2.1 이항분포

동전 1개를 던져 앞면이 나오는 수를 확률변수라 하면 확률변수는 0과 1이고  2개입니다.

동전을 무한번 던져서 통계학적 확률을 구할 수 있습니다. 이를 큰 수의 법칙이라고 합니다.

완벽한 대칭모양의 동전이라면 동전 1개를 던지는 시행에서 확률변수 0과 1의 확률은 각각 0.5일 것입니다.

동전 2개를 던지면 확률변수는 0, 1, 2로  3개이고 각각의 확률은 0.25, 0.5, 0.25 입니다.

이런 식으로 던지는 동전의 갯수를 하나씩 늘려 확률변수가 2개일 때부터 101개일 때까지 100단계를 하나씩 올려봅니다.

그리고 확률의 분포, 즉, 이항확률분포를 살펴봅니다.

애니메이션에서 보는 것처럼 확률변수의 갯수가 10개 정도까지는 급격하게  확률분포 모양이  변합니다.

하지만 대략 30개가 넘어가면 비슷한 크기의 종모양이 유지되는 모습을  관찰할 수 있습니다.

이 모습은 표본의 크기가 작을 때 t분포를 사용하는 것과 관계가 있습니다.

2.2 이항확률분포(Binomial distribution)

$B\left({n,p}\right)$

$f\left({k;n,p}\right)=\,_{n}\mathrm{C}_{k}\,p^{k}(1-p)^{(n-k)} ={{n!}\over{(n-k)!\,k!}}\,p^{k}(1-p)^{(n-k)}$

$\mathrm{E}\left[{X}\right]=np$

$\mathrm{Var}\left[{X}\right]=np\left({1-p}\right)$

$\mu = p$

$\sigma^{2}={\left({1-p}\right)}^{2}p+{\left({0-p}\right)}^{2}\left({1-p}\right)=p\left({1-p}\right)$

3.2. 함수

=FACT(A3) : 숫자의 계승. A3에 있는 숫자의 계승을 계산함. 예를 들어, A3에 있는 숫자가 2이면, 2×1(2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함. A3에 있는 숫자가 3이면, 3×2×1(3곱하기2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함.

=POWER(C3,B3) : 거듭제곱. C3의 값을 B3의 값만큼 거듭제곱한 값을 계산해서 표시함.

4.1. 참조

Reference

Binomial distribution

2.1 베르누이 분포

두 면에 0과 1이 적혀 있는 동전이 있습니다. 이 동전 한 개를 바닥에 던져서 윗면의 숫자를 관측하는 것을 시행(try)이라고 한다면 시행의 결과를 알 수 있습니다. 즉, 바닥에 던져진 동전이 0이나 1을 나타내는 것을 시행의 결과라고 합니다. 다르게 표현하면, 시행의 결과가 존재하는 시행공간(Sample Space)에 0과 1이 있다고 할 수 있습니다.

0과 1이외의 시행결과는 없고 동전의 모양으로  각 시행결과에 해당하는 확률(Probability)값을 적용할 수 있습니다. 여기서 0과 1이 나올수 있는 정도, 즉 확률은 동전일 경우 반반으로 표현합니다. 총합은 확률의 정의에 의하여 1이 됩니다.

동전의 면에 적혀있는 0과 1을 확률변수라고 하고 각각 0.5의 확률을 가지게 됩니다. 또한 시행을 할때 기대하는 확률변수의 값을 기대값이라고 합니다.

한 개의 동전을 바닥에 던지는 시행에서의 기대값은 0도 아니고 1도 아닌 0.5가 됩니다. 동전에 새겨있지 않은 0.5라는 숫자입니다.

물론 가중평균을 구하는 방법에 따라 확률변수 0과 확률 0.5의 곱 그리고 확률변수 1과 확률 0.5의 곱의 합  0.5를  기대값이라 할 수 있습니다.

정리하면

시행 : 앞면과 뒷면에 1과 0이 표시된 동전 1개를 바닥에 던져서 나오는 숫자를 관측

시행공간 : {0, 1}

사건 : 0 이 관측됨

사건 : 1 이 관측됨

확률변수 : 0과 1이 새겨진 동전을 던져서 관측되는 값

확률변수값 : 0과 1

확률변수값의 가중 평균 : 0.5

기대값 : 0.5

0과 1이 새겨진 동전을 던져 위를 향하는 수를 확률변수라 할때 확률변수의 값과 대응되는 확률을 표로 정리하면 아래표와 같습니다.

3.2. 함수

=FACT(A3) : 숫자의 계승. A3에 있는 숫자의 계승을 계산함. 예를 들어, A3에 있는 숫자가 2이면, 2×1(2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함. A3에 있는 숫자가 3이면, 3×2×1(3곱하기2곱하기 1)의 값을 계산해서 표시함. 

=POWER(C3,B3) : 거듭제곱. C3의 값을 B3의 값만큼 거듭제곱한 값을 계산해서 표시함.

4.1. 참조

Reference

Bernoulli distribution

Jacob Bernoulli

2.1. 공간에서 개체의 출현

개체가 가지는 확률변수가 만드는 공간

개체는 개체가 가지는 변수의 공간에서 출현한다고 생각합니다. 공간을 표현하는 좌표계의 축은 변수로 표현하는 데 이 변수가 개체가 가지는 속성을 표현하는 변수라고 모델링합니다. 좌표계는 공간을 표현하며 좌표계의 축은 변수를 나타냅니다. 예를 들어 변수가 1개이면 1차원 공간, 2개이면 2차원 공간, n개이면 n차원 공간이라고 합니다. 개체는 개체가 가지는 속성으로 표현할 수 있습니다. 그리고  속성의 값은 개체마다 다르므로 변수로 모델링합니다. 만일 개체의 속성을 나타내는 독립적인 변수가 n개이면 개체는 개체가 가지는 변수가 만드는 n차원 공간에 출현한다고 생각할 수 있습니다. 만약 변수를 확률변수로 생각하면 공간의 구역이 가지는 확률에 따라 개체의 도수가 다르게 됩니다.

도수

개체가 가지는 속성을 표현한 확률변수가 만드는 공간에 개체가 출현한 빈도를 도수(frequency)라고 합니다. 도수는 특정 공간 뿐아니라 특정 기간에서 출현한 개체수라고도 볼 수 있습니다.

– 확률변수가 범주형인 경우

도수는 개체가 가지는 확률변수가 범주형이면 같은 범주(확률변수값)를 가지는 개체의 수라고 할 수 있습니다. 

– 확률변수가 이산형인 경우

도수는 개체가 가지는 확률변수가 이산형이면 같은 관측값(확률변수값)을 가지는 개체의 수라고 할 수 있습니다. 여기서 이산형 확률변수는 순서를 가지고 간격을 가지는 범주형 확률변수라고도 볼 수 있습니다.

