D3)) : 올림. D3값의 제곱근의 올림값.

=ROUND(M3/N3,2) : 반올림. M3값을 N3값으로 나눈 값을 반올림해서 소수점 2번째자리까지 표시.

=FREQUENCY(B3:B22,R3:R7) : 빈도수. B3에서 B22에 있는 데이터를 R3에서 R7까지의 구간에 맞춰 빈도수를 구함.

4.1 용어

히스토그램

데이터값의 분포를 표현하는 방식중의 하나입니다.  연속확률변수의 확률값을 막대그래프 모양으로 표현한 것입니다. Karl Pearson에 의해 처음 소개되었습니다.

히스토그램을 작성하려면 먼저 변수 범위를 구간(“bin”또는 “bucket”)으로 나눕니다. 그리고  각 구간에 몇 개의 데이터 값이 속하는 지를 정리합니다. 구간은 연속적이고 겹치지 않고 인접해야 하며 같은 간격이면 분석에 용이합니다.(구간 간격이 꼭 같아야 하는 것은 아닙니다.)

직사각형(막대)의 높이에 비례하는 빈도수는 상대빈도수로 정규화될 수 있습니다.  구간들이 동일한 간격이고 간격이 1인 경우, 빈도수를 정규화하게 되면 각 직사각형의 높이는 상대빈도수를 표현하는 확률이 되어 각 직사각형의 높이의 합은 1이 됩니다. 그러나 구간은 동일한 폭(구간크기)일 필요는 없습니다. 이 경우 직사각형(막대)은 구간의 빈도수에 비례하는 면적을 갖도록 정의됩니다 . 수직축은 빈도수가 아니라 빈도수밀도(수평축상의 변수의 단위당 경우의 수)입니다. 모양은 막대 그래프의 막대가 서로 인접한 모양으로 변수가 연속적으로 표현되었다는 것이 중요합니다.

히스토그램은 데이터의 기본 확률분포밀도를 대략적으로 나타내며, 확률밀도 추정시 자주 사용됩니다 . 즉, 기본 확률변수의 확률밀도함수를 나타냅니다 . 확률 밀도에 사용되는 히스토그램의 총 면적은 항상 1로 정규화됩니다. $X$ 축의 간격이 모두 1이면 히스토그램은 상대빈도 막대그래프와 동일합니다 . 히스토그램은 통계적 속성을 모델링해야 할 때 통계 패키지 프로그램에서 자주 쓰입니다. 예를 들면, 커널 밀도 추정치의 상관 관계 변이는 수학적으로 설명하기가 매우 어렵지만 각 구간이 독립적으로 변하는 히스토그램에서는 이해하기가 쉽습니다. 커널 밀도 추정의 대안은 평균 이동된 히스토그램입니다  계산 속도는 빠르며 커널을 사용하지 않고 밀도를 부드럽게 계산할 수 있습니다.

히스토그램은 때때로 막대그래프와 혼동됩니다.히스토그램은 연속 데이터에 사용되기 때문에 막대는 붙어 있게 됩니다.  그래서 구별을 분명히 하기 위해 막대그래프는 막대 사이에 간격을 줍니다.

Reference

Histogram – Wikipedia

막대그래프

막대그래프는 데이터값에 비례하는 길이를 가지는 직사각형 막대로 데이터값을 표현합니다. 막대그래프는 세로 또는 가로로 그릴 수 있습니다. 세로 막대그래프는 때로는 선 그래프와 같이 표현됩니다. 막대그래프는 각 범주간 데이터값을 잘 비교합니다. 그래프의 한 축은 비교할 특정 범주를 표시하고 다른 축은 측정된 데이터값을 길이로 나타냅니다. 막대 그래프를 응용하면 두 개 이상의 그룹으로 묶어서 막대를 나타낼 수 있으며 둘 이상의 측정 변수의 값을 비교하여 보여 줄 수 있습니다.