– 확률변수가 연속형인 경우

연속형 변수는 크기가 없는 무한개의 점(point)으로 정의됩니다. 개체는 공간의 크기가 없는 점에서 출현한다고 모델링하지 않기 때문에 확률변수의 점에서 개체의 도수는 0으로 정의합니다. 따라서 연속형 확률변수를 가지는 개체는 점이 만드는 부분 공간(선분, 폐곡선이 만드는 면, 면적 등)에서 출현하는 것으로 모델링하며 출현하는 빈도를 그 특정 공간에서의 도수라고 합니다. 예를 들어 간격척도나 비례척도를 통한 측정이 있습니다. 연속형 확률변수를 등간격의 구간(선분)으로 나누고 그 구간에서의 확률변수값을 척도로 측정합니다.

도수분포

확률변수가 연속형인 경우는 확률분포를 확률밀도함수를 도입하는 데 확률밀도함수를 확률변수의 특정구간에서 적분하면 확률이 되며 확률밀도라는 개념에 따라 적분한 값이 나타내는 확률을 확률질량이라고 부릅니다.

개체의 속성을 표현하는 변수가 확률변수라면 개체의 속성을 관측한 값에 대한 개체의 분포는 그 확률변수의 확률분포를 나타낸다고 볼 수 있습니다. 이는 집단을 이루는 개체가 가지는 확률변수가 “독립항등분포를 가지는 확률변수”(iid, independent and identically distributed random variable)라는 가정이 적용되는 경우입니다.

2.2. 개체의 도수분포 : 확률변수의 확률분포

도수의 관측은 특정 기간 동안 개체수를 관측하는 경우와 특정 공간에서 개체수를 관측하는 방법이 있습니다. 도수분포도는 특정 기간 동안 전체 공간 관측한 개체의 도수를 시각적으로 표현한 것입니다. 도수분포도는  확률변수를 가로축에서 도수를 세로축에서 나타냅니다.

개체의 속성을 표현하는 변수가 확률변수이고 범주형인 경우 : 개체의 확률변수가 범주형 

확률변수가 범주형이면 도수는 특정 확률변수값을 가지는 개체의 빈도수를 의미합니다. 여기서 확률변수값은 범주명이 되며 도수는 그 범주에 속하는 개체의 개수를 의미한다고 할 수 있습니다. 개체가 가지는 범주형 확률변수의 분포는 범주형 확률변수를 가로축에 나타내고 도수를 세로축에 나타내는 막대그래프로 표현할 수 있습니다. 여기서 중요한 점은 가로축은 순서가 정해져 있지 않다는 것입니다. 따라서 가로축을 표현할 때 순서에 따른 방향을 표시하지 않습니다.

개체의 속성을 표현하는 변수가 확률변수이고 이산형인 경우 : 개체의 확률변수가 이산형

확률변수가 이산형이라면 확률변수의 크기가 있다는 것을 전제합니다. 즉, 이산형 확률변수는 순서가 있고 간격이 있는 범주의 범주명이라고도 볼 수 있습니다. 단 간격이 등간격일 필요는 없습니다. 만일 확률변수가 이산형이고 등간격을 가진다면 도수분포는 히스토그램으로 표현할 수 있습니다. 히스토그램은 등간격을 가지는 이산형 확률변수의 도수분포도로라고 할 수 있습니다. 

개체의 속성을 표현하는 변수가 확률변수이고 연속형인 경우 : 개체의 확률변수가 연속형 

개체의 도수분포를 시각화하기 위해서 연속형 확률변수를 나타내는 가로축에서 간격이 같도록 구간을 정하고 그 구간에 속한 개체의 도수를 표현합니다. 이 그래프를 히스토그램이라 합니다. 히스토그램은 집단에서 연속형 확률변수를 가지는 개체의 분포를 표현할 수 있는데 이는 표본을 관측하여 모집단의 분포를 추정하고자 할 때 매우 유용한 데이터시각화 방법입니다. 한편, 도수분포도를 그리기에 앞서 도수분포표를 작성하기도 합니다.

또한, 확률변수가 연속형인 경우는 확률분포를 확률밀도함수를 도입합니다. 확률밀도함수를 확률변수의 특정구간에서 적분하면 확률이 되며 확률밀도라는 개념에 따라 적분한 값이 나타내는 확률을 확률질량이라고 부릅니다. 즉, 확률질량은 확률의 값이라고 할 수 있으며 확률밀도는 확률변수에 따른 확률질량의 변화율이라고 할 수 있습니다. 확률밀도함수의 적분함수는 누적분포함수입니다. 누적분포함수의 함수값은 확률변수값에서의 확률값(확률질량)이며 보통 -$\infty$에서 그 확률변수값까지의 확률밀도함수의 적분값입니다.

개체의 속성을 확률변수로 표현한다면 개체의 확률변수가 만든 공간에서의 개체의 분포는 확률변수의 확률분포를 나타낸다고 볼 수 있습니다. 이는 집단을 이루는 개체가 가지는 확률변수가 “독립항등분포를 가지는 확률변수”(iid, independent and identically distributed random variable)라는 가정이 적용되는 경우입니다.

2.3. 상대도수와 확률

상대도수는 특정 공간에서의 도수를 전체 공간의 도수로 나눈 비율값입니다. 여기서 전체 공간의 도수가 무한대로 커지면, 즉 집단의 크기가 무한대가 되면 그 비율값은 확률이라고 볼 수 있습니다.

개체의 속성을 나타내는 확률변수가 범주형이나 이산형

상대도수는 확률질량이 되며 상대도수의 분포는 확률질량의 분포입니다.

개체의 속성을 표현하는 확률변수가 연속형

확률변수가 연속형이면 상대도수의 변화율인 확률밀도로 모델링합니다. 표본데이터에서는 상대도수분포도를 막대그래프로 그리면 막대의 길이가 확률밀도가 됩니다. 만일 히스토그램을 그리면 히스토그램의 경계를 확률밀도값으로 사용할 수 있습니다. 상대도수를  히스토그램으로 그린 후 세로축의 스케일을 조정하여 히스토그램이 나타내는 면적을 1로 만들면 히스토그램의 경계선이 확률밀도함수를 나타내게 됩니다. 이 히스토그램에 근사하는 연속함수를 모델링한 함수를 확률변수의 추정 확률밀도함수라 할 수 있습니다.

2.4. 상대도수분포와 확률분포

도수분포(frequency distribution)를 확률변수의 관측값(데이터)으로부터 구합니다. 연속형 확률변수의 경우에는 연속형 확률변수를 구간화하여 순서와 간격이 있는 범주형 변수로 모델링합니다. 그리고 상대도수분포를 표현하는 히스토그램을 그려서 확률분포함수를 추정합니다. 

통계적 확률

데이터의 분포를 통하여 확률변수의 확률분포를 추론합니다. 

확률분포(Probability distribution)를 확률변수가 독립변수인 함수로 표현합니다. 대표적인 분포에는 확률변수가 이산형인 경우에는 이항분포 (Binomial distribution)가 있고 연속형인 경우에는 정규분포 (Normal distribution)가 있습니다. 이항분포는 확률질량함수로 표현되며 정규분포는 확률밀도함수로 표현됩니다. 두 분포 모두 누적분포함수가 있습니다.

– 확률질량함수 : 확률변수가 범주형이나 이산형 확률변수일 때 적용

– 확률밀도함수 : 확률변수가 연속형 확률변수일 때 적용

– 누적분포함수 : 확률변수가 범주형, 이산형, 연속형 모두 적용

=COUNT(B3:B22) : 수치형 데이터 개수. B3에서 B22 범위에 있는 수치형 데이터의 개수를 구함.