Reference

Bar chart – Wikipedia

4.2. 참고문헌

2.1. 범주에 따른 개체의 도수

개체(object)

개체는 속성을 가집니다. 개체(예를 들면 인간)의 속성은 실현되기 전에는 알 수 없는 속성(예를 들면 성별)과 관측하기 전에는 알 수 없는 속성(예를 들면 사는 곳, 몸무게)이 있습니다. 실현되기 전과 관측하기 전의 개체의 속성을 변수로 모델링하는 데 특별히 확률값을 가지는 확률변수로 모델링할 수 있습니다. 그리고 개체가 가지는 속성을 모델링한 확률변수의 확률분포는 속성을 관측하므로써 특정 범주 또는 집단에서의 통계적 확률분포를 구할 수 있습니다.

예를 들어 한우를 개체로 볼 때 개체의 속성으로 품질등급이 있습니다. 각 품질등급에 속하는 한우의 수로 한우품질의 분포를 볼 수 있습니다. 그리고 한우가 속하는 범주별(예를 들면 생산지별)로 한우품질의 분포도 볼 수 있습니다. 이 때 관측한 한우의 개체수가 커질수록 관측하여 구한 한우품질의 분포는 한우품질의 속성을 표현한다고 볼 수 있습니다. 여기서 중요한 가정은 실현되기전 또는 관측하기전 각 개체의 속성의 확률분포는 같다는 것입니다.

6면 주사위를 개체로 보고 속성의 실현을 주사위를 던진 후 나타난 윗면이라고 모델링합니다. 이 때 속성을 나타내는 변수값은 여섯개의 각면이 됩니다.각 면에 1, 2, 3, 4, 5, 6의 여섯개 숫자를 쓰고 변수명을 “주사위를 던져서 나온 수”라고 더 자세히 모델링할 수 있습니다. 만일 주사위를 완벽한 정육면체로 가정한다면 각 확률변수값이 가지는 확률값은  모두 1/6이며 확률분포는 이산형 균등분포라고 할 수 있습니다. 여기서 중요한 점은 개체의 속성은 관측할 때 실현되는 확률변수로 모델링한다는 점입니다. 만일 한우품질이 여섯개의 등급으로 나타난다면 한우는 특정 모양의 6면 주사위를 가지는 속성을 가지고 생각할 수 있습니다. 이 때 속성의 실현과 관측은 주사위를 던지고 윗면을 기록하는 것과 같다고 할 수 있습니다.

확률변수는 범주형(질적)과 수치형(양적)으로 나누어 집니다. 개체의 속성을 관측한 값을 데이터 레코드(record)라 합니다. 개체의 ID와 데이터 레코드는 개체가 이루는 범주의 요소(element)라고도 합니다.

범주(category)

 같은 명목이나 순서의 속성을 범주라고 합니다. 같은 범주를 가지는 개체는 집단(group, label)이 됩니다. 특별히, 같은 순서의 속성으로 개체를 분류하여 만들어진 집단을 수준(level)이라고 합니다.

도수(빈도수, 頻度数, frequency)

도수는 빈도수의 약어입니다. 도수(frequency)는 정해진 기간(period)에 정해진 공간(space)에서 개체(object)가 출현한 회수입니다. 여기서 정해진 공간은 개체의 관점에서 보면 자신이 속한 범주(집단, category, group)를 의미합니다. 특별히, 일차원이고 실수(real number)로 표현되는 공간은 구간이라고 표현합니다. 따라서 집단명(범주명)은 개체의 범주형 데이터입니다. 개체가 서로 독립적인 다수의 속성을 가진다면 속성이 관측된 개체를 다차원 공간에 출현한 점(point)으로 표현할 수 있습니다. 예를 들어, 개체가 서로 독립적인 3개의 속성을 가진다면 개체가 나타나는 공간을 3차원 공간으로 볼 수 있습니다. 3차원에서의 공간의 예는 체적이 있습니다. 체적은 점 또는 선 또는 면의 적(積, 쌓음)으로 표현될 수 있습니다. 한편, 공간은 부분공간의 합으로 생각할 수 있고 부분공간의 위치를 부분공간을 대표하는 점(point)으로 모델링하기도 합니다. 정리하면, 전체공간을 이루는 각 부분공간에 개체가 정해진 시간동안 출현하는 회수가 그 부분공간의 도수가 됩니다. 정리하면, 개체의 관점에서 보면 도수는 개체의 범주(category)나 개체가 속한 집단(group)의 속성입니다.