=MAX(B3:B22) : 최대값. B3에서 B22 범위에서 최대값을 구함.

=MIN(B3:B22) : 최소값. B3에서 B22 범위에서 최소값을 구함.

=ROUNDUP(SQRT(E3),0) : 올림. E3의 제곱근을 구한 후, 소수점 이하 첫번째 자리에서 올림해서 0번째자리까지 값을 구함. =COUNTIFS(B3:B22,”>=11.70″,B3:B22,”<13.06″) : 여러 기준에 맞는 범위의 수. B3에서 B22 범위에서 11.70이상이면서, 13.06 미만인 값의 개수를 구함. 

4.1 용어

확률분포

확률이론 및 통계에서 확률분포는 실험에서 가능하고 서로 다른 모든 결과의 출현 확률을 제공하는 수학적 기능입니다. 보다 기술적인 측면에서, 확률분포는 사건의 확률의 관점에서 임의의 현상에 대한 기술입니다. 예를 들어, 확률변수 $X$가 동전 던지기( “실험”) 결과를 나타내는 데 사용되면 $X$의 확률분포는 $X$ = 윗면의 경우 0.5, $X$ = 아래면의 경우 0.5를 취합니다( 동전은 공정). 임의의 현상의 예에는 실험이나 조사의 결과가 포함될 수 있습니다.

확률분포는 관찰되는 임의의 현상의 모든 가능한 결과의 집합인 기본 표본공간(sample space)의 관점에서 정해집니다. 표본공간은 실수 집합 또는 벡터 집합일 수도 있고 비, 숫자, 값, 목록일 수도 있습니다. 예를 들어, 동전 던지기의 샘플 공간은 {앞면(머리), 뒷면(꼬리)}입니다. 확률분포는 일반적으로 두 가지로 나뉩니다. 이산확률분포 (동전 던지기 나 주사위와 같이 가능한 결과의 집합이 불연속인 시나리오에 적용 가능)는 확률질량함수라고하는 결과의 확률에 대한 개별 목록으로 표시할 수 있습니다. 반면, 연속확률분포 (주어진 날의 온도와 같이 연속적인 범위(예 : 실수)의 값을 취할 수 있는 시나리오에 적용 가능)는 일반적으로 확률밀도함수 (임의의 개별 결과가 실제로는 0인 확률)로 표현할 수 있습니다. 정규분포는 일반적으로 자주 나타나는 연속확률분포입니다. 지속적인 시간에서 정의된 확률론적 과정과 관련된 복잡한 실험은 더 일반적인 확률측정법의 사용을 요구할 수 있습니다.

표본공간이 1차원인 확률분포 (예 : 실수, 레이블 목록, 정렬된 레이블 또는 이진수)는 단일변수라고 불리우는 반면 표본공간이 2차원  이상의 벡터 공간 인 분포를 다변수라고합니다. 단일변수(변량) 분포는 다양한 대체 값을 취하는 단일확률변수의 확률을 제공합니다. 다변수분포 (합동확률분포)는 다양한 값의 조합을 취하는 임의의 벡터 (두 개 이상의 임의변수를 원소로 가짐)의 확률을 제공합니다. 중요하고 공통적으로 발생하는 단일변량 확률분포에는 이항분포, 초기하분포 및 정규분포가 포함됩니다. 다변수 정규분포는 일반적으로 발생하는 다변수분포입니다.

Reference

Probability distribution – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Frequency (statistics)

2.1 갈톤보드의 확률변수

동전던지기처럼 확률을 느껴보는 대표적인 실험으로는 Galton보드가 있습니다. 동전던지기 결과가 동전의 두 면 중에서 한 면을 선택하는 것처럼 갈톤보드는 구슬이 분기점을 지날 때  두 방향 중에서 한 쪽 만을 선택하게 되어 있습니다.

갈톤보드에 구슬을 굴린다는 것은 갈톤보드의 분기점 수 만큼의 동전을 던지는 것과 같은 효과를 냅니다. 동전던지기에서  앞면이 나온 동전의 수와 일치하게 갈톤보드에서 포켓에 번호를 매길 수 있습니다. 예를 들면 동전 4개 던지기는 분기수가 4인 갈톤보드로 생각할 수 있고 갈톤보드 포켓의 번호를 0, 1, 2, 3, 4 로 적는다면 한 개의 구슬이 굴러 들어간 포켓에 적힌 숫자는 4개의 동전을 던질 때 앞면이 나온 숫자와 관련 지을 수 있습니다.

애니메이션에서는  구슬 하나를 분기점이 8개 있는 갈톤보드에 굴리면 동전을 8개 던진 것과 같은 효과가 있음을 보여줍니다. 구체적으로는 동전 8개를 동시에 던져서 나온 1의  합이  8번의 분기점을 가지는 갈톤보드에 1개의 구슬을 굴려 들어간  포켓에 적힌 번호와 같음을 알 수 있습니다. 극단적으로는 8개 동전 모두 1이 나올 경우와 8개 동전 모두 0이 나올 경우가 있습니다. 그리고 8개 동전을 던졌을 때 1이 나올 동전의 숫자는 0부터 8까지이고  경우의 수는 9입니다. 일반화하면  경우의 수는 동전의 수(갈톤보드에서는 구슬이 만나는 분기점의 수) + 1 입니다.

구슬을 여러번 굴린다는 것은 동전던지기를 여러번 한다는 것입니다. 갈톤보드를 사용하면 동전던지기를 한후 나온 앞면의 수를 더하는 수고를 안해도 되는 좋은점이 있습니다. 즉, 여러번 시행을 하면 갈톤보드는 종모양의 분포를 보여줍니다. 이 모양은 도수분포를 의미하며 확률분포라 할 수 있습니다. 여기서 종모양의 확률분포를 이항분포(binomial distribution)라 부릅니다. 

갈톤보드는 두 가지 중 어느 한 쪽을 선택하는 분기의 연속된 수행 결과의 합으로 구성되어 있다고 볼 수 있습니다. 즉,  어느 한 쪽을 선택하는 시행을 지칭하는 베르누이 시행의 반복해서 나온 합의 결과를 표현한다고 할 수 있습니다.

애니메이션에서 같톤보드의 너비를 고정하고 분기 수를 8개와 32개로 늘려 보았습니다. 같은 종모양이지만 분기 수가 클 때 더 가운데에 모이는 것을 볼 수 있습니다. 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 시각적으로 보여주고 있습니다.

3.2. 구글시트 함수

=준비 중입니다. 

4.1 용어

2.1 동전 여러개 던지기의 확률변수

앞면과 뒷면에 1과 0이 표시된 동전, 열개가 있습니다. 열개의 동전을 바닥에 던지고  1이 나온 동전의 수를 관찰하는 시행을 해 봅니다. 이 시행은 위를 향하는 숫자의 합을 관측하는 시행이라고도 할 수 있습니다. 이 시행의 확률변수를 정해 봅니다.  확률변수는 시행 후 1이 표시된 동전의 수라고 할 수 있습니다. 따라서 확률변수의 값들은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10의 열 한개가 있을 수 있습니다. 주목할 사실은 동전의 수는 10개인데 확률변수의 가지수는 11개가 됩니다.

 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10의 확률변수에 대응하는 확률은 어떤 값인지를 알아봅니다. 확률변수에 대응하는 확률을 알기 위해서 가장 중요한 전제로는 동전의 앞면 또는 뒷면이 나올 확률을 알아야 한다는 것입니다. 보통 동전의 앞 뒷면이 나올 확률은 반반으로 0.5라고 정합니다. 

가장 큰 확률을 가지는  확률변수값은 어떤 수 일까요? 직관적으로  동전이 10개일 때는 5입니다. 그리고 역시 직관적으로 이 시행의 기대값은  5입니다.

3.2. 구글시트 함수

=준비 중 입니다. 

4.1 용어

2.1 동전 한개 던지기의 확률변수

두 면에 0과 1이 적혀 있는 동전이 있습니다. 이 동전 한 개를 바닥에 던져서 윗면의 숫자를 관측하는 것을 시행(try)이라고 한다면 시행의 결과를 알 수 있습니다. 즉, 바닥에 던져진 동전이 0이나 1을 나타내는 것을 시행의 결과라고 합니다. 다르게 표현하면, 시행의 결과가 존재하는 시행공간(Sample Space)에 0과 1이 있다고 할 수 있습니다.

0과 1이외의 시행결과는 없고 동전의 모양으로  각 시행결과에 해당하는 확률(Probability)값을 적용할 수 있습니다. 여기서 0과 1이 나올수 있는 정도, 즉 확률은 동전일 경우 반반으로 표현합니다. 총합은 확률의 정의에 의하여 1이 됩니다.

동전의 면에 적혀있는 0과 1을 확률변수라고 하고 각각 0.5의 확률을 가지게 됩니다. 또한 시행을 할때 기대하는 확률변수의 값을 기대값이라고 합니다.

한 개의 동전을 바닥에 던지는 시행에서의 기대값은 0도 아니고 1도 아닌 0.5가 됩니다. 동전에 새겨있지 않은 0.5라는 숫자입니다.

물론 가중평균을 구하는 방법에 따라 확률변수 0과 확률 0.5의 곱 그리고 확률변수 1과 확률 0.5의 곱의 합  0.5를  기대값이라 할 수 있습니다.

정리하면

시행 : 앞면과 뒷면에 1과 0이 표시된 동전 1개를 바닥에 던져서 나오는 숫자를 관측

시행공간 : {0, 1}

사건 : 0 이 관측됨

사건 : 1 이 관측됨

확률변수 : 0과 1이 새겨진 동전을 던져서 관측되는 값

확률변수값 : 0과 1

확률변수값의 가중 평균 : 0.5

기대값 : 0.5

0과 1이 새겨진 동전을 던져 위를 향하는 수를 확률변수라 할때 확률변수의 값과 대응되는 확률을 표로 정리하면 아래표와 같습니다.

3.2. 구글시트 함수

=준비 중 입니다. 

4.1 용어

2.1. 확률변수의 예

확률변수의 이름을 “로또복권의 등수”라 한다면 확률변수값은 1등, 2등, 3등, 4등, 5등 그리고 꽝으로 총 6개가 있을 수 있습니다.  여기서 “로또복권의 등수”는 범주형 확률변수입니다. 그리고 6개의 확률변수값으로 구성됩니다. 로또복권의 한 회차의 판매를 마감하면 각 등수에 대한 확률도 규정된 수식에 의해 계산될 수 있습니다.

간단한 예로 동전던지기를 한 후 나온 윗면을 범주형 확률변수라 할 수 있습니다. 만일, 0과 1을 써 놓은 동전은 확률변수값으로 0과 1 두 개를 가지게 되고 동전던지기를 한 후 나온 윗면은 이산형 확률변수가 됩니다. 그리고 완벽하게 두 면이 대칭된 동전이라면 한 개의 동전을 던져서 나온 확률변수값은  0과 1 두 개이고 확률변수값이 가지는 확률은 각각 1/2로 같습니다. 여기서 확률(probability)이 있다는 것은 사건(event)이 있다는 것을 전제합니다. 즉, 동전을 던져서  윗면의 숫자를 관측한다는 실제적인 시행(trial)을 해야 시행의 결과인 사건(event)이 나타납니다. 여기서 사건은 0과 1 두가지가 있습니다. 동전의 한 면이 나올 확률을 일반화하여 $p$라고 하면 다른 한면의 확률은 $(1-p)$가 됩니다. 이런 경우를 특별히 베르누이 시행(Bernoulli try) 또는 베르누이 프로세스(Bernoulli process)라고 합니다.

12면 주사위는 확률변수값이 12개입니다. 여기서도 주사위를 던진다는 시행(trial)이 전제되어야 사건(event)이 발생하고 확률이 존재합니다. 한편, 궁수가 과녁에 화살을 쏘는 행위를 할 때 확률변수는 과녁의 나누어진 면적이 될 수도 있고 과녁이 나누어지지 않고 중심만 있을 때는 중심에서 떨어진 거리가 될 수 있습니다.

또 다른 예로 궁수의 실력을 확률변수로 표현할 수 있습니다. 궁수가 활을 쏜 후 관측된 점수를 확률변수값으로 하면 궁수의 실력, 즉 궁수의 점수는 확률변수라 할 수 있습니다. 이렇게 관측된 확률변수값을 데이터라고도 합니다. 궁수의  데이터가 많을 수록 궁수의 실력을 보다 정확히 말할 수 있습니다. 궁수의 실력을 나타내는 확률분포는 궁수가 많이 쏠수록 궁수의 실력을 더 잘 반영할 것입니다. 그렇지만, 데이터가 충분히 많고 그 데이터가 좋게 나온 궁수가 활쏘기 대회에서 우승한다고 단언할 수 는 없습니다. 확률이 높다고만 할 수 있고  기대값만 말할 수 있지 활쏘기 대회에서 어떤 점수가 나올지 모르기 때문입니다. 만일 활쏘기 횟수가 적은 대회라면 더더욱 우승을 예측하기는 어려울 수 있습니다. 표적은 면적으로 확률을 잘 설명할 수 있는 예입니다. 그래서 확률을 영어로 probability(가능성)뿐만아니라  stochastic(표적)으로도 표현합니다.

범주형 확률변수의 확률변수값의 예를 보면 다음과 같습니다.

– 동전의 확률변수값 : 앞면, 뒷면

– 6면 주사위의 확률변수값 : 1면, 2면, 3면, 4면, 5면, 6면

– 12면 주사위의 확률변수값 : 1면, 2면, 3면, 4면, 5면, 6면, 7면, 8면, 9면, 10면, 11면, 12면

– 과녁의 확률변수명 : 노랑, 빨강, 파랑, 검정

범주형 확률변수의 확률변수값은 질적속성을 나타내므로 질적 확률변수라고도 합니다. 이에 반해 확률변수값이 양적인 수치를 가지는 확률변수를 양적 확률변수라고 합니다. 양적 확률변수를 수치형 확률변수라고도 합니다. 양적 확률변수는 다시 이산형 확률변수와 연속형 확률변수로 나누어 집니다.