도수분포

도수분포는 범주에 따른 개체의 도수를 의미합니다. 예를 들어, 범주에 따라 개체의 도수가 같다면 균등분포라 할 수 있습니다. 따라서 도수의 분포를 구하는 방법은 개체가 속하는 범주(정해진 공간)로 개체를 구분하는 것으로부터 시작됩니다. 각 범주는 도수를 가지며 이 도수는 범주를 표현하는 “양(量)”이라고 할 수 있습니다. 따라서 도수는 “양(量)”으로 나타낸 범주의 속성입니다. 범주에 따른 도수를 비교하면 범주의 집합의 속성을 알 수 있으므로 범주를 한 축에 놓고 다른 축에 도수를 나타내면 도수분포를 시각적으로 볼 수 있습니다. 이를 도수분포도라고 합니다. 대표적인 도수분포도에는 명목이나 순서로 표현되는 범주의 도수를 길이로 비교하는 막대그래프가 있습니다. 그리고 실수(real number)상의 등간격의 구간으로 표현되는 범주의 도수를 표현하는 히스토그램이 있습니다.

2.2. 상대도수와 확률

상대도수(relative frequency)

상대도수는 정해진 기간과 전체공간에서의 전체 도수와 각 부분공간에서의 도수의 비율입니다. 관측된 개체가 많아지면 전체공간에 많은 개체의 점(point)이 출현하여 분포를 나타냅니다. 이 때 전체공간을 분할한 부분공간에 상대도수를 표현한다면 이는 출현한 개체의 분포를 정량적으로 표현한 것입니다.  분할된 각 부분공간에서의 상대도수의 합은 1이 되며 관측된 개체의 수가 많아 질수록 개체의 속성을 표현하는 확률변수의 확률분포와 점점 같게 됩니다. 이를 통계적 확률분포라고 합니다.

확률(probability)

개체가 관측되기 전에는 개체의 속성이 만드는 공간의 어디에 개체가 나타날지 모릅니다. 만일, 개체의 속성이 확률을 가지는 변수로 표현된다면 개체가 공간의 어디에 나타날지를 확률로 표현할 수 있게 됩니다. 또한 정해진 기간이 길어서 많은 개체가 출현하였고 모든 개체가 같은 속성을 가진다면 개체의 분포는 개체가 가지고 있는 속성을 표현하는 확률변수의 확률분포를 나타냅니다.

2.3. 개체분포(population distribution)의 시각화

개체는 개체가 가지는 속성이 만드는 공간에서 분포합니다. 따라서 개체분포를 시각화하기 위해서는 개체가 가지는 속성을 변수로 모델링한 좌표계를 우선 정합니다.

산점도(산포도, scatter plot)

산점도는 두 개 이상의 속성이 만드는 2차원 좌표계 또는 그 이상의 좌표계에서 개체의 분포를 시각화한 것입니다. 산점도는 개체의 속성이 만드는 공간에서 개체가 흩어진 모양을 관찰할 수 있으며 개체의 속성 간의 관계를 보여줍니다.

점그래프(dot plot)

점그래프는 개체의 속성이 하나인 경우 관측값을 1차원 좌표계에서 좌표축의 수직방향으로 겹치지 않게 점으로 쌓는 평면상의 그래프입니다. 점그래프는 관측값이 같은 경우라도 겹치지 않게 한 방향으로 쌓아 올리기 때문에 중심경향, 퍼짐정도, 특이값 등을 살펴볼 수 있습니다.

2.4. 도수분포(frequency distribution)의 시각화

도수는 범주에서의 개체의 출현회수입니다. 그리고 도수분포는 각 범주의 위치에서의 도수입니다. 따라서 도수분포를 시각화하기 위해서는 개체가 속하는 범주와 그 범주의 위치를 우선 정합니다. 도수분포의 시각화에서는 개체의 속성을 수치형 변수로 모델링하고 관측한 경우에는 개체가 속하는 범주의 구간을 정하는 것이 중요하고 범주형 변수인 경우에는 개체가 속하는 범주를 구분할 수 있도록 가능한 변수를 정하는 것이 무엇보다 중요합니다.

막대그래프(bar chart) : 확률변수가 범주형이거나 이산형

막대그래프는 확률변수가 범주형이거나 이산형인 경우, 도수분포를 시각화하는 방법입니다. 막대그래프에서 독립변수는 범주형이거나 이산형인 확률변수이고 종속변수인 막대의 길이는 도수입니다. 

만일 각 독립변수에서의 막대의 길이를 도수에서 상대도수로 변환하면 막대의 길이는 확률질량이 됩니다. 이 때 막대의 길이를 모두 합하면 확률질량의 합과 마찬가지로 1이 됩니다.

히스토그램(Histogram) : 확률변수가 연속형

히스토그램은 확률변수가 연속형인 경우 도수분포를 시각화하는 방법입니다. 연속형인 확률변수는 같은 크기를 가지는 구간(bins, intervals)으로 구분됩니다. 구분된 구간이 밑면이고 각 구간에서의 도수가 높이인 직사각형의 이음을 히스토그램이라고 합니다. 히스토그램을 이루는 직사각형들은 밑면의 크기가 일정하며 빈틈없이 이어져 있습니다. 따라서 히스토그램을 이루는 직사각형의 높이를 전체도수와 구간의 길이로 나누면 직사각형의 면적의 합을 1로 만들 수 있습니다. 히스토그램은 연속형 확률변수의 확률분포를 나타내는 이산확률밀도함수의 모양과 같습니다. 따라서종속변수의 도수를 전체도수와 구간의 길이로 나누면 이산확률밀도함수로 변환할 수 있다는 큰 장점이 있습니다. 연속형 확률변수의 관측값으로 히스토그램을 그리면 확률분포의 모양을 직관적으로 살펴볼 수 있기 때문에 매우 유용한 데이터시각화 방법입니다.

연속형 데이터의 분석을 위한 히스토그램을 그리기 위해서는 우선 도수분포표를 만듭니다. 도수분포표(frequency table)는 연속형 확률변수를 구간으로 나누고 관측한 확률변수값(데이터)의 구간에서의 도수를 표로 만든 것입니다. 도수분포표에서 중요한 것은 적합한 구간크기(구간간격)를 정하는 것입니다. 데이터(관측값)에는 범위가 있으므로 구간크기가 정해지면 구간의 개수는 자동으로 계산됩니다. 데이터분석의 목적에 맞는 구간크기를 정하는 방법은 경험법칙부터 다양한 방법이 있습니다.

2.5. 개체분포의 모델

출현할 개체의 분포를 함수식으로 표현할 수 있으면 그 함수식을 개체분포의 모델이라고 합니다. 함수식으로 표현된 수학모델로 출현할 개체의 분포를 시각화할 수 있습니다. 개체분포의 모델은 개체의 확률분포와 같습니다.

이산형 확률분포 : 확률변수가 이산형

함수로 표현하는 대표적인 이산형 확률분포로는 베르누이분포, 이항분포, 포와송분포, 기하분포가 있습니다. 이 분포들의 정의역은 자연수(양의 정수)입니다. 그리고 함수값은 확률질량, 즉, 확률입니다. 그래서 이산형 확률분포를 나타내는 함수를 확률질량함수(probability mass function, PMF)라고 합니다.

연속형 확률분포 : 확률변수가 연속형

함수로 표현하는 대표적인 연속형 확률분포로는 정의역이 실수인 지수분포, 정규분포가 있고 정의역이 0에서 1인 베타분포가 있습니다. 감마분포는 정의역이 양의 실수입니다. 그리고 함수값은 확률밀도입니다. 그래서 연속형 확률분포를 나타내는 함수를 확률밀도함수(probability density function, PDF)라고 합니다. 함수값인 확률밀도를 적분하면 확률질량, 즉, 확률이 됩니다.

2.6. 도수분포의 모델

범주를 표현하는 “양”으로 개체의 도수(개체가 범주에 출현하는 회수)가 있습니다. 도수분포의 모델은 범주에 나타나는 개체의 출현회수의 기대값에 기반합니다. 개체가 속하는 표본도 범주라고 볼 수 있습니다. 도수분포의 모델은 표본의 확률분포라고 할 수 있습니다.