2.2. 변수(變數, variable)와 확률변수(random variable)

변수는 정해지지 않은 수, 변하는 값을 나타내는 문자입니다. 보통 사칙연산이 가능한 수(數)를 대신하는 대수(代數)인 알파벳을 이용해서 표현합니다. 확률변수도 변수입니다. 변수에서의 정의역은 확률변수에서는 지지집합(support)에 해당합니다. 지지집합은 확률이 나타나는 확률변수의 집합입니다. 그리고 확률변수는 고유한 확률분포를 가집니다.

2.3. 확률변수(random variable)

확률변수(random variable)는 말 그대로 확률을 가지는 변수입니다. 변수이기 때문에 어떤 값을 가질지는 모르지만 변수값에 따라 나올 가능성, 즉 확률(probability)이 정해져 있는 변수를 확률변수라고 합니다. 예를 들어 로또복권은 등수에 따라서 각각 다른 확률을 가지게 됩니다. 따라서 등수는 확률변수가 됩니다. 확률변수를 표현하려면 확률변수명을 정하고 확률변수값에 대한 정의를 내리면 됩니다. 물론 확률도 확률변수값에 대응하여 표현하면 됩니다.

확률변수의 관측에 사용되는 척도를 살펴보면 동전던지기라는 시행으로 생성된 시행공간은 동전의 앞면과 뒷면입니다. 이 시행공간을 확률변수로 대응한다면 범주형 확률변수입니다. 여기서 척도로는 명목척도가 사용됩니다. 주사위도 마찬가지로 6면을 1에서 6까지의 숫자로 표시하였을 때 “주사위 던지기”라는 시행에서 시행공간은 1, 2, 3, 4, 5, 6의 숫자이며 이는 바로 확률변수값으로 사용할 수 있습니다. 그리고 이 확률변수는 수치형(양적 데이터) 중에서 연속형이 아닌 이산형 확률변수입니다. 그리고 척도로는 수식계산이 가능한 간격척도가 사용됩니다.

확률변수의 설명을 정리하면 다음과 같습니다.

– 확률을 가지는 변수 : 특별히, 연속형 확률변수의 경우는 구간이 주어져야 확률을 가짐. 즉, 점에서의 확률은 0

– 시행(Trial)을 해서 어떤 사건이 나타났는지 보고  값이 정해지는 변수

– 시행을 많이 해서 평균을 구하면 어떤 값, 즉 기대값에 수렴하는 변수

확률변수(random variable, stochastic variable, 確率變數)는 알파벳 대문자로 표기합니다. 아래 첨자로 확률변수를 구분하기도 합니다.

$X, \, Y, \, Z$ 

$X_1, \, X_2, \, X_3$

한 확률변수의 값(Value of random variable)은 확률변수에서 사용한 알파벳의 소문자를 사용합니다. 그리고 구분자는 아래첨자를 사용하기도 합니다.

$x_1, x_2, x_3$, …

$x_{11}, x_{12}, x_{13}$, …

2.4. 확률변수값의 속성과 확률변수값을 원소로 가지는 집합에 따른 확률변수의 분류

범주형 확률변수 – 유한집합으로 표현 : 확률변수값은 수치가 아닌 기호나 언어로 표현, 기호나 언어는 순서를 가질 수도 있음

유한집합은 원소의 수가 유한한 집합입니다.

범주형 확률변수의 예 – 동전에 기호를 적고 동전을 던져 결과를 보는 경우

$$\{\text{앞 면, 뒷 면}\}$$

$$\{\text{H, T}\}$$

기호를 적지 않고 동전을 바닥에 던져 관측하고 난 후 표현하는 경우  

$$\{\text{보이는 면, 안 보이는 면}\}$$

동전의 두면에 수치를 적으면 이산형 확률변수가 됩니다.

$$\{1, 2\}$$

$$\{0, 100\}$$

범주형 확률변수의 예 – 설문지 문항의 답

$$\{\text{싫다, 좋다}\}$$

$$\{\text{동의하지 않는다, 동의한다}\}$$

$$\{\text{매우동의하지 않는다, 동의하지 않는다, 중간이다, 동의한다, 매우 동의한다}\}$$

이산형 확률변수- 유한집합 또는 셀 수 있는 무한집합으로 표현 : 확률변수값은 수치로 표현 (예를 들어 빈도수인 경우는 자연수)

유한집합은 원소의 수가 유한한 집합입니다.

$$\{0, 1, 2, 3 \}$$

이산형 확률변수의 예 : 육각주사위에 수치를 적고 결과를 보는 경우

$$\{\text{1, 2, 3, 4, 5, 6}\}$$

$$\{\text{1, 10, 100, 1,000, 10,000, 100,000}\}$$

육각주사위에 기호를 적으면 범주형 확률변수가 됩니다.

$$\{\text{1면, 2면, 3면, 4면, 5면, 6면}\}$$

$$\{\text{A, B, C, D, E, F}\}$$

셀 수 있는 무한집합은 원소의 수가 무한 개이지만 셀 수 있는 집합입니다.

$$\{0, 1, 2, 3, \cdots \}$$

연속형 확률변수 – 셀 수 없는 무한집합으로 표현 : 확률변수는 구간을 나타내는 수치로 표현

셀 수 없는 무한집합은 원소의 수가 무한이며 셀 수 없는 경우입니다.

$$155.5 <X<180.2$$

2.5. 범주형 확률변수(categorical random variable)

확률변수는 확률실험의 발생 가능한 결과에 하나의 값을 배정하는 함수입니다. 범주형 확률변수도 고유한 확률분포를 따릅니다. 범주형 확률변수는 숫자일 필요는 없습니다. 기호나 단어여도 됩니다. 예를 들면, 동전의 면, 12면 주사위의 면, 과녁, 한우등급 등입니다. 범주형 확률변수의 확률변수값은 기호나 단어인 경우가 많습니다. 

범주형 확률변수의 확률분포 – 확률질량함수 (probability mass function)로 표현 : 순서를 가지고 순서간 간격을 정하면 누적확률분포로 표현가능

확률질량함수 $f(x)$는 범주형 확률변수 $X$가 $x$를 변수값으로 가질 때의 확률입니다. 

$$f(x)=P(X=x)$$

모든 $x$에 대한 $f(x)$의 합은 1입니다.

$$\sum\limits_{{\rm all} \,\, x}f(x)=1$$

확률의 공리에 따라 0에서1까지의 범위를 갖습니다.

$$0 \leq f(x) \leq 1$$

2.6. 이산형 확률변수(discrete random variable)

확률변수 $X$의 $R_X$가 유한집합 또는 셀 수 있는 무한집합의 경우, 확률변수, $X$를 이산형 확률변수라고 합니다.

이산형 확률변수의 확률분포 – 확률질량함수 (probability mass function) : 누적분포함수(cumulative distribution function)로도 표현

확률질량함수 $f(x)$는 확률변수 $X$가 $x$를 변수값으로 가질 때의 확률입니다. 

$$f(x)=P(X=x)$$

모든 $x$에 대한 $f(x)$의 합은 1입니다.

$$\sum\limits_{{\rm all} \,\, x}f(x)=1$$

확률의 공리에 따라 0에서1까지의 범위를 갖습니다.

$$0 \leq f(x) \leq 1$$

2.7. 연속형 확률변수(continuous random variable)

확률변수 $X$ 의 $R_X$가 셀 수 없는 무한집합의 경우, 확률변수 $X$를 연속형 확률변수라고 합니다.

연속형 확률변수의 확률분포 – 확률밀도함수(probability density function)와 누적분포함수(cumulative distribution function)로 표현

확률밀도 함수 $f(x)$는 확률변수 $X$가 변수값 $x$에 대해 밀집된 정도를 나타내는 함수입니다. 확률밀도함수를 수식으로 나타내면 다음과 같으며, 여기서 $X$는 연속형 확률변수이고 $a$와 $b$는 상수입니다.

$$P(a\lt X\lt b)=\int_a^b f(x)dx$$

확률밀도함수는 양의 함수여야 합니다.

$$0 \leq f(x)$$

$-\infty$에서 $+\infty$까지 확률밀도함수를 적분했을 때의 값은 1이 됩니다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$$

연속형 확률변수 $X$가 어떤 특정한 값을 가질 확률은 0입니다.

$$𝑃(𝑋=𝑥)=0$$

따라서, 지지집합(support) 원소인 $a$, $b$에서 다음의 4가지 확률이 같습니다. 즉, 연속형 확률변수의 확률값은 확률변수의 구간의 등호에 영향을 받지 않습니다.

$$𝑃(𝑎 \lt 𝑋 \lt 𝑏)=𝑃(𝑎 \leq 𝑋 \lt 𝑏)=𝑃(𝑎 \lt 𝑋 \leq 𝑏)=𝑃(𝑎 \leq 𝑋 \leq 𝑏)$$ 

2.8. 양적(수치형) 확률변수의 평균과 분산

확률변수의 평균(기대값)

확률변수는 확률질량 또는 확률밀도들이 흩어져 있는 변수라고 할 수 있습니다. 확률변수는 고유한 하나의 분포를 이루고 있는데 분포의 중심인 평균과 분포의 중심으로부터 각각의 값들이 얼마만큼 흩어져 있는지 나타내는 측도(measure)인 분산이 있습니다. 확률변수의 평균은 분포의 중심입니다.

확률변수 $X$의 평균(mean)의 표기는 그리스문자 $\mu$입니다.

확률변수의 기대값( expected value)은

${\rm 𝐸}[𝑋]$로 표기합니다.

그리고 확률변수의 평균과 그 확률변수의 기대값은 같습니다.

$$\mu_X={\rm E}[X]$$

이산형 확률변수일 때 확률변수의 기대값 ${\rm E}[X]$

$${\rm E}[X]=\sum_{\text{all X}}xf(x)$$

연속형 확률변수일 때 확률변수의 기대값 ${\rm E}[X]$

$${\rm E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

확률변수의 분산

확률변수의 분산은 분포의 중심으로부터 각각의 값들이 어느 정도 흩어져 있는지를 나타내는 측도(measure)입니다.

확률변수 $X$의 분산은그리스문자 $\sigma^2$로 표기합니다. 그리고 ${\rm Var}[X]$로 표기하기도 합니다.

정리하면, 확률변수 $X$의 분산은 확률변수 $X$가 확률변수 평균 $\mu_X$로부터 얼마나 흩어져 있는지에 대한 측도(measure)입니다.

$$\sigma_X^2={\rm Var}[X]={\rm E}[X-\mu]^2={\rm E}[X^2]-\mu_X^2$$

여기서,  ${\rm E}[X^2]=\sum\limits_{all \, X}x^2f(x)$

이산형 확률변수의 분산

$${\rm Var}[X]=\sum_{all \, X}(x-\mu)^2f(x)$$

연속형 확률변수의 분산

$${\rm Var}[X]=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx$$

3.2. 함수

=BINOM.INV(1,RAND(),0.5) : 50%(0.5) 확률의 사건을 1번 시도해서 나올 수 있는 결과.

=RAND() : 0이상 1미만의 난수를 반환.

=AVERAGE(H3:H102) : 평균. H3에서 H102까지 데이터의 평균. 데이터를 모두 더한 후, 개수로 나눈 산술평균.

=SUM(H3:H102) : 합계. H3에서 H102까지 데이터의 합계.

4.1. 용어

시행

확률이론에서, 실험이나 시행은 무한히 반복되어 행해 질 수 있고 표본공간으로 알려진 가능한 모든 결과의 집합을 얻는 과정을 말합니다. 실험은 하나 이상의 결과가 있을 경우는 “무작위”로, 하나만 있는 경우는 “결정적”으로 표현합니다. 예를 들면,  2 가지(결과는 상호 배타적) 가능한 결과를 갖는 무작위 실험은 베르누이 시험이 있습니다.

실험이 수행 될 때, 시행의 결과는 보통 하나로 나타납니다. 그 결과는 모든 사건에 포함됩니다. 이 모든 사건은 시행에서 발생했다고 말합니다. 같은 실험을 여러 번 수행하고 결과를 모으고 나면 실험자는 실험에서 발생할 수 있는 다양한 결과 및 사건의 경험적 확률을 평가하고 통계분석방법을 적용할 수 있습니다.

Reference

Experiment (probability theory) – Wikipedia

확률

확률은 사건이 일어날 가능성을 정량화하는 척도입니다. 확률은 0에서 1 사이의 숫자로 정량화됩니다. 여기서, 0은 불가능함을 나타내며 1은 확실함을 나타냅니다. 시행(event)의 확률이 높을수록 시행이 발생할 가능성이 큽니다. 간단한 예가 동전 던지기입니다. 동전 던지기는 결과가 명확하게 두 가지 결과인 “앞면(Head)”와 “뒷면(Tale)”으로 나타납니다. 그리고 쉽게 앞면과 뒷면의 확률은 동일하다고 동의가 이루어집니다. 다른 결과가 없기 때문에 “앞면”또는 뒷면”의 확률은 1/2 (0.5 또는 50 %)입니다.

이러한 확률개념은 수학, 통계, 금융, 도박, 과학 (특히 물리학), 인공지능, 기계 학습, 컴퓨터 과학, 게임 이론 등과 같은 분야에 공리적 수학적 형식화를 제공합니다. 빈도에 관한 추정을 이끌어내거나 복잡한 시스템의 기본 역학 및 규칙성을 기술하는 데에도 사용됩니다.

Reference

Probability – Wikipedia

확률분포

확률이론 및 통계에서 확률분포는 실험에서 가능하고 서로 다른 모든 결과의 출현 확률을 제공하는 수학적 기능입니다. 보다 기술적인 측면에서, 확률분포는 사건의 확률의 관점에서 임의의 현상에 대한 기술입다. 예를 들어, 확률 변수 $X$가 동전 던지기( “실험”) 결과를 나타내는 데 사용되면 $X$의 확률 분포는 $X$ = 앞면의 경우 0.5, $X$ = 뒷면의 경우 0.5를 취합니다( 동전은 공정). 임의의 현상의 예에는 실험이나 조사의 결과가 포함될 수 있습니다.