표본통계량의 확률분포

개체가 속하는 시공간의 범주 중에는 표본이 있습니다. 표본의 분포(표집분포)는 범주의 분포로 볼 수 있고 표본통계량의 분포는 확률분포로 모델링할 수 있습니다. 표본통계량의 확률분포 모델은 대표적으로 연속형 확률분포로 F분포와 t분포가 있습니다. F분포와 t분포를 표현하는 함수의 무수(매개변수)는 표본크기입니다.

알고 있는 확률분포 모델과 관측한 표본데이터로 추정하는 모수(분포함수의 매개변수)

개체가 속하는 시공간의 범주 중에는 표본이 있습니다. MLE(Maximum Likelihood Estimation, 최대우도를 목표로 하는 모수 추정법)로 확률분포의 모수를 추론합니다. 이때 경험으로 알고 있는 확률분포 모델과 표본데이터를 이용하여 확률분포의 가능도를 최대로 하는 확률분포함수의 모수를 구합니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

막대그래프

막대그래프는 데이터값에 비례하는 길이를 가지는 직사각형 막대로 데이터값을 표현합니다. 막대그래프는 세로 또는 가로로 그릴 수 있습니다. 세로 막대그래프는 때로는 선 그래프와 같이 표현됩니다. 막대그래프는 각 범주간 데이터값을 잘 비교합니다. 그래프의 한 축은 비교할 특정 범주를 표시하고 다른 축은 측정된 데이터값을 길이로 나타냅니다. 막대 그래프를 응용하면 두 개 이상의 그룹으로 묶어서 막대를 나타낼 수 있으며 둘 이상의 측정 변수의 값을 비교하여 보여 줄 수 있습니다.

Reference

Bar chart – Wikipedia

히스토그램

데이터값의 분포를 표현하는 방식중의 하나입니다.  연속확률변수의 확률값을 막대그래프 모양으로 표현한 것입니다. Karl Pearson에 의해 처음 소개되었습니다.

히스토그램을 작성하려면 먼저 변수 범위를 구간(“bin”또는 “bucket”)으로 나눕니다. 그리고  각 구간에 몇 개의 데이터 값이 속하는 지를 정리합니다. 구간은 연속적이고 겹치지 않고 인접해야 하며 같은 간격이면 분석에 용이합니다.(구간 간격이 꼭 같아야 하는 것은 아닙니다.)

직사각형(막대)의 높이에 비례하는 빈도수는 상대빈도수로 정규화될 수 있습니다.  구간들이 동일한 간격이고 간격이 1인 경우, 빈도수를 정규화하게 되면 각 직사각형의 높이는 상대빈도수를 표현하는 확률이 되어 각 직사각형의 높이의 합은 1이 됩니다. 그러나 구간은 동일한 폭(구간크기)일 필요는 없습니다. 이 경우 직사각형(막대)은 구간의 빈도수에 비례하는 면적을 갖도록 정의됩니다 . 수직축은 빈도수가 아니라 빈도수밀도(수평축상의 변수의 단위당 경우의 수)입니다. 모양은 막대 그래프의 막대가 서로 인접한 모양으로 변수가 연속적으로 표현되었다는 것이 중요합니다.

히스토그램은 데이터의 기본 확률분포밀도를 대략적으로 나타내며, 확률밀도 추정시 자주 사용됩니다 . 즉, 기본 확률변수의 확률밀도함수를 나타냅니다 . 확률 밀도에 사용되는 히스토그램의 총 면적은 항상 1로 정규화됩니다. $X$ 축의 간격이 모두 1이면 히스토그램은 상대빈도 막대그래프와 동일합니다 . 히스토그램은 통계적 속성을 모델링해야 할 때 통계 패키지 프로그램에서 자주 쓰입니다. 예를 들면, 커널 밀도 추정치의 상관 관계 변이는 수학적으로 설명하기가 매우 어렵지만 각 구간이 독립적으로 변하는 히스토그램에서는 이해하기가 쉽습니다. 커널 밀도 추정의 대안은 평균 이동된 히스토그램입니다  계산 속도는 빠르며 커널을 사용하지 않고 밀도를 부드럽게 계산할 수 있습니다.