확률분포는 관찰되는 임의의 현상의 모든 가능한 결과 집합인 기본 표본공간(sample space)의 관점에서 지정됩니다. 표본공간은 실수 집합 또는 벡터 집합일 수도 있고 비 숫자 값 목록일 수도 있습니다. 예를 들어, 동전 뒤집기의 샘플 공간은 {앞면(Head), 뒷면(Tail)}입니다. 확률 분포는 일반적으로 두 가지로 나뉩니다. 이산 확률분포 (동전 던지기 나 주사위와 같이 가능한 결과 집합이 불연속인 시나리오에 적용 가능)는 확률질량함수라고하는 결과의 확률에 대한 개별 목록으로 표시할 수 있습니다. 반면, 연속확률분포 (주어진 날의 온도와 같이 연속적인 범위 (예 : 실수)의 값을 취할 수 있는 시나리오에 적용 가능)는 일반적으로 확률 밀도함수 (임의의 개별 결과가 실제로는 0인 확률)로 표현할 수 있습니다. 정규 분포는 일반적으로 자주 나타나는 연속확률분포입니다. 지속적인 시간에 정의 된 확률론적 과정과 관련된 복잡한 실험은 더 일반적인 확률측정법의 사용을 요구할 수 있습니다.

표본공간이 1차원인 확률분포 (예 : 실수, 레이블 목록, 정렬된 레이블 또는 이진수)는 단 변수이라고 불리우는 반면 표본공간이 2차원  이상의 벡터 공간 인 분포를 다 변수라고합니다. 단일 변수(변량) 분포는 다양한 대체 값을 취하는 단일 확률변수의 확률을 제공합니다. 다 변수 분포 (합동확률분포)는 다양한 값의 조합을 취하는 임의의 벡터 (두 개 이상의 임의변수를 원소로 가짐)의 확률을 제공합니다. 중요하고 공통적으로 발생하는 단 변량 확률분포에는 이항분포, 초기 하분포 및 정규분포가 포함됩니다. 다 변수 정규 분포는 일반적으로 발생하는 다 변수 분포입니다.

Reference

Probability distribution – Wikipedia

연속, 불연속 변수

수학에서 변수는 연속이거나 이산일 수 있습니다. 두 개의 특정 실제 값 (예 : 임의의 가까운 값) 사이의 모든 실제 값을 취할 수 있는 경우 변수는 해당 간격에서 연속입니다. 변수가 가질 수 있는 값을 포함하지 않는 극한의 간격이 양측에 존재하는 값을 취할 수 있다면, 그 변수값을 중심으로 변수는 분리되고 그 변수는 이산형 변수입니다. 일부 상황에서는 변수가 선상의 일부 범위에서 이산이고 다른 변수에서는 연속일 수 있습니다.

Reference

Continuous or discrete variable – Wikipedia

확률변수

확률이론 및 통계에서 임의의 양, 임의의 변수, 즉 확률변수는 비공식적으로 값이 임의의 현상의 결과에 의존하는 변수로 설명됩니다.  확률변수에 대한 공식적인 수학적 설명은 확률이론의 주제입니다. 그 맥락에서, 확률변수는 결과가 일반적으로 실수인 확률공간에서 정의된 측정 가능한 함수로 이해할 수 있습니다.

확률변수의 가능한 값은 아직 수행되지 않은 실험의 가능한 결과 또는 이미 존재하는 값 불확실한 과거 실험의 가능한 결과인 경우를 나타내는 이미 존재하는 값으로 나타낼 수 있습니다 (예 : 부정확한 측정 또는 양자 불확실성으로 인해). 그들은 또한 개념적으로 “객관적”무작위 과정의 결과 또는 양에 대한 불완전한 지식으로 인한 “주관적인”무작위성”을 나타낼 수 있습니다. 확률변수의 잠재 가치에 할당된 확률의 의미는 확률 이론 자체의 일부가 아니며 확률의 해석에 대한 철학적 주장과 관련이 있습니다. 수학은 사용되는 특정 해석과 상관없이 동일하게 작동합니다.

함수로서 확률변수는 측정 가능해야 하며 확률은 잠재가치 집합으로 표현할 수 있습니다. 결과는 예측할 수 없는 몇 가지 물리적 변수에 달려 있을 수 있습니다. 예를 들어, 공정한 동전 던지기의 경우, 앞면 또는 뒷면의 최종 결과는 불확실한 동전의 물리적 조건에 달려 있습니다. 관찰되는 결과는 확실하지 않습니다. 동전의 표면에 균열이 생길 수 있지만 이러한 가능성은 고려 대상에서 제외됩니다.

확률변수의 존재 지역은 표본공간이며 임의의 현상의 가능한 결과의 집합으로 해석됩니다. 예를 들어, 동전 던지기의 경우 두 가지 가능한 결과, 즉 앞면 또는 뒷면이 그러합니다. 

확률변수는 확률분포를 가지며, 확률분포는 확률변수의 확률값을 지정합니다. 무작위 변수는 이산형일 수 있습니다. 즉, 임의의 변수의 확률분포의 확률 질량함수 특성이 부여된 유한한 값 또는 계산 가능한 값에서 하나를 취합니다. 또는 임의의 변수의 확률분포의 특징 인 확률밀도함수를 통해 간격 또는 연속된간격에서 임의의 수치 값을 취하는 연속 또는 두 유형의 혼합물 일 수 있습니다.

동일한 확률분포를 갖는 두 개의 확률 변수는 다른 확률 변수와의 관련성 또는 독립성 측면에서 다를 수 있습니다. 무작위 변수의 실현, 즉 변수의 확률분포 함수에 따라 무작위로 값을 선택한 결과를 무작위 변수라고 합니다.

Reference

Random variable – Wikipedia

4.2. 참조

Reference

Wikipedia

2.1 갈톤보드와 큰 수의 법칙

갈톤보드(Galton board)의 특징을 살펴보겠습니다. 구슬 하나를 갈톤보드에 굴리면 구슬은 분기점을 만날때 마다 왼쪽이나 오른쪽으로 반드시 가게 됩니다. 다른 경우는 없습니다.  갈톤보드에서 구슬이 분기점을 만나는 횟수를 분기수라고 합니다. 갈톤보드의 분기수가 8개이면 9개의 칸이 생기고 10개면 11개, 32개면 33개의 칸이 생깁니다. 즉 분기의 갯수보다 분기에 의해서 만들어지는 아래 칸의 갯수가 하나 더 크게 됩니다.

예를 들어 8개의 분기수를 가진 갈톤보드를 보면 구슬이 내려가면서 8번의갈림길을 만나서 그 때마다 좌우의 길 중에서 하나의 길을 선택합니다.그리고 좌우로 가는 확률이 똑 같이 반반이라고 한다면 9개의 칸 중 5번째 칸에 구슬이 제일 많이 들어가는 종모양을 하게 됩니다. 구슬을 많이 굴리면 구슬이 쌓인 모습이 점점 가운데가 높아지면서 선명해 집니다.  