히스토그램은 때때로 막대그래프와 혼동됩니다.히스토그램은 연속 데이터에 사용되기 때문에 막대는 붙어 있게 됩니다.  그래서 구별을 분명히 하기 위해 막대그래프는 막대 사이에 간격을 줍니다.

Reference

Histogram – Wikipedia

4.2. 참고문헌

2.1 3차원 직교좌표계

세 변수를 가지는 요소(element, 객체, object)를 시각화 할 때, 3차원(공간)좌표계를 많이 사용합니다. 3차원(공간)좌표계에는 대표적으로 차원(three dimensions) 직교좌표계(Cartesian coordinate system)가 있습니다. 여기서 세 좌표축(axis)은 직각을 이루어서 서로 영향을 주지 않습니다.

예를 들어 위의 애니메이션에서 보는 바와 같이 딸기를 요소라 하면 딸기의 당도와 과중과 출하일은 변수가 됩니다. 이때 딸기를 점(point)로 생각한다면 당도와 과중과 출하일을 세 축으로 하는 3차원 직교좌표계를 사용하여 산점도를 그릴 수 있습니다.

다른 관점으로 공간에서의 한 점(point)을 표현하는 방법에는 대표적으로 직교좌표계(Cartesian coordinate system)가 있습니다. 세개의 선이 직각(perpendicular)으로 교차하는 좌표축(coordinate axis)을 가집니다.  공간의 한 점은 기준(Origin)에서의 거리를 좌표로 합니다. 그리고 그 거리는 같은 단위를 가집니다. 따라서 공간의 한 점은 세개의 좌표값으로 표현할 수 있습니다. 즉, 공간의 한점은 세개의 좌표의 변수값을 가집니다. 

공간좌표는 세개의 변수들의 관계를 나타내고 있기 때문에 3차원(three dimensions) 좌교계라고도 합니다. 한편, 평면좌표는 두개의 변수들의 관계를 나타내고 있기 때문에 2차원(two dimensions)좌표계라고 합니다.

2.2. 원통좌표계

한 개체에서의 속성으로 두 원인변수와 확률밀도, 세가지를 가질 때, 원통좌표계(cylindrical coordinate system)를 많이 사용합니다.

2.3. 복소3차원공간

복소3차원공간(complex 3D space)은 복소평면을 포함하는 3차원 좌표계입니다. 이 좌표계에서는 하나의 축이 실수부를, 다른 하나의 축이 허수부를 나타내며, 세 번째 축은 추가적인 차원(예를 들어, 물리적 공간의 한 차원 또는 다른 수학적 차원)을 나타내는 데 사용합니다.

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

제목

내용.

Reference

Title – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Wikipedia

2.1. 2차원 좌표계

두 변수를 가지는 개체(요소, 객체, object, element)를 시각화 할 때, 2차원 좌표계를 사용할 수 있습니다. 2차원 좌표계에는 대표적으로 직교좌표계(Cartesian coordinate system, Descartes coordinate system)와 극좌표계(원형좌표계, polar coordinate system)가 있습니다. 

2.2. 2차원 직교좌표계

2차원 직교좌표계의 두 좌표축(axis)은 직각으로 위치하며 두 좌표축은 서로 영향을 주지 않는 독립을 나타냅니다.

개체의 표현

변수값의 속성이 범주형이 아니라 이산형이나 연속형과 같은 수치를 나타내는 경우, 이때의 변수값을 변량(variate)이라고 합니다. 변량은 간격척도나 비례척도가 적용된 관측도구로 측정되어 양적 데이터가 됩니다. 변량은 수치로 실현되는 변수값을 의미합니다. 따라서, 변량은 좌표계에서 점으로 표현할 수 있습니다. 

2차원 직표좌표계에 위치한 한 점은 두 좌표값으로 표현할 수 있습니다. 2차원 직교좌표계의 한 점은 좌표축(coordinate axes)에 투영할 수 있습니다. 이때 투영한 점이 좌표축의 좌표(coordinates)가 됩니다. 그리고 0을 기준(origin)으로 양수는 값이 증가하는 방향에 있고 음수는 양이 감소하는 방향에 있습니다. 정리하면 2차원 직교좌표계에 있는 한 점은 두 개의 변수값을 가지며 특별히 변수값의 속성이 수치인 경우, 두 변량을 가집니다.

예를 들어 딸기를 범주명으로 본다면 그 범주에 포함되는 개체를 딸기ID로 구분할 수 있습니다. 딸기 개체는 당도와 과중이라는 속성을 가지고 그 속성을 변수(variable)로 모델링할 수 있습니다. 이때 딸기 개체를 점(point)으로 생각한다면 딸기의 속성인 당도와 과중을 두 축으로 하는 2차원 직교좌표계를 사용하여 딸기 개체를 점으로 표현할 수 있습니다. 

집단의 표현

개체를 개체의 속성이 만드는 공간의 점으로 모델링하여 개체가 모인 집단을 산점도로 집단을 시각화할 수 있습니다. 예를 들어 딸기 집단을 딸기의 속성인 과중과 당도가 만드는 2차원 직각좌표계에서 점의 집합으로 표현할 수 있으며 이를 2차원 산점도라고 합니다.

1개의 독립변수와 종속변수의 관계를 나타내는 함수(function)를 표현할 때, 함수는 총 2개의 변수로 표현되므로 2차원 직교좌표계를 사용하여 시각화 할 수 있습니다. 함수를 서로 직교하는 좌표축에서 표현할 때, 연속형 함수는 연속적으로 이어진 점들의 집합으로 그려집니다.

2.3. 2차원 극좌표계

2차원 극좌표계는 원점(origin)에서의 거리(radius)와 거리를 나타내는 방향(radial direction)과 그 방향의 기준이 되는 극축(polar axis)과의 각도가 좌표입니다. 여기서, 극축은 원점에서 시작되며 보통 가로선으로 표현합니다. 정리하면, 극좌표계는 원점의 위치와 원점의 방향이 기준이 되며 원점의 위치에서의 거리와 원점의 방향(극축)과의 각도가 좌표가 됩니다. 2차원 극좌표계에서는 원점에서의 거리와 극축에서의  각도 1개를 좌표로 가집니다. 참고로 3차원 극좌표계에서는 각도가 2개의 좌표로 구성됩니다. 극좌표계에서는 직교좌표계와 마찬가지로 좌표는 서로 영향을 주지 않는 독립입니다.

개체의 표현

변수값의 속성이 범주형이 아니라 이산형이나 연속형과 같은 수치를 나타내는 경우, 이때의 변수값을 변량(variate)이라고 합니다. 변량은 간격척도나 비례척도가 적용된 관측도구로 측정되어 양적 데이터가 됩니다. 변량은 수치로 실현되는 변수값을 의미합니다. 따라서, 변량은 좌표계에서 점으로 표현할 수 있습니다. 

2차원 극좌표계에 위치한 한 점은 두 좌표값인 거리와 각도로 표현할 수 있습니다. 2차원 극좌표계의 한 점은 원점에서의 방향과 거리로 표현한다고 할 수 있고 모두 양수입니다. 는 데 특히, 점들의 집합을 이루는 점들의 원점과의 거리들은 집합의 퍼짐을 나타내는 측도(measure)로 사용할 수 있습니다. 원점을 0으로 한다면 거리는 항상 양수이고 각도는 회전방향에 따라 양수 또는 음수로 표현되며 0($0$rad)과 1회전($2\pi$rad) 사이의 수치로 계량화합니다. 