구슬하나를 굴리는 것을 시행(Event)라 할 수 있고 구슬이 들어가는 아래 칸을 표본공간(Sample Space)라고 할 수 있습니다. 하나의 구슬을 굴려서 하나의 칸에 들어가는 가면 하나의 표본(Sample)이 생성된 것이라고 할 수 있습니다. 그리고 여기서 분기점에서 우측으로 가는 확률을 P라 한다면 좌측으로 가는 확률은 (1-P)가 됩니다. 그렇다면 갈톤보드는 좌나 우로 여러번 가는 시행의 결과를 합친 결과를 보여주는 장치입니다. 

갈톤보드에서 굴리는 구슬의 수를 크게 해본다면 어떤 결과가 나올까요?  하나의 예로 분기수를 8개로하고 구슬의 수를 크게 하면 구슬더미는 종모양을 점점 가지게 됩니다. 이 구슬더미의 모양을 확률분포로 본다면 그 확률분포를 이항분포(Binomial distribution)라 부릅니다. 이항분포는 분기점의 수(N)와 우측으로 가는 확률(P)로 정해집니다. 여기서 확률변수(Random variable)는 아래 칸이 됩니다. 아래칸에 숫자가 적혀 있으면 수치형 확률변수가 되고 수치가 아니면 명목형 확률변수가 됩니다.

갈톤보드의 분기수를 크게 늘리면 구슬은 가운데로  모이는 모습을 볼 수 있습니다. 이것은 중심극한정리(Central Limit Theorem)를 잘 표현합니다. 또한,  구슬 하나를 분기수가 무한대인 갈톤보드에 굴리면 가운데 칸으로 점점 접근하게 됩니다. 이것은 중심극한정리와 큰수의 법칙을 동시에 잘 표현한다고 볼 수 있습니다.

갈톤보드에서의 구슬굴리기를 여러개의 동전던지기와 연결해보면 동전하나는 갈톤보드의 분기점과 같은 역할을 하고 따라서 분기점수는 동전의 수와 같습니다. 갈톤보드의 결과는 여러개의 동전을 던져서 나온 결과와 연결됩니다.

Reference

영상 1

영상 2

3.2. 구글시트 함수

=준비 중 입니다. 

4.1 용어

2.1. 동전던지기와 큰수의 법칙

동전을 바닥에 던지면 앞면이나 뒷면 두면 중 하나만이 위를 향하게 됩니다. 즉, 동전 던지기의 결과는 앞면과 뒷면이라고 할 수 있습니다. 동전던지기를 시행이라고 하고 동전던지기 한번의 결과를 표본이라고 한다면 앞면과 뒷면은 표본이 나타나는 표본공간이라고 할 수 있습니다.

동전을 많이 던져서 큰 수의 표본을 준비하고 그 결과를 보겠습니다. 동전의 두 면에 0과 1이 표시된 동전을 준비합니다. 그리고 동전을 100회 던집니다. 그리고 100회 던질 때 마다 이제까지 시행된 결과의 합의 평균을 구합니다.

계속 던질 수록 시행된 결과의 합의 평균은 0.5에 점점 가까워짐을 알 수 있습니다. 이를 수렴(convergence)한다고 합니다. 시행을 많이 해서 시행의 결과(표집분포)의 대표값이나 분포값이 특정값에 수렴하는 것을 큰 수의 법칙이라고 합니다. 큰 수의 법칙은 확률과 통계를 이어주는 개념인 통계적 확률을 잘 설명해줍니다.

만일 0.5로 가까워져 가지 않고 0.6에 가까워 진다면 동전이 완벽하게 대칭이 아니고 찌그러진 동전이라고 할 수 있습니다. 즉,  한 동전을 무한대로 던지면 동전의 모양을 유추할 수 있게 됩니다. 이런 결과를 통계적 확률이라고 부릅니다.

3.2. 구글시트 함수

=준비 중 입니다. 

4.1 용어

2.1. 3차원 산점도

딸기 20개의 출하일과 과중과 당도를 관측한 데이터가 있습니다. 데이터를 보면 딸기 하나에 출하일, 과중, 당도, 세 개의 데이터(변수값)가 있습니다. 딸기의 출하일과 과중과 당도의 관계를 탐색하기 위하여 3차원 산점도(scatter plot)를 그립니다.

딸기 하나를 한 점(point)으로 생각하면 딸기가 세 변수를 가지므로 3차원 직각 좌표계에  점으로 딸기를 나타낼 수 있습니다. 직각 좌표계의 3축(3axis)은 서로 독립입니다. 즉, 서로 영향을 주지 않습니다. 그래서 3차원 산점도를 그리면 딸기가 가지는 세 변수의 관계를 관찰할 수 있습니다.

딸기가 20개이므로 20개의 점이 3차원 좌표계(공간좌표계)에 찍힙니다. 3차원 산점도를 그릴 때는 보통 결과의 원인이 되는 변수로 평면을 구성하고  관심있는 결과변수를 평면과 직교하는 축(axis)에 나타냅니다. 애니메이션에서는 딸기의 당도를 결과변수로 놓았습니다. 여기서, 결과변수를 종속변수(dependent variable)로 표현합니다. 따라서 원인변수는 종속변수에 영향을 주는 변수이며 보통 서로 독립인 경우를 가정하기 때문에 독립변수(independent variable)라고 부릅니다.

애니메이션에서 관심있는 변수를 당도로 하면 과중이 클수록 당도가 높게 나옵니다. 딸기가 무거울수록, 즉, 큰 딸기일수록  달다고 해석할 수 있겠습니다. 그리고 출하일이  겨울에 가까울수록 딸기가 달다는 것을 알 수 있습니다. 이것을 한번에 나타내면 과중이 작을수록 출하일이 봄에 가까울수록 당도가 떨어짐을 보여줍니다.

산점도는 데이터가 가지는 여러 변수의 관계를 분석할 때 유용합니다. 특히,  두 연속형 변수의 관계를 볼 때 2차원 산점도를 통하여 명확하게 두 변수의 관계를 탐색할 수 있습니다. 그래서 3차원 산점도를 3개의 평면에 투영해서 3개의 2차원산점도로 분해한 후 두 변수의 관계를 분석하기도 합니다.

3.2. 구글시트 함수

=MIN(B3:B22) : 최소값. B3에서 B22에 있는 데이터 중에서 최소값을 표시함. 

=MAX(B3:B22) : 최대값. B3에서 B22에 있는 데이터 중에서 최대값을 표시함.

4.1. 용어

산점도

산점도(산포도)는 일반적으로 여러 변수를 가지는 개체를 표시하기 위해 직각  좌표계를 사용하는 그래프 유형입니다. 점이 시각적으로 정의된 경우 (색상 / 모양 / 크기) 하나의 추가 변수로 표시 될 수 있습니다. 3차원 산점도에서 데이터는 수평 축상의 위치를 결정하는 하나의 변수 값과 수직축 상의 위치를 결정하는 다른 변수의 값을 갖는 점들의 모음으로 표시됩니다.

Reference

Scatter plot – Wikipedia

4.2. 참고문헌

Data_and_information_visualization – Wikipedia