예를 들어 딸기를 범주명으로 본다면 그 범주에 포함되는 개체를 딸기ID로 구분할 수 있습니다. 딸기 개체는 당도와 과중이라는 속성을 가지고 그 속성을 변수(variable)로 모델링할 수 있습니다. 이때 딸기 개체를 점(point)으로 생각한다면 딸기의 속성인 당도의 제곱과 과중의 제곱의 합의 제곱근은 원점에서의 거리이고 이 거리는 의미가 있을 수 있습니다. 한편 딸기 개체의 두 속성을 당도와 출하월이라 한다면 당도는 항상 양수이므로 원점에서의 거리($r$)로 모델링하고 출하월은 1년이라는 주기성을 가지므로 각도($\theta$)로 모델링한다면 극좌표로 표현할 수 있습니다.

$$\text{딸기ID}=(r, \theta)$$

여기서, $r$은 당도

$\theta$는 출하월

집단의 표현

개체를 개체의 속성이 만드는 공간의 점으로 모델링하여 개체가 모인 집단을 산점도로 집단을 시각화할 수 있습니다. 예를 들어 딸기 집단을 딸기의 속성인 과중과 출하월이 만드는 2차원 극좌표계에서 점의 집합으로 표현할 수 있으며 이를 2차원 산점도라고 합니다.

극좌표계에서 원을 나타내는 함수의 표현

원의 중심이 원점인 ($0. 0$)에 있고 반지름이 $r$인 원의 경우, 극좌표계에서의 표현식은 다음과 같습니다. 모든 점에서 원점에서의 거리가 일정함을 표현하고 있습니다.

$$\rho=r$$

여기서, $\rho$는 원점으로부터의 거리

$r$은 원의 반지름

원의 중심이 극좌표계에서 ($r_0,\theta_0$)에 위치하고 반지름이 $r$인 경우, 원의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\rho^2 – 2r_0\rho\cos(\theta – \theta_0) + r_0^2 = r^2$$

여기서, $\rho$는 원점으로부터의 거리

$r$은 원의 반지름

($r_0,\theta_0$)는 원의 중심

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

제목

내용.

Reference

Title – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Wikipedia

2.1. 1차원 직선좌표계와 도수분포도

변수의 변수값을 시각적으로 표현할 때 1차원 좌표계(1 dimensional coordinate system)에 점(point)으로 표시합니다. 1차원 좌표계에서 한 점의 좌표는 기준(origin)에서의 거리와 방향으로 정해집니다. 기준이 0인 경우 양수는 값이 증가하는 방향이 되고 음수는 양이 감소하는 방향을 나타냅니다. 반대로 한 점은 한 좌표값으로 표현할 수 있습니다. 즉, 1차원 직선좌표계의 한점은 한개의 변수값을 나타냅니다.

1차원 직선좌표계에서 도수분포도로 확장

변수의 변수값(데이터)을 시각적으로 표현할 때 1차원(직선)좌표계를 사용할 수 있습니다. 그런데 데이터가 많으면 점이 겹쳐서 표현되므로 시각적으로 분명하게 분포를 표현하는 데 한계가 있습니다. 이 경우, 이산형 변수는 간격을 두고 연속형 변수는 구간을 두어 그 변수값이나 변수값이 속한 구간의 빈도수를 직교축에 막대그래프로 표현합니다. 이를 도수분포도라고 하며 연속형 변수의 경우 히스토그램으로 표현하기도 합니다.

2.2. 1차원 직선좌표계와 척도

척도는 관측대상인 개체의 속성을 좌표계에 나타내는 방법을 정의합니다. 예를 들어, 1m의 물리적 거리가 좌표계에서 1단위로 표현될 수 있습니다. 이 척도는 좌표계의 각 점이 실제 거리를 어떻게 나타내는지 결정합니다. 척도는 좌표계 전체에 걸쳐 일관되게 적용되어야 합니다. 1차원 좌표계에서 척도는 다음과 같은 역할을 가집니다.

– 위치의 정의 : 1차원 좌표계에서 각 점의 위치는 척도에 따라 정의됩니다. 예를 들어, 척도가 1m당 1단위라면, 좌표계의 5단위는 실제의 5m를 나타냅니다.

– 실제 거리 측정 : 1차원 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 그들의 좌표 차이를 통해 측정될 수 있습니다. 이 거리는 척도를 통하여여 실제 물리적 거리로 변환될 수 있습니다.

1차원 직선좌표계에 적용되는 척도유형

3.2. 함수

=ROWS(F2:F2) : 지정된 배열 또는 범위에 있는 행의 개수.

4.1 용어

제목

내용.

Reference

Title – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Wikipedia